Задача о гармоническом осцилляторе

П р и ме р. Задача о гармоническом осцилляторе. Пусть масса М== г, жесткость С=10 дин/см и время релаксации т=1/2 с. Тогда из (82) находим [c.231]

Мы приведем теперь в очень кратком виде решение задачи о гармоническом осцилляторе, совершающем вынужденные колебания, используя комплексные числа по схеме, изложенной в конце гл. 4. Уравнение движения (165) можно записать теперь в такой форме (для удобства вместо sin со/ будем писать os [c.241]

Может показаться, что применение канонического преобразования к задаче о гармоническом осцилляторе подобно стрельбе из пушки по воробьям . Однако мы имеем здесь простой пример того, как посредством канонических преобразований можно сделать все координаты циклическими. Рассмотрение общих схем решения механических задач с помощью этого метода мы отложим до следующей главы, а сейчас перейдем к- изложению общих свойств канонических преобразований. [c.273]

ЗАДАЧА О ГАРМОНИЧЕСКОМ ОСЦИЛЛЯТОРЕ 305 [c.305]

Задача о гармоническом осцилляторе. В качестве примера применения метода Гамильтона—Якоби мы подробно рассмотрим задачу о гармоническом осцилляторе с одной степенью свободы. Гамильтониан такой системы равен [c.305]

Мы рассмотрели весьма частные случаи, когда специальная структура функции Гамильтона позволяет дать общий конструктивный способ построения общего интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Следует, однако, отметить, что указанные способы разделения переменных применимы к таким важным задачам механики, как задача о гармоническом осцилляторе, задача о движении физического маятника, задача двух тел, задача о движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае Лагранжа и др. [c.365]

Прежде чем закончить рассмотрение задачи о гармоническом осцилляторе, проследим еще раз за ходом рассуждений в связи с заменой одного уравнения второго порядка (1.2.14) двумя уравнениями первого порядка ( 1.1). Эти уравнения имеют вид [c.21]

Если с помощью теоремы Гамильтона — Якоби получить решение первой задачи задачи о гармоническом осцилляторе), то решение второй задачи будет отличаться только тем, что а и Р более не будут постоянными, а будут определяться общим решением уравнений (25.2.3). [c.509]

Эта задача хорошо изучена — в квантовой механике ей соответствует задача о гармоническом осцилляторе (см. А. Н. Тихонов, А. А. Самарский [1]). Решения уравнений (22), удовлетворяющие нашим дополнительным условиям, существуют только при [c.346]

Найдите дополнительный квадратичный интеграл в задаче о гармоническом осцилляторе внутри эллипса и проведите качественный анализ этой задачи (в духе исследования динамики параболического биллиарда из 3). [c.118]

В качестве динамической системы в условиях предыдущей задачи берется гармонический осциллятор Н д, р) = +со д )/2), а в качестве функций g выбираются g2 = р , = др. Непосредственным вычислением показать, что соответствующие средние имеют вид ф1 = (о Н д , р ), ф2 = Н д , фз = 0. [c.214]

Выберем начальные условия так, чтобы 0( )=я/2. Тогда решение уравнений (2), (3) следует из формул задачи 1.3.4 о движении гармонического осциллятора после замены -> + iM /2m, ma - k + 2XE. Траектория представляет собой замкнутый эллипс. [c.86]

Пример 19.10В. Рассмотрим в свете изложенной теории задачу о колебаниях гармонического осциллятора в сопротивляющейся среде (эта задача уже рассматривалась нами в 19.2). [c.380]

Пример 23.2А. Гармонический осциллятор. Выше уже отмечалось, что в задаче о малых колебаниях элементы матрицы А постоянны. В частном случае системы с одной степенью свободы уравнения имеют вид [c.461]

