Решение некоторых интегральных уравнений

В этом параграфе изучена плоская задача о вдавливании без трения штампа в двухслойную стареющую вязкоупругую полосу. Определение неизвестных под штампом контактных напряжений сведено к решению некоторого интегрального уравнения. Построено приближенное решение задачи. [c.125]

Согласно изложенному в приложении методу асимптотического решения некоторых интегральных уравнений, введем вместо p s) новую функцию [c.88]

Бесконечная сумма в (11.91) напоминает решение некоторого интегрального уравнения, полученное методом итераций. Если такое уравнение будет найдено, то мы сможем заменить вычисление бесконечной суммы его решением. [c.154]

Наша задача — представить эту бесконечную сумму в виде решения некоторого интегрального уравнения. Решив его, мы найдем и искомую сумму. Дифференцирование по времени кумулянтной функци приводит к исчезновению множителя 1/т [c.246]

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ [c.284]

Точное решение некоторых интегральных уравнений 43 [c.43]

В 1939 г. П. В. Мелентьев предложил метод расчета круговой вращающейся решетки, который впоследствии стал называться вихревым. Лопатки решетки заменяются при этом системами особенностей (вихрей, источников и стоков). Задача определения циркуляции вокруг профилей решетки сводится к решению некоторого интегрального уравнения. [c.852]

После обращения оператора (1.13) проблема сводится к решению некоторого интегрального уравнения Фредгольма второго рода [c.128]

Определение потенциала скоростей, удовлетворяюш его граничным и начальным условиям (1), (2), (4), может быть приведено к решению некоторого интегрального уравнения. [c.535]

При решении задачи о распределении токов необходимо учесть граничные условия на поверхности антенны. В такой постановке задача нахождения распределения тока по антенне сводится к решению некоторого интегрального уравнения. [c.99]

Более широкое применение в математической физике имеет такое направление, когда решение опять ищется в форме интеграла, но выбор ядра осуществляется таким образом, чтобы определение произвольной функции сводилось к решению классических интегральных уравнений. Соответствующие такому подходу представления называются потенциалами. Начнем изучение методов теории потенциалов с исследования уравнения Лапласа Пусть р и р — некоторые точки в пространстве, тогда можно показать, что функция [c.88]

Докажем, что все собственные значения уравнения (7.9) вещественны и по модулю не меньше 1, Предварительно установим некоторые вспомогательные соотношения. По аналогии с построением краевой задачи Римана для решения сингулярного интегрального уравнения и в нашем случае необходимо построить эквивалентное уравнению (7.9) соотношение между предельными (извне и изнутри) значениями потенциала простого слоя, плотностью которого является искомое решение интегрального уравнения. Воспользовавшись формулой (6.31), получаем соотношение [c.102]

Таким образом, поставленная задача о восстановлении напряженно-деформированного состояния упругого тела по известному вектору перемещений на части поверхности сводится к решению системы интегральных уравнений Фредгольма первого рода (3.9). Исходная информация, необходимая для однозначного нахождения неизвестного вектора реакций или нагрузки, в общем случае должна включать в себя данные о всех трех компонентах вектора перемещений на поверхности измерений. Но во многих случаях эффективному измерению поддаются лишь отдельные компоненты вектора перемещений. Например, при тензометрических исследованиях натурных конструкций или их моделей находят величины относительных удлинений (деформаций) в точках поверхности, что позволяет после предварительной обработки дискретных данных измерений (интерполирование, сглаживание и т.п.), путем интегрирования эпюр деформаций построить в локальной системе координат поверхности эпюры компонент вектора перемещений, касательных к поверхности измерений. В то же время нормальная к поверхности компонента вектора перемещений не может быть определена тензометрическими методами. В таких случаях определение неизвестного вектора напряжений может быть осуществлено по двум или даже одной компоненте вектора перемещений, при этом искомый вектор напряжений может восстанавливаться не однозначно. Это связано с возможностью появления нетривиальных решений для неполной системы однородных уравнений (3.9). В некоторых случаях характер нетривиальных решений можно предсказать. Выбор того или иного решения может быть осуществлен на основании некоторой дополнительной информации (например, информации о величине искомого вектора в какой-либо одной точке) или исходя- из общих представлений о напряженном состоянии исследуемой конструкции. [c.66]

