Определение устойчивости положения равновесия

Определение устойчивости положения равновесия [c.419]

Для рассмотрения малых колебаний следует дать определение устойчивости положения равновесия системы и установить условия, при выполнении которых положение равновесия является устойчивым. [c.384]

I. УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОЖЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ Определение устойчивости положения равновесия [c.407]

Дадим строгое определение устойчивого положения равновесия. Положение равновесия q = =. .. = О называется устойчивым, если для любого е>0 существует такое б = б(е), что для всех t> to выполняются неравенства [c.346]

Начнем с определения устойчивого положения равновесия. [c.189]

Рис. 6.1.1. к определению устойчивости положения равновесия [c.316]

Для определения устойчивости положения равновесия исследуем силовую функцию на максимум. Дифференцируя вторично по ф, получим [c.27]

Выше было дано определение устойчивости положения равновесия и было отмечено, что к изучению устойчивости равновесия может быть сведено изучение устойчивости любого частного решения. Если все частные решения дифференциальной системы устойчивы, то говорят, что сама эта система является устойчивой. [c.157]

Устойчивое положение равновесия. Рассмотрим систему с N степенями свободы и дадим определение устойчивого положения равновесия для этой системы. [c.161]

Дадим геометрическую интерпретацию определению устойчивого положения равновесия для системы с одной степенью свободы (Рис. 9.1). [c.161]

Фазовые портреты, приведенные на рис. 86 и 87, указывают на необходимость так расширить определение устойчивости (которое до сих пор было дано только для положения равновесия), чтобы оно охватывало и поведение фазовых траекторий в окрестности предельных цимов. В полной аналогии с определением устойчивости положения равновесия предельный цикл (а вместе с ним и соответствующие ему колебания) называется устойчивым, если фазовая траектория, начинающаяся при t= to в окрестности данного предельного цикла остается в этой окрестности при всех От более точного математического определения устойчивости здесь приходится отказаться. [c.111]

Строгое определен понятия устойчивости положения равновесия было дано в конце прошлого века в работах русского ученого А. М. Ляпунова. Приведем это определение для системы с любым конечным числом степеней свободы п. [c.386]

Эти условия совпадают с условиями (58) определенной положительности квадратичной формы для Я. Следовательно, потенциальная энергия с принятой точностью выражается определенно положительной квадратичной формой в окрестности своего минимума при = I/2 =-= о, т. е. в окрестности устойчивого положения равновесия систел ы. [c.433]

В устойчивом положении равновесия все к, отрицательны п 2U есть отрицательно определенная квадратичная форма. В нормальных координатах особенно хорошо видно, что наибольшее is (численно наименьшее) есть максимум функции 2С/, когда переменные стеснены условием S v=l (или условием 2Г = = 1. когда в Т переменные Ху, заменены через Tv). [c.239]

В примерах 2 и 3 устойчивость положения равновесия устанавливалась с помощью конечных уравнений, полученных путем интегрирования дифференциальных уравнений движения системы. Эти конечные уравнения движения давали нам зависимость отклонений и обобщенных скоростей от времени t и начальных данных д°, ql (г = 1, л). В более сложных (в частности, нелинейных) задачах определение этих конечных уравнений движения и их исследование весьма затруднительно. Поэтому представляют интерес критерии устойчивости положения равновесия, не требующие предварительного интегрирования дифференциальных уравнений движения системы. [c.192]

Исследование движения склерономной определенно-диссипативной системы в окрестности ее асимптотически устойчивого положения равновесия будет дано в 46. [c.204]

