Определение условий равновесия системы. Устойчивость равновесия

Определение условий равновесия системы. Устойчивость равновесия [c.397]

Понятие о динамической устойчивости. Напомним, что вопрос о статической устойчивости связан с определением условий равновесия системы п выяснением того, что с ней произойдет, если в результате некоторого малого возмущения она будет выведена из равновесного положения. Возмущение, сообщенное системе, находящейся в положении неустойчивого равновесия, вызовет все нарастающее отклонение ее от этого положения. Если система находится в положении устойчивого равновесия, то, будучи выведена из этого положения, она стремится в него вернуться. [c.32]

При определении условий равновесия механической системы возникает весьма важный вопрос о том, будет ли это равновесие практически реализуемым, т. е. устойчивым, или нет. Равновесие системы в данном положении называется устойчивым, если ее можно вывести из этого положения настолько малым возмущением (смещением, толчком), что во все последующее время отклонения системы от равновесного положения будут меньше любого сколь угодно малого заданного отклонения. В противном случае равновесие называют неустойчивым. Такое определение соответствует понятию об устойчивости равновесия и движения по А. М. Ляпунову. Исходя из него, можно, например, сразу установить, что равновесие маятника, изображенного на рис. 324, при ф=0 будет устойчивым, а при (р=180° — неустойчивым. [c.387]

В основе анализа устойчивости упругих систем лежит определение условий существования соседних форм равновесия. Сообщим системе возмущение, т.е. примем, что маятник отклонился от вертикали на некоторый угол (рис. 13.5, 6). По какой причине это произошло, не имеет никакого значения. [c.509]

Следовательно, энергетический критерий устойчивости (1.69) можно трактовать и как условие b9i = О, т. е. как условие равновесия системы в состоянии, смежном с начальным. Поэтому приведенное выше определение эквивалентно следующему определению F p — эпю нижняя граница тех значений F, при которых у системы существуют состояния равновесия, смежные с начальным. [c.30]

Определение. Положение равновесия системы называется устойчивым, если для любых, сколь угодно малых положительных чисел А и Ау можно всегда подобрать два других числа Я и Я1 таких, что при начальных значениях координат и скоростей <7, о, удовлетворяющих условиям [c.552]

Прежде всего рассматривается задача о равновесии системы (статика системы), решение которой дается на основе принципа возможных перемещений. Вводится понятие обобщенных сил и формулируются аналитические условия равновесия. Здесь же можно кратко рассмотреть вопрос об устойчивости равновесия. Далее, как обычно, рассматривается принцип Даламбера и выводятся уравнения Лагранжа 2-го рода. Тем самым указывается метод решения основных задач динамики несвободной системы. Здесь же рассматриваются некоторые другие вопросы. Две системы активных сил, приложенных к определенной системе точек, называются эквивалентными, если их обобщенные силы совпадают при каком-нибудь выборе обобщенных координат (или если они выполняют одинаковую работу на любом возможном перемещении). Это определение вытекает из того факта, что активные силы входят в уравнения движения только через обобщенные силы, вследствие чего замена системы сил ей эквивалентной не сказывается на движении. Следует иметь в виду, что две эквивалентные в указанном смысле системы сил могут вызывать, конечно, различные реакции связей. Но в ряде задач эти реакции не представляют интереса и это различие можно игнорировать. Если это не так, то с помощью принципа освобождаемости реакции связей следует перевести в разряд активных сил. [c.75]

Теорема Кастильяно. В предыдущем параграфе форма равновесия упругого тела, подвергающегося действию объемных сил и находящегося в определенных условиях на поверхности, была сопоставлена со смежными формами, получающимися при возможных перемещениях о и ог от положения равновесия. Было установлено, что действительные перемещения, соответствующие устойчивому положению равновесия, будут такими, при которых полная потенциальная энергия системы получает наименьшее значение. [c.164]