Для построения стационарного решения следует использовать выражение (6.19), а нестационарного— (6.29). Данная методика позволяет избежать сложных вычислений при решении смешанных интегральных уравнений, полученных выше, и может быть эффективно использована при исследовании некоторых упругопластических систем например, систем с диаграммой Прандтля, кусочно-линейными характеристиками и т. п. Аналогичные результаты имеют место при изменении других параметров системы. [c.294]

Существует много физических задач, представляющих общепризнанный интерес, аналитическая обработка которых значительно упрощается применением теории пограничного слоя Прандтля. В этой статье рассматривается метод, с помощью которого может быть проведено исследование широкого ряда задач, однако в своих доводах и примерах мы ограничимся лишь некоторыми линейными интегральными уравнениями. Читатель сможет легко убедиться в том, что данный метод применим при тех же самых исходных соображениях и в других случаях, например для решения нелинейных интегральных уравнений, однако модификация выкладок зависит от конкретной задачи. [c.18]

Таким образом, задача свелась к решению однородного интегрального уравнения Фредгольма второго рода (4.9) с симметричным ядром, причем критический перепад температуры можно рассматривать как независимый параметр. Это уравнение имеет нетривиальное решение при некоторых собственных значениях АТ. Наименьшее из них (с недостатком) можно оценить приближенно по формуле [c.162]

Оптические методы. Эти методы широко используются для определения температуры потока плазмы как по сплошному, так и по линейчатому спектру излучения. Основное преимущество этих методов в том, что они являются бесконтактными, т.е. не вносят возмущений в измеряемую среду. Недостаток состоит в том, что этими методами измеряется, как правило, некоторая усредненная по линии визирования температура. Отсюда следует, что оптические методы позволяют непосредственно измерять истинную температуру только газовых струй с однородным распределением температуры в поперечном сечении. Если струя неоднородна, но осесимметрична, то путем решения соответствующего интегрального уравнения Абеля можно найти распределение температуры по радиусу струи. [c.290]

Переходя теперь к резонатору, следует отметить, что наличие анизотропии приводит к появлению еще одного требования, накладываемого на моды резонатора состояние поляризации на любой выбранной отсчетной плоскости после полного прохода резонатора должно воспроизводиться (в качестве такой отсчетной плоскости обычно выбирают выходное зеркало). Подобно тому как требование воспроизведения распределения амплитуды и фазы поля [т. е. существование мод резонатора (см. п. 2.1)] приводило к решению задачи на нахождение собственных значений некоторого интегрального уравнения, воспроизведение поляризационного состояния излучения математически может описываться задачей нахождения собственных значений матрицы Джонса / резонатора для полного прохода. Последняя определяется как произведение соответствующих матриц элементов резонатора, записанное справа налево в порядке прохождения излучением (рис, 2.26). [c.90]

Основные граничные плоские и антиплоские задачи теории упругости для многосвязной области, содержащей криволинейные разрезы и отверстия произвольной формы, сведены в работах [94—96] к системе сингулярных интегральных уравнений первого рода по замкнутым (контуры отверстий и внешняя граница) и разомкнутым (разрезы) контурам. При этом предполагалось, что контуры разрезов и отверстий не пересекаются между собой (см. параграф 3 данной главы). Краевые трещины рассматривались только в некоторых частных случаях граничного контура (окружность, прямая), когда удается построить модифицированные сингулярные интегральные уравнения, не содержащие искомых функций на этом контуре [70, 95]. В последнее время изучались также задачи в случае произвольной симметричной области с краевой трещиной, находящейся на оси упругой и геометрической симметрии [27, 53, 58, 104] (см. также параграфы 3—5 четвертой главы). Ниже, следуя работе [97], приводятся обобщения указанных выше результатов на общий случай многосвязной области с разрезами и отверстиями, когда разрезы одним или двумя концами могут выходить на внешнюю границу и контуры отверстий. Получены численные решения построенных интегральных уравнений при одноосном растяжении бесконечной плоскости с одним или двумя круговыми отверстиями, на контуры которых выходят радиальные трещины. [c.33]