В-третьих, встречается немало случаев, когда мы сталкиваемся с системами, уравнения движения которых чрезвычайно сложны и не позволяют получить точное решение в замкнутой форме нередко, однако, возможно указать другую систему, гамильтониан которой почти такой же, как и гамильтониан интересующей нас системы, но решение уравнений движения которой может быть получено в замкнутой форме через квадратуры. Различие между исходным и упрощенным гамильтонианами может в этом случае рассматриваться как возмущение . Именно к этому типу возмущений и относится задача об ангармоническом осцилляторе. Эта задача возникает в теории малых колебаний, о которых шла речь в гл. 3. В гл. 3 мы удержали только первый член, отличный от нуля, в выражении для потенциальной энергии, что и привело нас к таким уравнениям движения, которые удалось свести к совокупности уравнений независимых гармонических осцилляторов. Вот эту-то систему мы и считаем невозмущенной. Возмущение состоит в том, что в гамиль- [c.183]

Из (8.230) ясно, что задача о поле электромагнитного излучения может быть сведена к задаче о совокупности гармонических осцилляторов. Мы отметим также, что выражение для Н (8.230) может быть переписано с помощью (8.228), (8.226), (8.217) и (8.216) в виде [c.218]

ЗЛО) при подстановке в него вместо Ws величин Wi и W2. Функции, которые входят в формулу (ЗЛО), вводятся при решении задачи о квантовомеханическом гармоническом осцилляторе, и поэтому их называют функциями такого осциллятора [9]. Картина интенсивности света, соответствующая распределению поля (ЗЛО), определяется квадратом электрического поля. [c.38]

По аналогии с квантовомеханической задачей о простом гармоническом осцилляторе из квантовомеханического рассмотрения плазменных колебаний следует, что энергия колебаний квантуется согласно условию [c.285]

Мы еш,ё вернёмся к более подробному обсуждению задачи о динамике волнового пакета в гл. 4, где будут рассмотрены когерентные и сжатые волновые пакеты в потенциале гармонического осциллятора. [c.76]

Для учета взаимодействия колебания и вращения в многоатомной молекуле с точки зрения квантовой механики необходимо применить волновое уравнение (2,275) с оператором Гамильтона в его наиболее общем виде (2,276). Уровни энергии получаются путем решения задачи о возмущении, причем в качестве возмущающей функции берется разность между оператором Гамильтона вида (2,276) и оператором Гамильтона для гармонического осциллятора и жесткого ротатора, [c.403]

Гауссова функция распределения ехр [— а /( )] зависит только от квантовомеханических переменных. При переходе к классическому полю I а р и среднее квантовое число (п) стремятся к бесконечности как но так, что их отношение, которое является аргументом гауссовой функции, остается строго определенным. В классическом пределе вид распределения общеизвестен. Исторически одной из причин постановки задачи о хаотическом движении явилось рассмотрение поведения классического гармонического осциллятора, подверженного хаотическому возбуждению [14, 15]. Такие осцилляторы обладают комплексными амплитудами, которые при самых общих условиях описываются гауссовым распределением. Если бы мы не знали квантовомеханического анализа, то вполне могли бы предположить, что гауссово распределение, полученное таким способом из классической теории, может описывать распределение фотонов. Чтобы показать ошибочность такого заключения, необходимо более тщательно изучить природу параметра (п), который в конечном счете является единственным физическим параметром, содержащимся в распределении. В качестве простого примера можно рассмотреть тепловое возбуждение при температуре Т. Тогда среднее число фотонов равно (п)= [ехр (йсо/ Г)—1] к — постоянная Больцмана), а распределение Р (а) в этом случае принимает вид [c.98]

Таким образом, с помощью нормальных координат задача о свободных колебаниях -мерной механической системы сводится к исследованию колебаний совокупности независимых между собой линейных гармонических осцилляторов. [c.241]

Рассмотрим задачу о движении материальной точки по гладкой поверхности трехосного эллипсоида под действием упругой силы, направленной к центру (или от центра) эллипсоида. Эта задача проинтегрирована Якоби с использованием эллиптических координат [56]. Устремим одну из полуосей эллипсоида к нулю. Тогда задача Якоби перейдет в задачу о колебаниях гармонического осциллятора, заключенного внутри эллипса. Если коэффициент упругости равен нулю, то получим эллиптический биллиард Биркгофа. Динамику гармонического осциллятора внутри эллипса можно исследовать методом 1 с помощью разделяющихся переменных — эллиптических координат на плоскости. [c.111]