Формула (88) или соответственно формула (89) сводит задачу определения движения стационарной системы, возникающего вблизи положения устойчивого равновесия под действием внешней силы, начинающей действовать с момента t = 0 при нулевых начальных условиях, к одной квадратуре в действительной области. Зная действующую силу Qf t), можно вычислить комплексный спектр ее и координаты q и затем выделить действительную часть спектра д,. Полученная таким образом действительная функция действительного аргумента P(Q) называется действительной частотной характеристикой возмущения, и зная ее, можно без особого труда любым приближенным способом подсчитать интеграл (88) или (89). Самый простой способ для этого — представить кривую Р Q) кусочно-линейной функцией и провести интегрирование по отрезкам прямых. [c.256]

Для рассмотрения малых колебаний следует дать определение устойчивости положения равновесия системы и установить условия, при выполнении которых положение равновесия является устойчивым. [c.384]

Эти условия совпадают с условиями (58) определенной положительности квадратичной формы для Я. Следовательно, потенциальная энергия с принятой точностью выражается определенно-положительной квадратичной формой в окрестности своего минимума при д = = 2 = 0, т. е. в окрестности устойчивого положения равновесия системы. [c.456]

Трудно объяснимое на первый взгляд наличие каскада переходов в неравновесной системе становится понятным, если принять во внимание статистический характер свойств среды. В равновесных системах состояние равновесия устойчиво относительно флуктуаций, которые непрерывно возмущают средние значения потоков энергии. Вблизи равновесия флуктуации затухают. Поэтому можно считать, что равновесные и близкие к равновесным системы управляемы. В них равновесие контролируется стремлением системы к минимуму свободной энергии Гиббса. В неравновесных условиях устойчивость системы контролируется стремлением системы к минимуму производством энергии. Но что же заставляет систему забывать, что она является неравновесной и эволюционировать на определенном этапе по законам равновесной термодинамики Физические причины такого поведения рассмотрены ниже. [c.43]

Однородное состояние равновесия при достижении некоторых критических условий теряет устойчивость, и в системе возникают неоднородности, получившие название диссипативных структур [46]. Возникающее после перехода к новым диссипативным структурам новое неоднородное состояние открытой системы становится устойчивым по отношению к малым возмущениям. В открытой системе рассматривают два вида устойчивого состояния — однородное и неоднородное. Непрерывная эволюция открытой системы происходит при смене диссипативных структур в условиях преимущественно неоднородного устойчивого состояния. Поэтому под устойчивым положением открытой системы в определенный период времени подразумевают сохранение неизменным в течение рассматриваемого интервала времени ведущего механизма накопления повреждений, который описывают единственным доминирующим типом диссипативной структуры металла. [c.119]

В задачу теории упругой устойчивости входит определение условий, при которых становятся возможными различные состояния равновесия системы, установление форм равновесных конфигураций и выяснение того, какие из этих конфигураций соответствуют устойчивым состояниям равновесия, а какие нет. [c.10]

Условия устойчивости динамического равновесия системы (как с точки зрения закручивания, так и с точки зрения возможного радиального увода ) сводятся к существованию максимума соответствующего определенного обобщенного кинетического потенциала. [c.70]

Основное практическое применение в анализе устойчивости конструкций находит концепция устойчивости механических систем, восходящая к Эйлеру. С состоянием устойчивости системы связывается возможность существования для нее при заданном Р только одной формы равновесия напротив, в состоянии неустойчивости в тех же условиях система характеризуется наличием нескольких, так называемых смежных форм равновесия, соответствующих бесконечно близким значениям функционала П. Иными словами, для состояния неустойчивости нагруженной системы характерно ветвление или бифуркация форм равновесия. Очевидно, что в рамках концепции Эйлера задача анализа всевозможных равновесных состояний системы на устойчивость эквивалентна задаче определения точек бифуркации системы в пространстве параметров, определяющих ее состояния (нагрузки, частоты возбуждающих колебаний и т. п.). [c.108]

