Свойства функций Грина

Оценим отдельные слагаемые в правой части равенства (1.20). Используя свойства функции Грина С х, ) и граничные условия для прогиба, заключаем, интегрируя два раза по частям, что [c.239]

С учетом свойств функции Грина С, приведенных в 1, преобразуем выражение для у х) следующим образом [c.250]

Пример, иллюстрирующий свойства функций Грина а нестационарном случае. Рассмотрим задачу о функции Грина нестационарного уравнения теплопроводности, описывающего процессы в полубесконечном канале с теплоносителем, Для простоты примем, что внешняя поверхность канала теплоизолирована, импульсный тепловой источник занимает все сечение канала в точке с осевой координатой Хц, а скорость теплоносителя постоянна по сечен ню и длине канала. Таким образом, рассмотрим одномерную задачу, представляющую собой обобщение задачи п. 2.2.3 на нестационарный случай. [c.90]

Отметим некоторые свойства функции Грина [c.21]

Из условия равенства нулю интеграла от дси/дп по контуру Го с использованием свойств функции Грина найдем [c.378]

Теоретическое обоснование этого замечательного свойства голограмм — передавать неискаженные изображения через неоднородные среды — опирается на теорему взаимности. Последняя вытекает из основного свойства функции Грина — перестановочности источника возмущения и точки наблюдения. В общем виде это свойство формулируется так пусть антенна Л, находящаяся в точке Oi, является излучателем, а антенна В, расположенная в точке Ог, — приемником. Пусть теперь излучает антенна В, создавая такое же поле, как в предыдущем случае, из точки О2. Тогда, согласно свойству перестановочности, у антенны А будет то же поле, что и у антенны В в первом случае, независимо от свойств среды и формы антенн. Важно, что справедливость этой теоремы не зависит от неоднородностей среды. [c.327]

Основная формула (И.4а) показывает, в частности, что для того чтобы получить значение функции и г ), т. е. решение волнового уравнения в какой-либо точке надо взять функцию Грина (11.2), порождаемую источником расположенным именно в этой точке г. Далее мы часто будем применять различные варианты этого свойства функции Грина, иногда даже относя г в бесконечность. [c.107]

Последнее равенство написано на основании следующих соображений. Как мы увидим ниже, /(0)= 0. Следовательно, и Im /(0) = 0. Но это значит, что мнимая часть функции /(rj) меняет знак в точке т = 0. Согласно общим свойствам функции Грина, при т] > О знак / должен быть положительным (см. 7). Ввиду этого [c.243]

Аналитические свойства функции Грина. До сих пор функция о (р) фигурировала у нас как результат суммирования определенных графиков. Мы дадим сейчас ее определение через операторы ф +. Для этого рассмотрим величину [c.280]

Особенности последнего интеграла связаны с тем, обращается ли при каких бы то ни было значениях д в нуль знаменатель подынтегрального выражения. При ш < е(р ), согласно произведенному выше анализу, знаменатель всегда больше нуля при т = е(рр) впервые обращается в бесконечность подынтегральное выражение (26.5), а поэтому точка ш = е(р ) является особой в математическом смысле слова точкой для рассматриваемого интеграла. Характер этой особенности определяется, таким образом, одними только аналитическими свойствами функций Грина и не зависит от того, какой конкретно график для собственно энергетической части мы выбрали из графиков рис. 78. Последнее обстоятельство позволяет существенно упростить дальнейшее рассмотрение. Действительно, для определения характера особенности, как мы только что показали, нужны выражения функций Грина вблизи полюса. Вблизи полюса все три функции [c.307]

Эта функция действительно гармоническая в ,-. Кроме того, из свойств функции Грина а) и Ь) следует, что [c.419]

Здесь состояние То ( , а) —то же, что и в (7.15), но по отношению к оно является аут-состоянием. Отметим, что параметр а в записи ( , а) вовсе не указывает, что эти состояния соответствуют просто собственному значению а оператора А, который коммутирует с Я и, следовательно, является интегралом движения. В величина а обозначает набор квантовых чисел ин-состояния, а в она обозначает набор квантовых чисел аут-состояния. В обоих случаях а является только индексом того состояния, которое входит в неоднородный член интегрального уравнения, в то время как знаки ( ) характеризуют свойства функции Грина. [c.175]