Идея о колебательной общности кажущихся непохожими на первый взгляд явлений самой различной природы (механических, электромагнитных, химических, биологических и т.д.) в наше время представляется естественной не только искушенным исследователям, но даже вчерашним школьникам. Действительно, в ответ на вопрос, что такое гармонический осциллятор, многие из них приведут в качестве примера и маятник ходиков , и электрический контур, составленный из емкости и индуктивности одновременно. Тем не менее и сегодня колебательные явления и эффекты, наблюдаемые в не столь тривиальных ситуациях, зачастую не всегда легко связать с основными элементарными процессами. Особенно это относится к волновым задачам. Поэтому имеется насущная потребность в учебном курсе, в котором современная теория колебаний и волн предстала бы перед читателем своими явлениями и эффектами, обнаруживаемыми в самых различных приложениях, по допускающими единое описание и понимание. Подчеркнем, что, хотя формально единство колебательных и волновых процессов совершенно различной природы основывается на сходстве математических моделей, оно не исчерпывается им. Ничуть не менее важным является межведомственная система понятий, моделей и приближений, позволяющая ориентироваться в чрезвычайном разнообразии колебательных и волновых процессов, которые встречаются в природе и технике. [c.11]

В первом случае система является гармоническим осциллятором. Орбитами являются эллипсы с центром в точке г=0. Второй случай соответствует гравитационному притяжению. Задача о движении точки в силовом поле с потенциалом U=—у/г обычно называется задачей Кеплера. [c.64]

Решение задачи о вынужденных колебаниях газа в пограничном слое под действием гармонического осциллятора, расположенного на некотором расстоянии от передней кромки неподвижной плоской пластинки в сверхзвуковом потоке, изложено в [48]. Если против потока излучаемые осциллятором возмущения распространяются в виде одной внутренней волны, то вниз по потоку поле течения включает бесконечную систему внутренних волн. [c.6]

Воспользовавшись решением (9) задачи о движении гармонического осциллятора, можно получить, что его энергия ти кх [c.121]

Примеры, приведенные в этой главе, уже дают некоторое представление о том, как один и тот же математический аппарат (тригонометрические формулы, векторные диаграммы) может быть с успехом применен к задачам о суперпозиции колебаний самой различной физической природы. В следующей главе мы познакомимся с дифференциальным уравнением гармонического осциллятора, которое описывает колебания множества физически совершенно разнородных систем в главе V —с волновым дифференциальным уравнением, одинаково применимым к акустическим и электромагнитным волнам в главе XI—с понятием спектра функции и со спектральным разложением, частным случаем которого является ряд (2.16) и которое также служит одним из наиболее универсальных и сильных математических средств теории колебаний н волн. [c.54]

Пусть с<0. Будем деформировать эллипс так, чтобы один из его фокусов оставался неподвижным, а второй удалялся в бесконечность, причем а——b )— - onst. В результате эллипс превратится в параболу. Если при этом еще уменьшать величину коэффициента упругости так, чтобы с а— g, то задача о гармоническом осцилляторе внутри эллипса перейдет в задачу о параболическом биллиарде, рассмотренную в 3. Можно показать, что при таком предельном переходе второе условие устойчивости перейдет в уже известное нам условие h mga 2. [c.112]

Глава 7 (Гармонический осциллятор). Очень важны линейные задачи и, в частности, задача о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора. Даже в объеме минимальной программы необходимо разобрать первый из трех примеров нелинейных задач, потому что он дает студентам понятие о том, как они могут оценить ошибки, обусловленные линеаризацией задачи о колебаниях маятника. Понятие о сдвиге фаз при вынужденных колебаниях гармонического осциллятора не сразу воспринимается большинством студеп-тов. Здесь помогает хорошая лекционная демонстрация. Электрические аналогии плохо воспринимаются на этой стадии преподавания, и их, может быть, следовало бы оставить для лабораторных работ. В демонстрации входят гармонические колебания камертонов (следует усилить их, чтобы звук был хорошо слышен, а также показать форму волны на экране) вынужденные колебания груза на пружине задаваемые генератором сигналов вынужденные электрические колебания контура, состоящего из сопротивления, индуктивности и емкости прибор Прингсхейма колебания связанных осцилляторов. [c.15]