Подобно тому как в гл, 3 при определении работы мы рассматривали условия, которые позволили описать взаимодействие, осуществляющее только работу, так и в настоящей главе, определяя тепло, мы воспользовались различными дополнительными условиями, благодаря которым оказалось возможным описать чисто тепловое взаимодействие. Для этого пришлось исключить возможность того, что Б рассматриваемом взаимодействии совершается работа, так что чисто тепловым мы назвали взаимодействие между двумя связанными системами, каждая из которых вначале была изолирована и находилась в устойчивом состоянии до установления теплового контакта. Далее мы отметили, что на основе принципа состояния, полученного в разд. 5.7 в качестве следствия закона устойчивого равновесия, можно установить, что при переходе связанной системы из одного устойчивого состояния в другое за счет чисто теплового взаимодействия для описания нового устойчивого состояния системы достаточно задать изменение одной лишь энергии. Это позволило получить логическим путем выражение для количества тепла, поглощаемого системой в результате чисто теплового взаимодействия, приравняв его к увеличению энергии системы. Не привлекая любой из так называемых принципов сохранения энергии , можно установить, что единицей измерения тепла служит та же величина, которая раньше упоминалась как единица измерения работы и энергии. [c.81]

С математической точки зрения проблема заключается в определении собственных значений и собственных элементов линейной однородной краевой задачи для системы уравнений (5.3.4). В отдельных случаях (каноническая форма пластинки, однородное докритическое состояние, специальный вид краевых условий) решение этой задачи не вызывает затруднений и осуществляется элементарными методами. Примером может служить задача об устойчивости шарнирно закрепленной прямоугольной пластинки, равномерно сжатой в своей плоскости в одном или в двух направлениях. Однако в большинстве случаев исследование устойчивости равновесия пластинки является сложной математической проблемой, требующей для своего решения применения специальных методов. [c.144]

Из рассмотренного примера видно, что оценка устойчивости равновесия, а в случае независимости положения равновесия от величины силы определение критического состояния и критической силы может быть произведено путем рассмотрения изменений условий равновесия при отклонении от положения равновесия. Условия равновесия могут быть сформулированы в виде уравнений равновесия или же в виде требования, чтобы положению равновесия соответствовало экстремальное значение потенциальной энергии рассматриваемой системы (т. е. максимум или минимум). Данное положение равновесия устойчиво, если ему соответствует минимум потенциальной энергии, т. е. если последняя при достаточно малых отклонениях от рассматриваемого положения возрастает, в противном случае равновесие неустойчиво. Так, в рассмотренном выше примере при повороте стойки на угол 0 потенциальная энергия скручивающейся при этом пружины возрастает на величину [c.340]

Раздел 3 — Неравновесные состояния условия равновесия и их применение (возрастание энтропии при необратимом адиабатическом переходе из одного равновесного состояния в другое определение энтропии неравновесных состояний определение свободной энергии для равновесного состояния изменение энтропии при необратимых процессах изменение свободной энергии при необратимых процессах условия равновесия системы замечания, связанные с уточнением физического смысла законов термодинамики фаза условие устойчивости системы, состоящей из одной фазы фазовые превращения фазовые превращения первого рода уравнение Клапейрона — Клаузиуса равновесие трех фаз поверхность термодинамического потенциала критическая точка поверхностная энергия и поверхностное натяжение роль поверхностного натяжения при образовании [c.364]

Изучается точечная устойчивость внутренних положений равновесия, которая может обеспечиваться структурой уравнений без каких-либо дополнительных предположений. В общем же случае исследование устойчивости или неустойчивости внутренних положений равновесия сводится к изучению соответствующих свойств некоторой новой системы уравнений, полученной из исходной, которая имеет меньшую размерность и допускает применение хорошо разработанных методов теории устойчивости, поскольку лишена факторов, затрудняющих изучение исходной системы (неразрешенность относительно старших производных, разрывность правых частей уравнений). Ири определенных условиях доказана теорема об устойчивости относительной границы множества положений равновесия, как необходимом и достаточном условии устойчивости всего этого множества. [c.57]

С постоянными коэффициентами, причем Т — положительно определенная форма. Доказать, что для этой системы условия теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия консервативной системы являются необходимыми и достаточными условиями устойчивости. [c.153]

Функция ф тесно связана с положениями равновесия системы, так как условие, выражающее, что для известных определенных значений X, (л, v,. . . система находится в положении равновесия, совпадает с условием, выражающим, что для тех же самых значений дифференциал 9 равен нулю. Таким образом вообще для каждого положения равновесия эта функция является максимумом или минимумом. Если в действительности имеет место максимум, то равновесие — устойчивое это значит, что если точки системы бесконечно мало сместить из их положений равновесия и каждой из них сообщить необходимую начальную скорость, то в течение всего движения смещеаия различных точек системы по отношению к положению равновесия всегда будут находиться между некоторыми определенными и очень малыми пределами. [c.537]