Обсудим связь между материалом, изложенным в данном пункте, где речь шла об описании механических явлений вблизи положения равновесия, и макроскопической картиной пространства конфигураций. Мы оперировали с координатами, имевшими значение локальных координат. Они отражали малые локальные вариации bqi координат I вблизи положения равновесия Р. Потенциальная энергия V вследствие разложения в ряд Тейлора также отражала локальные вариации потенциальной энергии V в окрестности точки Я. Линейные члены выпадали, поскольку мы разлагали функцию вблизи точки равновесия. Разложение начиналось с членов второго порядка и давало то, что в общем случае называется второй вариацией функции (см. гл. II, п. 3). Теперь мы видим, что та же самая вторая вариация, которая была существенна при определении экстремальных свойств стационарной точки, существенна и в вопросе об устойчивости либо неустойчивости состояния равновесия. Если все X положительны, то вторая вариация является положительно определенной формой это означает, что потенциальная энергия увеличивается в любом направлении от Р. Следовательно, потенциальная энергия имеет локальный минимум в точке Р. Утверждения о наличии минимума потенциальной энергии и существовании устойчивого положения равновесия эквивалентны. Если по крайней мере один из корней отрицателен, то вторая вариация меняет знак и стационарное значение потенциальной энергии не является уже истинным экстремумом. В то же время соответствующее положение равновесия неустойчиво. [c.188]

В статике точки (т. I, гл. IX, п. 19) мы дали первое определение понятия устойчивости положения равновесия. Здесь, в дополнение к динамике свободной точки, надо будет уточнить это понятие с динамической точки зрения. [c.133]

Теорема Ляпунова дает достаточные условия устойчивости движения. Применение этой теоремы требует знания функции F, обладающей вполне определенными свойствами. Общих методов построения таких функций нет. Однако во многих практически важных случаях функцию V можно построить, если известны первые интегралы уравнений возмущенного движения. Например, при доказательстве теоремы Лагранжа об устойчивости положения равновесия консервативной системы в качестве функции V годилась полная механическая энергия системы Е. [c.518]

Пусть движение происходит в столь малой окрестности начала координат, что последняя не содержит других положений равновесия, кроме qi = q2 =. .. = = О, а мощность 7V непотенциальных сил является определенно-отрицательной функцией обобщенных скоростей. Выбор такой окрестности всегда возможен в силу изолированности и устойчивости положения равновесия q = q2 =. .. = qn = 0. [c.536]

Исследуя задачу о спящем волчке ( 9.9), мы пришли к выводу об устойчивости положения равновесия это заключение мы вывели из Существования интеграла, имеющего вид определенно-положительной квадратичной формы [c.472]

Это уравнение называется частотным и служит для определения собственных частот k . Можно показать, что при колебаниях около устойчивого положения равновесия все корни этого уравнения положительны [2]. [c.85]

Для асимптотической устойчивости положения равновесия х(/) 0 линейной системы (7.2.2) необходимо и достаточно, чтобы существовали положительно определенные формы [c.495]

При определении вероятностей необходимо учитывать, что некоторые условные решения могут соответствовать неустойчивым стационарным режимам. Вопрос о выделении устойчивых и неустойчивых ветвей среди условных решений будет подробно рассмотрен в пятой главе. Здесь мы ограничимся чисто топологическими соображениями. Предположим, что параметр интенсивности воздействия s мал. В этом случае гауссовское приближение приводит к трём решениям для математического ожидания й. Два значения Hi и щ мало отличаются от координат двух устойчивых положений равновесия нелинейной системы и = Ui и и == = щ. Будем квалифицировать соответствующие статистические решения как устойчивые. Третье промежуточное решение которое соответствует неустойчивому положению равновесия и = = 3, будем рассматривать как физически неосуществимое, принимая вероятность гипотезы з равной нулю. Таким образом, ансамбль реализаций в результате приближенного решения разделяется на три подкласса, два из которых (й , 2) характеризуют движения в окрестностях устойчивых положений равновесия. [c.79]

В этой главе кратко обсуждаются различные методы исследования устойчивости оболочек под действием статической нагрузки см. также [1, 7, 10, 14, 21, 24, 37, 38, 40, 91, 131, 146]). В последуюш их главах используется только один из этих методов.) А именно исследуется устойчивость положений равновесия под действием консервативной, поверхностной и краевой нагрузок путем определения критических значений нагрузки исходя из линеаризованных уравнений равновесия. Ниже приводятся эти уравнения. [c.37]

Одно из направлений посвящено изучению устойчивости положений равновесия механических систем. При этом в зависимости от поставленной задачи применяются теорема Лагранжа, критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы, теорема Четаева о неустойчивости положения равновесия исследуется устойчивость стационарных движений. [c.60]