Важной особенностью этой задачи является то, что при ее решении, строго говоря, нельзя пользоваться колебательными термодинамическими функциями, вычисленными в гармоническом приближении. Действительно, если ограничиться в разложении потенциальной энергии членами, квадратичными по отклонению от равновесного расстояния между атомами, то в таком (осцилляторйом) потенциальном поле (кривая 1 на рис. 68) возможно только финитное движение атомов с дискретным спектром энергий, а разрыв молекулы на атомы в этом приближении описан быть не может. Диссоциация, строго говоря, может быть описана при учете ангармоничности колебаний, а также связи колебаний и вращений. При этом возникает потенциальный барьер (кривая 2 на рис. 68) и возникает возможность перехода в сплошной спектр — относительное движение атомов становится инфинитным. Такое строгое решение задачи о диссоциации является, [c.240]

Поляризация световых волн определяется вектором электрического поля Е(г, /) в фиксированной точке пространства г в момент времени t. Поскольку вектор электрического поля монохроматической волны Е изменяется во времени по синусоидальному закону, колебания электрического поля должны происходить с определенной частотой. Если предположить, что свет распространяется в направлении оси Z, то вектор электрического поля будет располагаться в плоскости XJ. Поскольку X- и/-составляющая вектора поля могут колебаться независимо с определенной частотой, сначала следует рассмотреть эффекты, связанные с векторным сложением этих двух осциллирующих ортогональных составляющих. Задача о сложении двух независимых ортогональных колебаний с некоторой частотой хорошо известна и полностью аналогична задаче о классическом движении двумерного гармонического осциллятора. В общем случае такой осциллятор движется по эллипсу, который отвечает не-сфазированным колебаниям х- и -составляющих. Существует, конечно, много частных случаев, имеющих больщое значение в оптике. Мы начнем с рассмотрения общих свойств излучения с эллиптической поляризацией, а затем обсудим ряд частных случаев. [c.64]

Впервые задачу о вынужденных колебаниях осциллятора с кулоновским трением под действием гармонической силы решал В. Экольт, затем, учитывав ц вязкое трение, Дж. П. Ден-Гартог. В 1935 г. Э. Мейснер рассматривал колебания осциллятора при наличии кулоновского трения и внеш-негог периодического ступенчатого воздействия. При произвольном периодическом внешнем воздействии эта задача рассматривалась Г. Циглером. [c.148]

Уже упоминалось о том, что подходящей моделью молекулы компонент воздуха является абсолютно твердая гантель. При температурах выше нормальной в окрестности Т подходящей моделью молекул компонент воздуха является квантовый гармонический осциллятор (КГО). Задача о КГО — одна из немногих задач для уравнения Шрёдингера, имеющих точное решение [10]. Опуская выкладки, приведем полученное из этого решения выражение для колебательной энергии единицы массы газа, находящегося в равновесии [c.33]

Как можно описать движение нерелятивистской частицы в связывающем потенциале Можно выбрать за основу классическую механику и порассуждать о траекториях в фазовом пространстве. Это один подход. Противоположный, квантово-механический подход заключается в том, чтобы найти собственные функции данной энергии этого осциллятора. К сожалению, аналитическое рассмотрение соответствующего уравнения Шрёдингера ограничено очень небольшим набором потенциалов специального вида, таких как потенциал гармонического осциллятора, потенциал Морса и ещё нескольких. В большинстве же случаев мы вынуждены обращаться к численным решениям. Однако как аналитические, так и численные решения часто скрывают поразительные и замечательные свойства рассматриваемого круга задач. Эти скрытые свойства выходят на свет только в полуклассическом пределе квантовой механики, который рассматривается в этом разделе. [c.181]