Во втором варианте критическая нагрузка разыскивается как наименьшее из значений нагрузки, при которых у системы суще ствуют состояния равновесия, смежные с тем начальным состоянием устойчивость которого исследуется. Следуя этому определению линеаризованные уравнения устойчивости обычно получают непо средственно из условий равновесия системы в отклоненном от на чального состоянии. Однако часто оказывается удобнее (например для сложных систем типа многослойных конструкций) линеари зованные уравнения устойчивости получать с помощью принципа возможных перемещений. [c.79]

В середине XIX столетия возникли новые проблемы, которые потребовали постановки общей задачи об устойчивости не только равновесия, но и движения. Особенно остро этот вопрос встал в связи с определением условий работы системы паровая машина - центробежный регулятор Уатта [Maxwell, 1868 Вышнеградский, 1876, 1877]. [c.9]

А. Определение условия уетойчивоспш заданного состояния покоц (равновесия) механической системы с одной степенью свободы. Определить условие устойчивости заданного состояния покоя механической системы с одной степенью свэбоды, пренебрегая массами упругих элементов. [c.332]

Это означает, что фазы могут находиться в равновесии лишь при определенных (а не при произвольных) значениях р и Т. Совокупность точек р и Т, отвечающих равновесию фаз, на диаграмме, построенной в осях р и Т, образует кривую равновесия фаз. Если состояние тела с фазой 1 меняется вдоль линии, пересекающей кривую равновесия, то в точке пересечения линии изменения состояния с кривой равновесия наступит расслоение системы на две фазы (1 и 2), после чего тело перейдет в другую фазу 2. Очевидно, что вне кривой равновесия двух фаз устойчивой будет та из них, для которой термодинамический потенциал меньше. При этом, как установлено, при определенных условиях система может остаться однородной в состоянии с фазой I и после перехода через кривую равновесия в область, в которой равновесной должна быть фаза 2 (например, переохлажденный пар, перегретая жидкость). Возникающее состояние окажется ме-тастабильным. [c.250]

Как оказывается, при некоторых определенных значениях внешних сил упругая система может иметь несколько положений равновесия, причем одни из них устойчивы, другие неустойчивы. Для выяснения этого вопроса обратимся к примеру стержня, сжатого силой Р (рис. 4.1.1). Предполагается, что стержень идеально прямой и сила приложена строго центрально (что практически невозможно). При указанных идеальных условиях орямо-линейная форма стержня всегда является возможной формой его равновесия. Для суждения об устойчивости этой формы равновесия нужно сообщить возмущение, например приложить малую поперечную нагрузку Q, которая вызовет прогиб. При отсутствии сжимающей силы Р малая поперечная сила вызывает малый прогиб. Если сила Р невелика, то положение останется таким же и равновесие стержня сохраняется устойчивым. Более строгое определение устойчивости состоит в следующем. Равновесие стержня устойчиво, если, задавшись любой величиной г) > О, всегда можно указать такую конечную величину е>0, что при (31 <е вели- чина прогиба ни в одной точке не достигнет величины т], т. е. будет 1г 1<г . Оказывается, как мы увидим Рис. 4.1.1 далее, что это условие не выполняется, если сила Р превышает некоторое критическое значение Р . При Р> Рк равновесие стержня становится неустойчивым, это значит, что сколь угодно малое возмущение достаточно для того, чтобы возникли большие прогибы. [c.114]