При стремлении е к нулю арктангенсы равны п/2 в зависимости от того, больше предел интегрирования, чем , или меньше. Таким образом, если п-е состояние лежит в энергетическом интервале [ 1, 2], то этот член дает вклад в интеграл, равный единице. Если энергия лежит вне интервала, никакого вклада в интеграл не будет. Итак, сумма в выражении (2.89) вносит в интеграл по энергии вклад, равный единице от каждого состояния, попадающего в рассматриваемый энергетический интервал, т. е. является точно плотностью состояний. Зная одну только плотность состояний, уже можно вычислить статистическую сумму, а из нее все термодинамические свойства. Функция Грина дает эту информацию весьма непосредственно. [c.246]

Важной особенностью систем многих частиц является возможность возникновения в них возбужденных состояний особого типа, обязанных взаимодействию между частицами и потому не имеющих себе аналога в случае идеального газа (классический пример таких возбужденных состояний представляют плазменные колебания электронов в газовом разряде или в твердом теле). Поскольку взаимодействие вызывает здесь не просто поправки к энергиям свободных частиц, а состояния принципиально новой природы, важной задачей теории является создание регулярного аппарата, позволяющего следить за возникновением новых ветвей энергетического спектра ). В 4, 5 и 11 будет показано, что использование спектральных свойств функций Грина решает и эту задачу и в этом — третье достоинство данной методики. [c.13]

Во-первых, уравнение (9.18) (и ему подобные) получено без каких бы то ни было предположений о малости взаимодействия, разложимости в ряды и т. п., и интерпретация его основана исключительно на спектральных свойствах функций Грина, т. е. на точных соотношениях. Более того, после установления связи энергетического спектра системы со спектральными свойствами функций Грина ( 5) возможность точно ввести такие формально одночастичные , двухчастичные и т. д. уравнения становится почти тривиальной. [c.82]

Большинство приближенных методов теории неупорядоченных систем сформулировано на языке функций Грина. Как известно, это общепринятый канонизированный язык современной квантовой теории поля. Поскольку основные свойства функций Грина, резольвент, пропагаторов и тому подобных математических объектов подробно рассмотрены в многочисленных учебниках, кажется целесообразным ограничиться здесь лишь формулировкой основных определений и теорем без приведения доказательств. [c.377]

Главное математическое свойство функции Грина состоит в том, что она диагональна в том представлении, в котором диагонален сам гамильтониан, а ее полюсы на вещественной оси Я совпадают с собственными значениями Я< ) задачи (9.2). Если через обозначить соответствующие собственные функции, то [c.378]

Точные свойства функции Грина к ) в релятивистской теории могут быть получены из спектрального представления Лемана [c.62]

Свойства функций Грина. Функции Грина для звуковых полей обладают рядом общих свойств [c.68]

Из принципа взаимности следует также, что по виду формулы для звукового давления, развиваемого излучателем в некоторой точке пространства, невозможно установить, где находится источник звука, а где приемник. Математической формулировкой этого принципа является второе свойство функции Грина (см. 12) [c.80]

Поскольку согласно (5.94) x t) равно свертке функции Грина с внешней силой, то в соответствии с известным свойством преобразования Фурье [c.81]

Выведем теперь одно предложение (теорему Грина), из которого можно получить важнейшие свойства функций, которые могут быть потенциалами скоростей. [c.155]

Метод функций Грина часто непосредственно применяется для решения линейных дифференциальных уравнений математической физики [59, 3, 28]. Однако полезность различных функций Грина заключается не столько в их удобстве для вычислений, сколько в том, что они выявляют связь между различными решениями [108]. С помощью функций Грина можно, например, получать тождества, неравенства и соотношения симметрии для всевозможных частных случаев. На основе этих функций можно изучать и устанавливать общие свойства решения, зависимости решения от различных наложенных на него условий, что принципиально невозможно в рамках прямых численных методов. Функции Грина удобны еще и тем, что часто допускают простую физическую интерпретацию. [c.20]

Для функций Грина основных и сопряженных уравнений электропроводности имеет место теорема взаимности и справедливо свойство обратимости. [c.153]