Эволюция во времени в потенциале гармонического осциллятора. Проиллюстрируем понятие фазы Ааронова-Анандана, применив его к задаче о временной эволюции квантового состояния в квадратичном потенциале. Мы определим геометрическую и динамическую фазы. [c.217]

Сведение к классической задаче. Чтобы получить некоторое представление о динамике гармонического осциллятора с зависящей от времени частотой, рассмотрим сначала эволюцию гейзенберговских операторов. В данной главе мы используем реперный осциллятор с постоянной частотой Операторы в начальный момент времени, либо начальные состояния в шрёдингеровской картине определены по отношению к данному реперному осциллятору. Частота сОг является некоторым вещественным параметром, находящимся в нашем распоряжении. Глаубер показал, что стационарный гармонический осциллятор с частотой ujr может служить в качестве реперного осциллятора, чьи собственные энергетические состояния п) образуют удобный полный базис. Без потери общности, реперную частоту можно выбрать так, чтобы состояния п) были начальными условиями для состояний Флоке, как показано в разделе 17.3.4. [c.534]

В качестве другого примера диссипативной системы мы рассмотрим осциллятор с сухим трением (рис. 115), причем для простогъ будем считать, что при отсутствии трения система представляет гармонический осциллятор. Такую задачу об осцилляторе, который при отсутствии трения был бы гармоническим, мы уже рассматривали в гл. I, 4, предполагая, однако, при этом, что сила. трения пропорциональна скорости. Этот закон трения удовлетворительно определяет сопротивление движению тела со стороны жидкой или газообразной среды при не слишком больших скоростях. Однако этот линейный закон совершенно не отображает закономерностей сухого трения — трения между твердыми поверхностями (без слоя смазки между ними), имеющегося в рассматриваемой колебательной системе. Достаточно хорошо основные черты этих закономерностей, во всяком случае в области малых скоростей, передаются предположением о постоянном [c.175]

Известно, что благодаря явлению резонанса сильно несинусоидальная внешняя сила при наличии линейного затухания может поддерживать Б гармоническом осцилляторе колебания, весьма близкие(в смысле близости периода и малости клирфактора) к одному из его собственных (и, следовательно, синусоидальных) колебаний. Мы можем поэтому сказать, что в задаче о генераторе с /-характеристикой при достаточно малом А мы имеем дело с авторезонансом, т. е. с резонансом под действием силы, порождаемой движением самой системы ). [c.194]

При Дз = О среди профилей семейства (3.34) содержатся параболический волновод (Дз < 0), исследованный, в частности, Иамадой [399], и параболический антиволновод ( >0), рассмотренный Мастеровым и Муромцевой (194]. В этих частных случаях входящая в формулу (3.24) функция может быть выражена через функцию Вебера (шраболичес-кого цнлиндра), о,5 1) [240], которая и использовалась авторами статей [194, 399]. В квантово-механической интерпретации величина к г) вида (3.34) при = 0 в зависимости от знака Дз соответствует потенциалу гармонического осциллятора или параболическому потенциальному барьеру. Эти задачи подробно анализируются в курсах квантовой механики (см., например [196, 23 и 50]). [c.56]

Раздел Задачи и дополнительные вопросы к главе 1 включает 44 задачи, часть из которых действительно является задачами, использующими предложенный в основном тексте формализм. Из дополнительных вопросов отметим примеры, связанные с использованием методов формальной теории вероятностей (1-5), в разделе Канонические распределения и теория флуктуаций — исследование общего вопроса о гауссоюсти распределения по энергии и числу частиц в рамках канонического распределения Гиббса, в разделе Классические системы — задачи 24, 25, а также 44, связанные с использованием величин рк — фурье-компонент плотности числа частиц и их связи с парной корреляционной функцией и флуктуациями плотности, в задачах 28, 29 участвуют системы из гармонических осцилляторов (резонатор, струна равновесному электромагнитному излучению посвящен самостоятельный раздел), и, наконец, задача 43 — традиционная проблема рассеяния света на флуктуациях плотности. [c.42]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...