Члены с потенциальной энергией

Этот принцип сходен с принципом Якоби (5.6.12), если только в последнем опустить член с потенциальной энергией V. Кроме того, ds —это уже не линейный элемент трехмерного пространства, а элемент (9.3.8) четырехмерного пространства. Минковского. Предположим, что с помощью некоторого точечного преобразования мы переходим от прямоугольных к произвольным криволинейным координатам. Тогда тот же самый линейный элемент ds примет форму (1.5.16), с суммированием от 1 до 4 13 [c.371]

Для членов с потенциальной энергией II х) мы точно так же определяем преобразование Фурье [c.681]

ГА. Члены с потенциальной энергией [c.683]

Мы воспользовались также приближением свободных электронов, вследствие чего в уравнении Шредингера отсутствует член с потенциальной энергией. [c.45]

Член с потенциальной энергией может быть записан в форме ) [c.144]

Л = 5 Лр (х), а член с потенциальной энергией в (6.162)—в виде [c.206]

Первый член выражает собой кинетическую энергию частицы 1, а второй — кинетическую энергию частицы 2 третий и четвертый члены представляют собой потенциальную энергию частиц 1 и 2, связанную с наличием внешнего потенциала, и, наконец, пятый член характеризует потенциальную энергию взаимодействия между частицами 1 и 2. Заметим, что член [c.170]

Теперь мы можем использовать эти результаты для решения задачи о почти свободных электронах. Так как мы предположили, что невозмущенные волновые функции и а вырождены, то им будет соответствовать одна и та же кинетическая энергия, и в матричных элементах Hlj можно рассматривать только члены, соответствующие потенциальной энергии. Мы знаем, что потенциал поля решетки должен обладать тем же периодом, что и сама решетка поэтому мы предположим, что потенциальную энергию электрона можно записать в виде ряда Фурье, т. е, суммы синусоидальных и косинусоидальных членов с тем же периодом, что и у решетки [c.79]

Кроме того по доказанной Фридрихсом теореме, спектр уравнения Шредингера с потенциальной энергией, равномерно стремящейся к бесконечности при стремлении точки конфигурационного пространства к бесконечности, дискретен (отметим, что это условие эквивалентно условию конечности объема фазового пространства в возвратной теореме Пуанкаре). По этим двум причинам, какова бы ни была желаемая точность, можно указать такой промежуток времени, по истечении которого Т( г, t) каждый раз будет с желаемой точностью (в смысле среднего квадратичного) возвращаться к исходному состоянию. Для определения этого промежутка времени следует отбросить остаточный член ряда Y x, t), обладающий достаточно малой нормой, и рассматривать свойства периодичности п первых членов ряда. По истечении этого времени с желаемой точностью будут возвращаться к исходному состоянию и законы распределения в конфигурационном и импульсном пространстве, и, следовательно, величина [л , определенная выше, сможет превзойти 1 — при любом . [c.166]

Обратимся теперь к членам, связанным с потенциальной энергией Используя соотношение [c.683]

Таким образом, связанный с потенциальной энергией член и в квантовом уравнении Лиувилля записывается в виде [c.684]

Концепция фононов годится до тех пор, пока амплитуда колебаний мала по сравнению с периодом решетки. В противном случае надо учитывать следующие члены разложения потенциальной энергии и по степеням смещений, и полная энергия уже не будет выражаться формулой (2.3). Однако это имеет место лишь вблизи точки плавления. [c.23]

Член, характеризующий потенциальную энергию, обычно важен лишь для гидравлических машин, а в остальных случаях им можно пренебречь. Аналогичным образом можно принять, что скорость теплопередачи из окружающей среды равна нулю. Удобно объединить статическую энтальпию и кинетическую энергию потока, введя понятие энтальпии заторможенного потока Яо = Л + 72 с - Тогда работа, производимая тепловой турбомашиной, равна [c.25]

Потенциальная энергия системы может быть разложена в ряд по степеням обобщенных координат. Это разложение начинается с членов не ниже второго порядка относительно координат, если за начало отсчета координат принято положение равновесия и потенциальная энергия в положении равновесия считается равной нулю [c.580]

Как только что было сказано, при изучении малых колебаний, принимают потенциальную энергию в положении устойчивого равновесия системы, равной нулю, следовательно, /7 о = 0. Кроме того, учтем, что производная от потенциальной энергии по обобщенной координате равна и обратив по знаку обобщенной силе (230), а обобщенная сила в положении равновесия системы равна нулю, следовательно, и второй член ряда равен нулю, и с точностью до величин второго порядка малости получаем выражение потенциальной энергии системы через обобщенную силу [c.268]

Для того чтобы система уравнений распалась на отдельные независимые уравнения, выражения потенциальной и кинетической энергий не должны содержать членов с произведениями переменных. Это можно положить в основу для отыскания главных координат. Действительно, пусть <71 и г/2 — произвольные обобщенные координаты, а с , и д — главные координаты. [c.439]