Искомая функция, обладающая такими свойствами, есть функция Грина, О ней см. следующую главу. Прим. перев. [c.175]

Существует несколько методов построения функции Грина для уравнения вида (2"4-10). Рассмотрим один из них, с нашей точки зрения, наиболее удобный и простой, в котором для построения функции Грина используется свойство [c.103]

В заключение отметим, что по проблемам использования функций Грина в задачах математической физики имеется обширная литература. В частности, в работах [10, 60, 108] исследуются свойства функции Грина для интегрального уравнения Лапласа и Пуассона. Некоторые конкретные примеры функций Грина применительно к задачам теплопроводности с рассмотрением их физического Mbt jia и построением функций влияния различных тепловых источников приведены в монографиях [48, 27, 28]. Функции Грина для двух случаев, п )едставляющих практический интерес для смещенного нитевидного теплового источника и для точечного источника в теплопроводящем цилиндре бесконечной длины, даны в П. 4. [c.49]

При формировании вектора нагрузки учтены свойство функции Грина по пункту IV и правило дифференццрования интеграла [246]. [c.23]

Функцию К (х, у, , 1]) называют иногда функцией Грииа для пластинки. В виде, представленном уравнением (134), эта функция отвечает граничным условиям свободно опертой прямоугольной пластинки. Многие свойства функции Грина не зависят, однако, от этих ограничений. Например, свойство симметрии, выражающееся равенством [c.132]

Зцание этих свойств функций Грина пригодилось в дальнейшем при выборе шагов по времени при прогностическом решении полных уравнений в то время как в геострофических моделях можно было принимать шаги по времени в 3 часа, теперь, даже при отбрасывании внешних гравитационных волн (ш = О при = 1), шаги по времени приходится брать от 30 до 60 м, а при точном краевом условии — в пределах 10—15 м. Для уверенности в математической устойчивости счета советские метеорологи впервые применили имплицитную запись всех линейных членов если при этом нелинейные части записать эксплицитно, то мы получим практически конечноразностную запись решений типа (6.7). [c.578]

С другой стороны, по свойству функции Грина а). и (д ) = 0, x S , и так как в области, ограниченной замкнутой кривой S -)- S3 = AFBEA, W (х) удовлетворяет теореме единственности (поведение в окрестности точек i4 и и обращение в нуль во всех других точках границы), то и (л ) = 0 внутри рассматриваемой области. Отсюда, по непрерывности, как и выше, W(x)=0 в области (В — 5,) между кривыми S и 2. По теореме Ляпунова — Таубера [c.421]

Следует заметить, что при решении задач с помощью функции Грина автор концентрирует внимание только иа одном из ее свойств, определяемом уравнением (1.3). На самом деле следует различать свойства функции Грина в случае решения предельных задач обыкновенных дифференциальных уравнений типа рассмотренных выше и решения дифференциальных уравнений в частныз производных.— Прим. ред. [c.26]

Отметим следующее важное свойство функций Грина. Интегралы в (2.13)— (2.14) содержат в знаменателе функцию 3)Лр), которая пропорциональна определителю граничных услоЬий для поверхностных волн, введенному в 4 гл. 1П 3) = (г - - гУЗ)Лр). Нули этого определителя, расположенные в точках [c.172]

Подчеркнем, что во всех рассуждениях настоящего параграфа мы не вводили модельных аппроксимаций и не делали никаких предположений специального типа. Были использованы только два утверждения о возможности поставить задачу в квазиодночастичном виде (24.1) и о сильно экранированном характере потенциала примеси, фигурирующего в (24.1). Первое, однако, есть общее следствие спектральных свойств функций Грина ( 9), а второе вытекает хотя бы из соображений размерности. [c.207]

Мультипликативная группа перенормировок. Инвариантный заряд. Для улучшения полученных разложений по степеням 5 — й-обменной связи обратимся к точным свойствам функций Грина и вершинных частей. Электронная и псевдофермионная функции [c.103]

Основываясь на рассмотренных здесь дл у1фо анстка, свойствах зеркальной симметрии, по-ограниченного плоскостью строим функции Грина для задач Дирихле и Неймана в области представляющей собой верхнее или нижнее полупространство, ограниченное плоскостью г = 0. [c.178]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...