Однако, если предположить, что обе фазы, находясь в точках а и 6, могут взаимодействовать между собой, образуя термодинамическую систему, находящуюся при постоянных р а Т, то выяснится, что состояние Ь, в котором потенциал выше, чем в состоянии а, является лишь относительно устойчивым — метастабильным, ибо переход вещества из состояния два приведет к уменьшению потенциала ф. Аналогичные заключения можно сделать относительно точек с н d. То же относится н к рис. 2-4. На основании этого частки изобар и изотерм на рис. 2-3 и 2-4, относящиеся к состоянию устойчивого равновесия, изобрал<ены сплошными линиями, а участки, относящиеся к метастабильным состояниям,—пунктирными. Как уже отмечалось, реальные термодинамические системы могут находиться в метастабиль ных состояниях, если приняты меры к тому, чтобы они не подвергались заметным возмущениям извне, и если возмущения, связанные с естественными флуктуациями, малы по сравнению с порогами устойчивости. Так, например, очень чистую жидкость, находящуюся при некотором постоянном давлении, меньшем критического, можно нагреть до температуры, заметно превосходящей температуру насыщения при данном давлении Т з(р), без того, чтобы йачался процесс парообразования. Такое состояние жидкости аналогично точке d на рис. 2-4,а. Наоборот, пар можно изобарно охладить до точки Ь (рис. 2-4,а) без того, чтобы он начал конденсироваться. Однако можно показать, что существуют определенные границы существования метастабильных состояний. Эти границы определяются тем, что для метастабильных состояний должны выполняться условия устойчивости, поскольку, как отмечалось, мета--стабильные состояния по отношению к малым возмущениям устойчивы, т. е. для близкой окрестности точки метастабилшого равновесия должны выполняться условия (2-37) и (2-38) [c.36]

Выше было установлено, что в типовых гидравлических следящих приводах с нелинейностями вида T v ) и p h, q) граничное подведенное давление рпг является границей между областью устойчивости равновесия, для (которой уравнение движения привода не дает периодических решений, и областями автоколебаний и устойчивости в малом , для которых это уравнение дает два периодических решения — устойчивое и неустойчивое, причем при граничном подведенном давлении рт оба периодических решения совладают по величине. Таким образом, граничное подведенное давление рпг может быть найдено в результате определения граничных условий совпадения амплитуды Ау устойчивых и Ан неустойчивых периодических решений уравнения движения гидра1влического следящего привода. Отыскание граничного подведенного давления Рт может быть осуществлено графическим способом по методике, изложенной в работе [71]. Такой способ нахождения решения, однако, громоздок и неудобен. Попробуем найти математическое выражение для граничного подведенного давления Рт привода, построенного по схеме на рис. 3.1 и имеющего управляющий золотник с открытыми щелями в среднем положении, из системы уравнений (3.40), первое из которых является квадратным, а второе — кубическим уравнением относительно амплитуды А периодических перемещений привода. Непосредственное аналитическое определение граничного подведенного давления рт из уравнений (3.40) произвести невозможно в связи с тем, что при отыскании его мы имеем дело с тремя переменными А, Q, рп, а уравнений в системе (3.40) только два. 152 [c.152]

Если матрица С = dFJdq) при q — О положительно определенная, а (0) = О, то <7=0 — положение устойчивого равновесия системы, в некоторой окрестности которого она может совершать свободные колебания. При определенных условиях уравнение (50) имеет периодические решения вида [c.165]

Среди неравновесных систем особый интерес представляет квазиста-ционарные системы, находящиеся в состоянии "локального равновесия" dS = 0). Известно, что при определенных условиях нагружения (например, усталостное нагружение) субструктуры, образующиеся "in situ", стационарны во времени и устойчивы по отношению к малым возмущениям, т.е. малые обратимые изменения внешних условий нагружения вызывают соответствующие обратимые изменения характерных размеров субструктур. Поэтому в ряде работ [171, 174, 181] предложено рассматривать стационарные неравновесные состояния дефектной субструктуры как стационарные диссипативные структуры в стационарно-неравновесных системах dS = 0). [c.104]

До сих пор однокомпонентные системы рассматривались в состоянии устойчивого равновесия. Однако, несмотря на благоприятные условия, иногда не происходит образование новой фазы или превращение одной модификации имеющейся фазы в другую. В частности, известно, что вода, охлажденная ниже 0°С, может находиться в жидком состоянии устойчивая при 100 °С фаза одноводного сульфата магния — кизерита может не образоваться, а вместо него в твердую фазу выделяется другой кристаллогидрат, обычно не существующий при этой температуре. Но внесение затравки в систему в виде кристаллика льда (в первом случае) или кизерита (во втором) вызовет кристаллизацию стабильной фазы. Система, которая сама по себе является устойчивой, но теряет устойчивость при соприкосновении с определенной фазой, называется метаста-бильной. Метастабильное состояние устойчиво долгое время и его можно воспроизвести. [c.48]