Определение 1. Положение равновесия системы х = X(i, х) называется устойчивым по Ляпунову, если Ve > О > О такое, что любое малое возмущение начальных данных Цх(/о) < вле- [c.153]

Выводы. На основе результатов п. 4.1 установлена возможность потери устойчивости положения равновесия мембраны в постоянном электрическом поле. Имеются технические возможности для проведения лабораторных экспериментов с целью определения сдвига собственных частот колебаний мембраны в постоянном электрическом поле, а также наблюдения потери устойчивости равновесного состояния У = 0. [c.52]

Таким образом, для определения устойчивости положения равновесия необходимо знать условия знакоопределенности квадратичных форм. Они даются критерием Сильвестра, который излагается в 4. Там же приведены тексты программ на языках BASI и REDU E и на примерах показан порядок работы с ними. [c.87]

Теория нелинейных импульсных автоматических систем начала развиваться сравнительно недавно. Применяя идеи методов исследования абсолютной устойчивости, основанных на прямом методе А. М. Ляпунова в форме, приданной ему А. И. Лурье, и используя подход В. М. Попова, удалось найти достаточные условия абсолютной устойчивости положения равновесия нелинейных импульсных автоматических систем в виде разрешающей системы квадратных уравнений и частотных критериев устойчивости. Изучение периодических режимов в импульсных и цифровых автоматических системах исторически началось раньше установления критериев устойчивости. Вначале эти исследования основывались на привлечении идей приближенного метода гармонического баланса. Распространение метода гармонического баланса позволило разработать эффективные способы определения режимов с периодом, кратным периоду повторения в нелинейных амплитудно-импульсных и широтно-импульсных сиотемах. Этот подход весьма удобен и оправдан для определения низкочастотных периодических режимов. Для высокочастотных периодических режимов оказалось, что простая замена частотной характеристики непрерывной части на импульсную частотную характеристику позволяет не приближенно, а точно определить существование высокочастотных периодических режимов. Что же касается периодических режимов с периодом, не кратным периоду повторения, а также сложных периодических режимов, то единственная возможность их определения, которая существует в настоящее время, связана с развитием метода гармонического баланса по преобладающей гармонике. Задача исследования устойчивости периодических режимов сводится к задаче определения устойчивости в малом линейной импульсной системы с несколькими импульсными элементами [48]. [c.270]

Аккомодацией называется следуюш,ее явление мембрана, возбуждающаяся в ответ на резкое включение внешнего тока определенной плотности, не возбуждается, e jjH эта же плотность тока достигается в результате медленного нарастания. Природа аккомодации ясна из рис. 66, а при резком перемешении характеристики из наложения I в положение 2 происходит возбуждение, движение изображающей точки системы показано стрелкой. При медленном смещении система остается в устойчивом положении равновесия. При достаточно медленном увеличении плотности внешнего тока система, показанная на рис. 66, а, никогда, не возбудится. Напротив, система, изображенная на рис, 66, б, может возбудиться и при произвольно малой скорости нарастания тока, так как положение равновесия становится неустойчивым. Рис. 66 показывает связь между отсутствием способности к аккомодации и возможностью автоколебаний. [c.143]

Для асимптотической устойчивости положения равновесия достаточно, чтобы функция V была определенноположительной, а ее производная по времени — определенно-отрицательной. [c.34]

Вопрос об устойчивости положения равновесия является частным случаем обш,ей задачи об устойчивости движения. Эта задача имеет в современной технике большое значение (двигатель должен устойчиво удерживать заданный режим работы, самолет, ракета, корабль должны устойчиво сохранять заданное направление движения и т. п.). Эти вопросы выходят за рамки настоя-ш,его курса, поэтому желаюш,им ознакомиться с общей задачей устойчивости движения мы рекомендуем обратиться к специальным руководствам ). Здесь же мы ограничимся только основными определениями и изложением теоремы Лагранжа — Дирихле. [c.456]

Определение 2. Положение равновесия рассматриваемой системы называется асимптотически устойчивым по Ляпунову если, во-первых, оно просто устойчиво по Ляпунову, во-вторых, существует такая окрестность нуля, что все решения, стартуюише из нее при [c.154]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...