Параболический биллиард

Найдите дополнительный квадратичный интеграл в задаче о гармоническом осцилляторе внутри эллипса и проведите качественный анализ этой задачи (в духе исследования динамики параболического биллиарда из 3). [c.118]

Устремим теперь параметр Ь к нулю. Тогда параболоид (3.1) перейдет в область над параболой у= х /2а в вертикальной плоскости 2=0, а движение точки по параболоиду перейдет в свободное падение по параболе с абсолютно упругими ударами. Поскольку задача Пенлеве — Чаплыгина интегрируема при всех значениях 6>0, то и предельная задача о параболическом биллиарде также [c.109]

Пусть с<0. Будем деформировать эллипс так, чтобы один из его фокусов оставался неподвижным, а второй удалялся в бесконечность, причем а——b )— - onst. В результате эллипс превратится в параболу. Если при этом еще уменьшать величину коэффициента упругости так, чтобы с а— g, то задача о гармоническом осцилляторе внутри эллипса перейдет в задачу о параболическом биллиарде, рассмотренную в 3. Можно показать, что при таком предельном переходе второе условие устойчивости перейдет в уже известное нам условие h mga 2. [c.112]

Это и будут начальные значения величин ое, р, тг, у, р во второй фазе, в течение которой центр О продолжает двигаться по прямой линии с постоянной скоростью составляющие этой скорости определяются из уравнений (10). Так как эти составляющие совпадают с составляющими скорости точки О в конце параболической траектории первой фазы, то мы непосредственно видим, что центр О после пробегания дуги параболы движется равномерно вдоль касательной в конце параболы в ту же сторону. Так как может случиться (это видно из уравнений (10)), что ориентированное направление этой касательной образует тупой угол с начальной скоростью, то мы имеем здесь теоретическое объяснение того факта, хорошо известного игрокам на биллиарде, что шар при известных условиях может в своем движении повернуть назад. [c.191]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...