Биллиард эллиптический

Введение. Математические биллиарды — один из важных модельных объектов рассмотрения в теории динамических систем и ее приложениях [1-5]. В последнее время начались исследования биллиардов с медленно меняющимися параметрами (см., например, [6]). В данной работе рассматривается динамика в медленно вращающихся прямоугольном и эллиптическом биллиардах с медленно изменяющимися границами. Рассматриваемые системы близки к интегрируемым, и для их изучения могут быть применены методы теории возмущений. В этих системах имеют место резонансные явления захват в резонанс и рассеяние на резонансе. При исследовании этих явлений ниже используются методы, развитые в теории гладких гамильтоновых систем с быстрыми и медленными переменными [7]. Результаты настоящей работы свидетельствуют, что эти методы могут успешно применяться и для исследования систем с ударами, какими являются биллиарды. [c.171]

Эллиптический биллиард. Перейдем к рассмотрению динамики частицы в эллиптическом биллиарде. Пусть — расстояния между частицей и фокусами биллиарда, 2с — расстояние между фокусами. Гамильтониан системы в эллиптических координатах — г + Г2, г] — г — Г2 имеет следуюш,ий вид [c.177]

Результаты численного исследования системы представлены на рис. 9-15. На рис. 9, 10 показаны результаты численного исследования медленно деформируемого эллиптического биллиарда без враш,ения. Полуоси биллиарда da и dь изменялись периодически во времени. На рис. 9 показаны скачки адиабатического [c.183]

Переходя к описанию фазового портрета эллиптического биллиарда, заметим, что в этой ситуации также существует интеграл движения. Он может быть описан следующим образом. Прямая, соответствующая данному отрезку орбиты, является касательной к единственной квадрике, софокусной данному эллипсу. Оказывается, что биллиардное отображение сохраняет это свойство, т. е. все прямые, принадлежащие одной орбите, касательны к той же самой квадрике. Поэтому любой параметр, характеризующий данную квадрику, например эксцентриситет, служит первым интегралом движения. Эти квадрики распадаются на два семейства и два вырожденных случая. Положительный эксцентриситет соответствует случаю эллипсов, софокусных с данным. Каждый эллипс соответствует инвариантной кривой в фазовом [c.350]

Можно попытаться найти биллиарды, которые порождают отображения, обладающие вторым интегралом движения, выбирая другую квадратичную функцию координат 2 и А, например / = г — А , строя векторное поле осей симметрии, соответствующее этой функции (на самом деле существуют два таких векторных поля) и рассматривая интегральные кривые такого поля как границы биллиардов. Можно показать, что одно из векторных полей, определяемых функцией I, порождает биллиард с замкнутыми софокусными эллиптическими орбитами, а второе — с софокусными гиперболами (см. упражнения 9.2.8 и 9.2.9). [c.351]

Опишите множество Ог(/) для эллиптического биллиарда ( 9.2). [c.437]

Найдите глобально минимальные орбиты эллиптического биллиарда ( 9.2). [c.444]

Значительное внимание уделено интегрируемым биллиардам. Кроме известных интегрируемых задач (эллиптический биллиард, биллиарды в аффинных камерах Вейля) указаны новые гармонический осциллятор внутри эллипса, некоторые биллиарды на поверхностях постоянной кривизны и ряд других. Обсуждается проблема интегрируемости систем биллиардного типа. Дан краткий обзор работ по биллиардам с эргодическим поведением. [c.5]

Пусть Г — гладкая регулярная кривая на поверхности кругового цилиндра И и — круговое сечение этого цилиндра, ортогонально пересекающее Г ровно в одной точке. Рассмотрим биллиард на И с границей Г ясно, что — одна из периодических траекторий этого биллиарда. Может ли она быть эллиптической [c.82]

При Я=0 получаем границу рассматриваемого эллиптического биллиарда (1.1). Так как материальная точка находится все время внутри эллипса (1.1), то координата Я1 может изменяться от —Ь до нуля. [c.100]

Из этих простых наблюдений можно вывести важное свойство траекторий эллиптического биллиарда отрезки прямых, из кото- [c.101]

Остается рассмотреть последнюю возможность lh = b. Покажем, что в этом случае каждая траектория последовательно проходит через фокусы эллипса. Действительно, координаты и Яг изменяются в интервалах I—Ь, 0J и [—а, —Ь]. После отражения точки от границы эллиптического биллиарда координата Я[ начинает монотонно убывать, и поэтому через некоторый конечный или бесконечный промежуток времени ее значение станет равным —Ь. В первом случае согласно (1.6) х =а—Ь, y=Q. Следовательно, в этот момент времени материальная точка будет совпадать с одним из фокусов эллипса. Второй случай невозможен, поскольку точка движется равномерно по прямой и поэтому не может асимптотически приближаться к фокусу. [c.103]