Попытаемся получить равенства нулю членов с произведениями в разложениях кинетической и потенциальной энергий, приняв линейную зависимость между д и <7, д1, т. е. [c.439]

До появления лазеров было очень трудно заметить какие-либо отклонения от линейности материального уравнения Р = а Е, так как внешние поля в веществе, создаваемые светом обычных источников, были пренебрежимо малы по сравнению с внутриатомным полем (0,1 — 10 В/см по сравнению с Еат q /a 10 В/см). Мощные лазерные пучки позволяют создать поле в 10 — 10 В/см, что уже сравнимо с внутриатомным полем и может приводить к изменению указанных выше параметров среды. Не будем проводить анализ конкретных причин таких воздействий (эффект Керра, электрострикция и др.), а оценим необходимые изменения в феноменологическом описании явления. Очевидно, что потенциальная энергия вынужденных колебаний электронов уже не может описываться известной формулой U(x) = l/2kx , соответствующей квазиупругой силе F = —kx. При наличии мощного воздействия света на атомную систему мы должны учесть члены более высокого порядка, приводящие к ангармоничности колебаний-. [c.168]

Рассмотрим особую систему обобщенных координат, в которой кинетическая и потенциальная энергии системы аналитически выражаются положительно определенными квадратичными формами, приведенными к каноническому виду. Такие координаты называются нормальными, или главными. Напомним, что в аналитическом выражении, которым определяется квадратичная форма, приведенная к каноническому виду, нет членов с произведениями переменных. В этом случае положительно определенная квадратичная форма является суммой квадратов. [c.242]

Как видно из равенств (16) и (17), в отличие от движения системы вблизи положения устойчивого равновесия, обобщенная координата q и обобщенная скорость q с ростом времени t могут принимать сколь угодно большие значения, а тогда становится несправедливым отбрасывание членов высших степеней в разложениях кинетической и потенциальной энергий и приведение уравнения движения к виду (15). Ввиду этого оговоримся, что для этого случая (с < 0) все последующее рассуждение относится к достаточно малым q и q, т. е. имеется лишь локальное значение для области, близкой к положению неустойчивого равновесия системы. [c.483]

Рис. 6.13. Зависимость потенциальной энергии взаимодействия между двумя атомами с учетом ангармонических членов Ti

Особенностью уравнений движения, записанных в нормальных координатах, является отсутствие членов, описывающих связи между системами. Соответственно в выражениях для потенциальной и кинетической энергий, записанных в нормальных координатах, отсутствуют члены с произведениями координат. [c.242]

При 1/г/ положение равновесия неустойчиво. Чтобы определить, устойчиво ли равновесие при г/=/г — г, необходимо разложить потенциальную энергию в степенной ряд с точностью до членов четвертого порядка относительно угла ф. [c.14]

Происхождение обменной энергии, так же как и кулоновской энергии связано с наличием в выражении потенциальной энергии электронов члена e jr 2 обусловленного электростатическим взаимодействием обоих электронов. Таким образом, в квантовой механике добавочная энергия, соответствующая учету электростатического взаимодействия двух электронов [c.159]

В модели непрерывного коллапсирования было использовано модифицированное уравнение Шрёдингера (209). В отличие от обычного уравнения Шрёдингера для квантового осциллятора в уравнении (209) член с "потенциальной энергией" имеет множитель г. Это значит, что соответствующий "гамильтониан" не является эрмитовым оператором, что явно указывает на наличие диссипации. Путем подбора параметра у в этом уравнении нам удалось построить стационарное решение, соответствующее нижнему уровню осциллятора, но все другие решения являются затухающими. С точки зрения физики это означает, что любой не гауссов волновой пакет стремится со временем принять стандартную гауссову форму. [c.373]

Если учесть малые ангармонические члены в потенциальной энергии колебл.ющейся решетки, то приведенное выше выражение для энергии перестает быть точным. Появляется некоторая вероятность перехода между состояниями с различными наборами чисел Это может быть интерпретировано и на языке фононов как различные процессы взаимодействия между фононами, приводящие к рассеянию их друг на друге и к рождению новых фононов. Иначе говоря, при строгом рассмотрении фононы лишь приближенно можно считать свободно движущимися частицами. [c.13]

Для объяснения теплового расширения нужно в потенциальной энергии учитывать кубичные относительно смещений члены (в силе — квадратичные члены). Для теплоемкости при этом получается несколько отличное от полученного выше выражение, так как при учете кубичных членов в потенциальной энергии (нелинейные колебания) средняя потенциальная энергия уже не равна средней кинетической. Действительно, упомянутые небольшие отклонения от закона Дюлонга и Пти при высоких те.мпера-турах, когда амплитуды смещений становятся большими, могут быть в некоторых случаях объяснены этим путем. Однако основные резкие отклонения, имеющие место для всех тел при низких температурах, этим путем объяснить нельзя. В самом деле, па классической механике как раз при низких температурах амплитуды смещений частиц малы, и высшие члены в разложениа потенциальной энергии по степеням с.мещения здесь не могут играть роли. [c.223]