Спинодаль является границей устойчивости метастабильной фазы относительпо непрерывных изменений состояний. Считается, что к сииподали можно подойти квазистатически, сохраняя макроскопическую однородность вещества. Термодинамически безупречное определение спинодали совершенно не касается свойств конкурирующей фазы и возможности появления ее зародышей. Эта возможность связана с другим видом устойчивости, который рассмотрен в 10. Обратимся теперь к обсуждению таких свойств снинодального состояния, которые связаны с сосуществованием фаз. Чтобы удовлетворить требованию равновесия, рассмотрим внутри метастабильной жидкости пузырек пара критического размера. Для него выполняются условия (1.15), (1.16). Сместим неустойчивое равновесие системы за счет изменения температуры и давления в жидкости. При этом изменяется давление пара и химические потенциалы, так что л = Последнее равенство можно записать в следующем виде [c.253]

Будем предполагать, что матрица А д) и силы Q t, q, 4) таковы, что движения системы непрерывны по начальным условиям ( о 9о 9о) Я х Я х Я . При определении условий асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия = q = О с применением теорем из [2, 3, 6] будет предполагаться, что правые части системы (1), разрешенные относительно д, удовлетворяют условию Липшица по q, д) е К, К = д г рг Для любых Р1, Р2 > О, гаранти- [c.87]

Таким образом, в потенциальном силовом поле система материальных точек будет находиться в равновесии только тогда, когда силовая функция И имеет стационарное значение. Условия равновесия в этом случае будут совпадать с математическими условиями определения максимума или минимума функции и. Условие 6 /=0 представляет собой необходимое и достаточное условие равновесия системы в поле сил, имеющих потенциал, и только необходимое условие максимума или минимума силовой функции. Можно показать, что если для некоторой системы значений координат д, <72, силовая функция имеет максимум, то соответствующее положение равновесия будет устойчиво (теорема Лежен — Дирихле) [c.338]

Поскольку в действительности потеря устойчивости происходит именно с образованием четко выраженной поверхности скольжения, то естественным образом возникает идея получить числовые оценки, задав-шить правдоподобными очертаниями этой поверхности и полагая, что на ней нормальные и касательные напряжения связаны условием предельного равновесия (условием типа Кулона). При таком подходе задача обычно состоит либо в определении предельно допустимых нагрузок, либо в оценке коэффициента устойчивости, в некотором смысле выясняющего, насколько допустимая нагрузка больше действующей. Фактическое решение этой задачи заключается в том, что вводится в рассмотрение семейство поверхностей скольжения заданной формы (плоскости, круглоцилиндрические поверхности и т. д.), для каждой из них определяются условия равновесия массива, ограниченного снизу этой поверхностью, и находится величина предельной нагрузки или коэффициента устойчивости. Затем выбирается та поверхность из рассматриваемого семейства, для которой критическая нагрузка или коэффициент устойчивости минимальны. Полученные таким образом величины позволяют в какой-то мере судить о действительной несущей способности массива (по величине предельной нагрузки) или о близости системы к предельному, в смысле устойчивости, состоянию (по коэффициенту устойчивости). Исследования в этом направлении "развивались в работах С. И. Белзецкого (1914), Н. М. Герсеванова (1923), М. М. Гришина (1951), М. И. Горбунова-Посадова и В. В. Кречмера [c.215]

При определении опорных реакций ходовой части, при расчете опорноповоротных устройств, при проверке устойчивости поворотной части крана и т. п. целесообразно все многообразие нагрузок, действующих на элементы крана (рис. 241, а), свести к эквивалентной системе нагрузок. Пользуясь принципом независимости действия сил, можно, не изменяя условий равновесия поворотной части или крана в целом, каждую силу, действующую на кран, перенести к опорно-поворотному устройству или к опорной части, получив при этом перенесенную силу и момент, равный произведению силы на плечо относительно соответствующей точки. [c.451]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...