Применение метода интегральных уравнений, или метода потенциала, для получения решения некоторых дифференциальных уравнений в частных производных уходит своими корнями в классический анализ. Многие обозначения и терминология в этой области связаны с развитыми в девятнадцатом веке представлениями для сил притяжения в ньютоновских гравитационных полях. Параллельно разрабатывались методы решения задач о нагруженных упругих телах. Для частных конфигураций были найдены функции Грина, позволяющие находить явные решения интегральных уравнений. Вслед за классической работой Фредгольма появилось большое число исследований по теории потенциала, посвященных построению всевозможных доказательств существования и единственности применительно к конкретным частным типам математических задач. [c.9]

В этой статье мы рассмотрим применение метода граничных интегральных уравнений (ГИУ), т. е. метода, согласно которому задача, заключающаяся в решении некоторого основного уравнения (обычно уравнения в Частных производных), справедливого в данной области при некоторых заданных граничных условиях, сводится к решению интегрального уравнения, которое относится лишь к границе области и учитывает граничные условия непосредственно. Преимущество такого преобразования заключается в том, что размерность задачи уменьшается на единицу, например трехмерное уравнение в частных производных сводится к двумерному интегральному уравнению. Хотя решение интегрального уравнения определяет искомые величины лишь на границе области, решение во внутренних точках, если это необходимо, можно получить при помощи квадратур. Иллюстрация этого подхода к задачам акустического излучения и рассеяния дана в работе [1]. Следует подчеркнуть, что мы не рассматриваем здесь применение метода интегральных преобразований, согласно которому пространственные координаты преобразуются к новым трансформированным переменным, задача решается в трансформированном пространстве и полученное решение преобразуется обратно к исходному координатному пространству. [c.18]

Так же как и в других приложениях метода ГИУ, наиболее распространенный подход к решению сингулярных интегральных уравнений состоит в разбиении границы С тела на некоторое число сегментов. Математически это соответствует представлению уравнения (6) в виде [c.36]

Поставленные задачи являются нелинейными и сводятся к совместному решению некоторого интегрального уравнения и уравнения теплопроводности. Однако, при помощи введения авторами коэффициента разделения потоков тепла в области контакта (оригинальные исследования по определению этой величины для различных видов сопряжений приведены в [9]), а также разумного усреднения некоторых механических характеристик задач, последние удалось существенно упростить — разбить на износоконтактные задачи и смешанные задачи теплопроводности для соприкасающихся тел. Получены аналитические формулы для основных характеристик явления. Показано, что существует счетный набор скоро- [c.483]

Михайлов, С. Е. Асимптотики решений некоторых интегральных уравнений и плоских задач теории упругости вблизи узлов при заданных на границе смещениях II Изв. АН СССР. Механика твердого тела.— 1991.— №,2.— С. 28— [c.220]

Результаты численных расчетов для рассматриваемой задачи проиллюстрированы на рис. 14—17 (кривые 4). При а О коэффициенты интенсивности напряжений стремятся к некоторым вырожденным значениям. Отметим, что задача об одноосном растяжении на бесконечности плоско и с трещиной ветвления аналогично рассмотрена в работе [414]. Для решения системы интегральных уравнений (11.66) при условии (11.82) применялись квадратурные формулы Гаусса и Лобатто (см. [236], с. 685). При этом замкнутая система алгебраических уравнений получена без использования дополнительных условий. Численные значения коэффициентов интенсивности напряжений, найденные в работе [414], хорошо согласуются с приведенными выше результатами. [c.66]

Свойства решения задачи в симметричных случаях. Исследуем некоторые свойства решения сингулярного интегрального уравнения первой основной задачи для многосвязной S, рассмотренной выше, когда область 5 и приложенная нагрузка удовлетворяют условиям симметрии. Предположим, что на замкнутых контурах Lk k=0,M) действуют самоуравновешенные усилия и скачок [c.23]

В 20-х годах были впервые строго исследованы задачи о волнах конечной амплитуды. А. И. Некрасову удалось свести задачу об установившихся периодических волнах на поверхности тяжелой жидкости неограниченной глубины к некоторому интегральному уравнению и провести его исследование, доказав существование и единственность решения. В конце 20-х годов Некрасов рассмотрел и случай жидкости конечной глубины, а Н. Е. Кочин исследовал распространение волн на поверхности раздела двух жидкостей разной плотности Позже методы строгой теории были перенесены на капиллярно-гравитационные волны и на простейшие случаи стоячих волн (Я. И. Се-керж-Зенькович и др.). [c.286]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...