Уравнения Гамильтона и их интегралы

УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА И ИХ ИНТЕГРАЛЫ [c.229]

Члены, стоящие в этих равенствах слева, суть частные производные функции 5, которую мистер Гамильтон назвал главной функцией движения притягивающихся или отталкивающихся систем. Он думает, что если математики изучат эту главную функцию 5 и эти группы уравнений (5) и (6), они должны будут оценить их значение. Из группы (5) определяют Зп промежуточных интегралов известных уравнений движения (4) в форме Зп отношений между временем I, массами т, варьированными координатами х, у, z, варьированными составляющими скорости х, у, 2 и Зп начальными константами а, Ь, с, в то время как группа (6) определяет Зп конечных интегралов тех же известных дифференциальных уравнений, как.Зл отношений с бл начальными и произвольными константами а, Ь, с, а, Ь, с между временем, массами и Зл варьированными координатами. Эти Зп промежуточных и Зл конечных интегралов разрешают проблему динамики. Математики же находят семь промежуточных и ни одного конечного интеграла. [c.285]

Теорема Пуассона. Если /1(2, I) и Д(г, I) - два первых интеграла уравнений Гамильтона (5), то их скобка Пуассона тоже является первым интегралом. [c.363]

Как уже отмечалось выше, вид фазового портрета приведенной системы полностью определяется особенностями (сингулярностями) гамильтониана и (относительными) равновесиями системы (3.8). Приведем их последовательный анализ. Интегралы движения h и D в этом случае также задаются уравнениями (3.28). [c.70]

Знак - во второй группе уравнений (7.4) поставлен из соображений удобства (ср. с (7.3)). Напомним, что общее решение системы 2п дифференциальных уравнений Гамильтона — это семейство решений, зависящее от 2п произвольных постоянных (их можно выразить через начальные координаты и импульсы). Первое из уравнений (7.5) представляет инвариантное соотношение (по теореме 1), а функции д8/дс1,..., д8/дсп с учетом этого соотношения составляют набор независимых интегралов канонических уравнений Гамильтона. Так как выполнено неравенство (7.4), то по теореме о неявных функциях из второго соотношения (7.5) можно найти координаты х как функции от и 2и произвольных постоянных Ь,с. Подставляя полученные выражения в первое соотношение (7.5), получим импульсы в виде функций от 1, Ь, с. [c.76]

Пока я с достоверностью не могу судить о том, получится ли подобным образом аналитическое объяснение и более сложных случаев. Я могу это только предполагать. Большинству исследователей, конечно, кажется, что при описанном выше делящемся на этапы методе первый этап дает решение более сложной проблемы, чем это собственно требуется для получения окончательного результата получения выражения для энергии, имеющего обычно вид очень простой рациональной функции от квантовых чисел. Уже применение метода Гамильтона—Якоби приводит, как известно, к большим упрощениям р ], причем отпадает необходимость в фактическом решении механических уравнений. Вместо того чтобы брать интегралы, представляющие импульсы с переменным верхним пределом, достаточно их интегрировать по замкнутому в комплексной плоскости пути, что представляет значительно меньше труда. Кроме того, если действительно известен полный [c.693]

Эти поля касательны к М, так как их орбиты служат решениями гамильтоновых уравнений с функцией Гамильтона Fi (эти уравнения допускают Fj в качестве первых интегралов, так как Fi Fj) = О и каждая траектория лежит в М), [c.210]

E Jп функция Р в (2.43) есть один из интегралов уравнений Га-кшльтона и во второе слагаемое (2.43) подставлень[ уравнения Гамильтона в их классическом виде (2.3), то второе слагаемое в (2.43) примет вид [c.73]

В IV отделе Динамики Лагранж указал чрезвычайно интересный вид, какой получают уравнения динамици, если вместо координат различных точек подставить любую систему переменных. В настоящей Статье мы вернемся к составлению этих уравнений. Затем мы укашем чрезвычайно удачное преобразование, которому подверг их Гамильтон (Hamilton) и из которого можно вывести ряд свойств их интегралов, подходящих ко всем тем проблемам, при которых применяется преобразование Гамильтона. [c.549]