Взаимодействие с разными уровнями можно вводить по мере надобности, например, в зависимости от того, с какой точностью нужно считать Б частности, поправки на ангармоничность вводятся единообразно о другими взаимодействиями во втором приолижении для их расчета нужно только учесть кубические и т.д. члены в потенциальной энергии. [c.118]

В связи с тем, что при сдвиге начала координат вдоль какой-либо оси расстояние между точками системы не меняется, не меняется и потенциальная энергия системы, а значит, и функция Лагранжа. Очевидно, преобразование (80) удовлетворяет условиям 1° и 2°. Таким образом, все условия, которые теорема Нётер накладывает на однопараметрическое семейство преобразований, выполнены. В силу этой теоремы имеет место первый интеграл (69). В данном случае все d fi/da для координат у и г, так же как и д 1да, равны нулю, а функции ф, для координат х таковы, что дц>11да—. Поэтому в формуле (69) член, содержащий гамильтониан, обращается в нуль, а оставшаяся в правой части [c.291]

Как и при рассмотрении кинетической энергии, ограничимся в разложении потенциальной энергии лишь членом Пг. Следовательно, при изучении малых отклонений системы от положения равновесия, с малыми по абсолютным значениям обобщенными скоростями, будем применять следующее приближенное выра-иieниe потенциальной энергии [c.229]

Возвратимся вновь к кинетической и потенциальной энергиям, выраженным формулами (11.170) и (11.173). В некоторых простейщих задачах можно непосредственно, без упрощений, выразить кинетическую и потенциальную энергии в виде квадратичных форм с постоянными коэффициентами. В этих случаях, а также тогда, когда членами высщих порядков малости в выралсениях кинетической и потенциальной энергии можно обоснованно пренебречь, закон движения системы определяется из системы линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Если из некоторых соображений невозможно произвести упрощение выражений кинетической и потенциальной энергий, дифферехчциальные уравнения движения будут системами нелинейных уравнений второго порядка. [c.230]

Примечание. Отсутстпие секулярных членов вида (а) в общем решении дифференциальных уравнении малых колебаний в случае кратных корней характеристического уравнения объясняется тем, что эти уравнения порождаются двумя положительно определенными квадратичными формами — кинетической и потенциальной энергиями. В других случаях эти члены действительно появляются в общем решении системы дифференциальных уравнений. Рассмотрим как пример систему с двумя степенями свободы, уравнениями движения которой являются [c.254]

В последнем члене слева берется разность значений на пределах интегрирования, т. е. на концах стержня. Один из этих концов, скажем нижний, закреплен так, что на нем бф = 0. Что касается вариации 6U потенциальной энергии, то, взятая с обратным знаком, она представляет собой работу внешних сил при повороте на. угол бф. Как известно из механики, работа пары сил при таком повороте равна произведению Мбф угла поворота на момент пары. Поскольку никаких других внешних сил нет, то 8U = —уИбф, и мы получаем [c.91]

Обычно в технике приходится иметь дело с частньши формами уравнения теплосодержания. Так, в большинстве случаев изменение потенциальной энергии пренебрежимо мало в сравнении с другими частями уравнения энергии, и членом g z2 — zi) пренебрегают. Тогда уравнение теплосодержания имеет следующий вид [c.16]

Здесь первые два члена правой части уравнения определяют энергию деформаций, а последний член — работу внешней силы F при перемещении точки ее приложения из дфэрмированного состояния в недеформированное, т. е. на нулевой уровень. С учетом того, что 8i = А/1//1, % = Д4/4, А4 = os потенциальной энергии примет вид [c.199]

В выражение для полной потенциальной энергии, представленное с учетом приведенных выше постулатов 1) и 2) членами в скобках в (137 ), не входят приращения второго порядка от массовых н поверхностных сил. Приращения первого порядка обращаются в нуль, так как действительные перемещения а, v, W в этом виде возмущения можно принять за виртуальные. Поскольку приращение второго порядка должно быть положительным, состояние является устойчивым в определенном здесь смысле. Мы увидим, что этот вывод связан с использовг.нием закона Гука, а также постулатов 1) и 2) ). Для нелинейных зависимостей между напряжениями и деформациями возможны приращения порядка выше двух. [c.263]

Из (56) следует, что каждое слагаемое имеет размерность энергии в СИ — Н М = д,ж (в МКГСС — кгс-м). В соответствии с этим первый член йти 12 уравнения представляет кинетическую энергию, которой обладает движущаяся жидкость в рассматриваемом сечении струйки, второй член dVdp — запас потенциальной энергии, обусловленный абсолютным давлением в данном сечении, и третий Сг — потенциальную энергию положения частицы относительно плоскости сравнения. [c.45]

Можно также убедиться в том, что второй член выражения кинетической энергии поступательно1 о движения платформы / (10.87) значительно меньше величины потенциальной энергии П (10.88), и в соответствии с этим мы будем пренебрегать величиной кинетической энергии поступательного движения платформы. [c.294]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...