Доказательство основано на том факте, что интегралы задачи о геодезических на п-мерном эллипсоиде являются интегралами биллиардной системы в E. Явное интегрирование осуществляется с помощью эллиптических координат (ср. с 1). В частном случае, когда п = 3, устремим одну из полуосей к нулю. Тогда в пределе получим серию интегрируемых биллиардов, ограниченных софокусными кониками на двумерной евклидовой плоскости (рис. 41). [c.105]

Этот биллиард имеет дополнительный квадратичный по скорости г интеграл. Явное интегрирование осуществляется с использо ванием конических координат. Если радиус сферы 5 устремить к бесконечности, то в пределе получим эллиптический биллиард Биркгофа, рассмотренный в 1. [c.108]

ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЙ БИЛЛИАРД [c.111]

Рассмотрим задачу о движении материальной точки по гладкой поверхности трехосного эллипсоида под действием упругой силы, направленной к центру (или от центра) эллипсоида. Эта задача проинтегрирована Якоби с использованием эллиптических координат [56]. Устремим одну из полуосей эллипсоида к нулю. Тогда задача Якоби перейдет в задачу о колебаниях гармонического осциллятора, заключенного внутри эллипса. Если коэффициент упругости равен нулю, то получим эллиптический биллиард Биркгофа. Динамику гармонического осциллятора внутри эллипса можно исследовать методом 1 с помощью разделяющихся переменных — эллиптических координат на плоскости. [c.111]

С учетом отмеченного выше эвристического предельного перехода из этого утверждения получаем следующий результат для биллиарда Биркгофа индекс Морса невырожденной эллиптической четно-звенной периодической траектории с упругими отражениями всегда нечетный. В главе 2 этот результат получен как следствие теоремы 2. [c.157]

В то же время рассмотрим эллиптический биллиард (рис. 18.2) [c.79]

Гамильтониан (19) описывает динамику частицы в эллиптическом биллиарде, возмущаемом медленной деформацией и вращением. Невозмущенная система (г = = onst, = ш = 0) интегрируема. Кроме интеграла энергии, имеется дополни-тельний интеграл движения i = с = с , [c.179]

Итак, динамика в эллиптическом биллиарде похожа на рассмотренную в предыдущем разделе динамику в случае прямоугольного биллиарда. Фазовая точка в пространстве (/ , 7 ,, Pf, г) движется следующим образом вдали от резонансных поверхностей низкого порядка ки00и 1и, Р ,т ) kv v Iv, = 0 [c.182]

Замечание. Закручивающее отображение может обладать несколькими инвариантными окружностями с равными рациональными числами вращения. Так обстоит дело в случае эллиптического биллиарда (см. рис. 9.2.3), где две ветви гетероклинических петель образуют пару инвариантных окружностей с числом вращения 1 /2. Отображение сдвига за время t (для малого Ь) математического маятника (п. 5.2 в) демонстрирует подобное явление для нулевого числа вращения. [c.430]

Таким образом, в силу следствия 4 теоремы 3 справедливо Предложение 4. Двузвенная траектория биллиарда Биркгофа при выполнении одного из неравенств />1/ 1+1Рг или Д < < [c.74]

Предполагается, что удары о границу являются абсолютно упругими. Эта динамическая система называется эллиптическим биллиардом. Согласно Биркгофу [42, гл. VIII] эллиптический биллиард получается из известной задачи Якоби о движении по геодезическим линиям на поверхности трехосного эллипсоида [c.99]

Эта квагратичная по скоростям х, у функция является, конечно, интегралом для эллиптического биллиарда. При а = Ь (когда эллипс превращается в окружность) получаем линейный интеграл момента ху ху. [c.100]

Второе условие (4.2) имеет простой геометрический смысл ам-плитуиа периодических колебаний точки не превосходит расстояния от конца большей полуоси до ближайшего фокуса. При увеличении амплитуды это решение теряет устойчивость, становясь. гиперболическим. Отметим любопытное свойство траекторий, проходящих через фокус эллипса через равные промежутки времени бесконечно много раз точка попеременно оказывается в фокусах эллиптического биллиарда. Это свойство имеет место и для траекторий, не касающихся границы биллиарда. [c.112]

Смотреть страницы где упоминается термин Биллиард эллиптический : [c.350] [c.5] [c.72] [c.74] [c.99]

Биллиарды Введение в динамику систем с ударами (1991) -- [ c.99 ]

ПОИСК

485 эллиптические

Биллиард

Гармонический осциллятор и эллиптический биллиард

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...