Метод основан на комбинации принципов вариационного исчисления-с частными производными и может рассматриваться математиками как особая ветвь алгебры, которая может быть названа исчислением главной функции, потому что во всех важных приложениях алгебры к физике и в очень широком классе чисто математических вопросов этот метод сводит определение многих взаимно связанных функций к отысканию и изучению главного или центрального соотношения. В приложениях этого метода к динамике (прежде этот метод был применен к оптике) профессор Гамильтон открыл существование главной функции, которая, если ее форма полностью известна, дает по определении ее частных производных все первые и все конечные интегралы известных уравнений движения. Профессор Гамильтон придерживается мнения, что математическое объяснение всех явлений материи, отличных от жизненных явлений, будет окончательно найдено в зависимости от свойств системы отталкивающихся или притягивающихся точек. И он думает, что те,, кто не одобряет его мнения во всей его общности, могут все же признать при современном состоянии науки свойства таких систем более важными, чем какая-либо другая область приложения математики к физике. Он, таким образом, считает фундаментальной проблемой динамики определить Зп прямоугольных координат или других характеристик положения свободной системы притягивающихся и отталкивающихся точек как функции времени , включающих, следовательно, 6п начальных постоянных, которые зависят от начальных условий движения, и включающих, кроме того, п других констант, называемых массами, которые измеряют на стандартном расстоянии притягательные и отталкивательные действия (energies). Обозначая эти п масс через т , т ,..., т и их Зп прямоугольных координат — через Xi,y ,Zi,. .., х , у , и, следовательно, 3 компонентов ускорения или вторых производных этих координат по времени — через х , У , . .. [c.284]

В этой главе прежде исего будет рассказано о том, как можно описать движение механической систел1ы с 5 стеиенями свободы в 25-мерном фазовом пространстве. Канонические уравнения выводятся из уравнений Лагранжа, Канонические преобразования обсуждаются весь 1а кратко, более подробно рассматриваются свойства скобок Пуассона, их инвариантность относительно канонических преобразований, их значение для отыскания интегралов движения и связь с бесконечно малыми контактными преобразованиями. Бегло рассмотрен случай движения заряженной частицы Б электромагнитном поле. В последнем параграфе принцип наименьшего действия выводится из вариационного принципа Гамильтона и обсуждается вопрос о том, как молено рассматривать время на равных правах со всеми остальными координатами q . [c.123]

Проблема точного интегрирования уравнений динамики — одна из самых популярных тем исследования, начиная со знаменитых Математических начал натуральной философии Ньютона. Руководящей идеей в этом круге вопросов является общая идея симметрии. При решении задачи о центральном движении Ньютон уже использовал соображения симметрии факторизуя орбиты группы вращений, он свел эту задачу к изучению движения по прямой в потенциальном поле. Впоследствии Лагранж и Якоби заметили, что классические интегралы задачи многих гравитирующих тел связаны с инвариантностью уравнений движения относительно группы преобразований Галилея. Это фундаментальное наблюдение обобщено Эмми Нётер каждой группе преобразований, сохраняющих действие по Гамильтону, отвечает интеграл уравнений движения. Верно и обратное фазовый поток уравнений Гамильтона, в которых гамильтонианом служит известный интеграл, переводит решения исходных уравнений движения в решения тех же уравнений. На этой идее основано доказательство известной теоремы Лиувилля о полной интегрируемости уравнений Гамильтона фазовые потоки инволютивных интегралов попарно коммутируют и порождают абелеву группу симметрий максимально возможной размерности на многообразиях их совместных уровней. [c.6]

Первые 6 лекций Якоби посвящает изложению основных принципов механики принципу сохранения движения центра тяжести системы, принципу живой силы, принципу площадей и принципу наименьшего действия. С 10-ой лекции Якоби развивает теорию множителя" систем обыкновенных дифференциальных уравнений, являющуюся обобщением теории эйлеров-ского интегрирующего множителя. Якоби показывает каким образом можно в целом ряде случаев построить с помощью последнего множителя" всю систему п независимых интегралов. Изложив подробно теорию этого множителя, Якоби затем применяет ее к решению ряда механических задач. С 19-ой лекции Якоби, исходя из вариационного принципа Гамильтона, излагает тот метод интегрирования уравнения с частными производными первого порядка, который известен под названием метода Якоби-Гамильтона". В следующих лекциях этот метод примендется к ряду задач, взятых главным образом из области небесной механики. В 26 лекции Якоби излагает теорию эллиптических координат и показывает их приложение к разысканию геодезических линий эллипсоида, к задаче построения карт, к выводу основной теоремы Абеля и проч. Наконец, последние лекции Якоби посвящены изложению его классических методов интегрирования нелинейных уравнений в частных производных первого порядка. [c.4]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...