Условия равновесия. Устойчивость

Условия равновесия. Устойчивость. Для того чтобы консервативная система, на которую внешние силы не действуют, при конфигурации д 2,. .., могла находиться в равновесии, уравнениям движения, а именно [c.215]

ОБЩИЕ УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ [c.132]

Определение условий равновесия системы. Устойчивость равновесия [c.397]

Система состоит из двух однородных стержней ОА и AD длины а и массы т, расположенных в вертикальной плоскости. В точке А стержни соединены шарниром. В точке О — неподвижный шарнир. В точке В стержень AB соединен шарниром с телом С массы П1, которое может перемещаться по вертикали, проходящей через точку О. Середины стержней ОА п AB соединены пружиной жесткости с. Длина пружины в ненапряженном состоянии lad а. Найти положения равновесия и условия их устойчивости. Трением и массой пружины пренебречь. [c.399]

Условия равновесия смесп 48, 207 Устойчивость [c.336]

В [52] также наблюдалось дробление пузырьков газа под действием электрического поля. В частности, было показано, что при г /Е 20 вытягивание пузырьков газа по направлению поля происходит вплоть до того момента, когда полюсы пузырька практически соединят электроды. При этом происходит.разрыв поверхности и дробление газового пузырька. Если е /е 20, то при Е=Е в точках полюсов пузырька образуются острые концы и струи газа. При этом критическое значение длин полуосей у,р=1.85 при е /е = оо. Форма поверхности пузырька газа в области полюсов в момент дробления близка к конической. Значение угла раствора конуса 2р, при котором пузырек газа ещ е можно считать устойчивым, определим из условия равновесия давлений на поверхности конуса [54]. [c.148]

При определении условий равновесия механической системы возникает весьма важный вопрос о том, будет ли это равновесие практически реализуемым, т. е. устойчивым, или нет. Равновесие системы в данном положении называется устойчивым, если ее можно вывести из этого положения настолько малым возмущением (смещением, толчком), что во все последующее время отклонения системы от равновесного положения будут меньше любого сколь угодно малого заданного отклонения. В противном случае равновесие называют неустойчивым. Такое определение соответствует понятию об устойчивости равновесия и движения по А. М. Ляпунову. Исходя из него, можно, например, сразу установить, что равновесие маятника, изображенного на рис. 324, при ф=0 будет устойчивым, а при (р=180° — неустойчивым. [c.387]

Допустим, что консервативная механическая система, состоящая из п материальных точек и имеющая одну степень свободы, находится в некотором положении в устойчивом равновесии. Исследуем, какое движение будет совершать эта система, если ее вывести из равновесия малым возмущением. Условимся опять определять положение системы обобщенной координатой q, выбранной так, что при равновесии равновесие устойчиво, а возмущения малы, то координата q и обобщенная скорость q будут во все время движения тоже оставаться величинами малыми. Для составления дифференциального уравнения движения системы воспользуемся уравнением Лагранжа, которое, если выразить обобщенную силу Q через потенциальную энергию системы,П [(см. 143, формулы (115)], примет вид [c.389]

Отсылая читателей, интересующихся доказательством этой теоремы, к книгам по устойчивости движения ), обратим внимание на следующие обстоятельства. Теорема Ляпунова о линейном приближении определяет только достаточные условия асимптотической устойчивости равновесия, так как она не решает вопроса [c.220]

Заметим, что если для системы уравнений (40) известен какой-либо первый интеграл, т. е. функция, которая при движении системы не изменяется, и если эта функция непрерывна в малой окрестности начала координат, положительна в ней и имеет в самом начале координат нулевое значение, то такой интеграл уравнений (40) является для этих уравнений функцией Ляпунова. Действительно, производная от такой функции, вычисленная в силу тех же уравнений (40), заведомо равна нулю. Поэтому наличие первого интеграла, удовлетворяющего указанным выше условиям, гарантирует устойчивость равновесия системы (40) (разумеется, не асимптотическую). Полная энергия консервативной системы как раз является примером интеграла такого рода. Из этого замечания сразу следует, что полная энергия консервативной системы не является единственным примером первого интеграла, который может быть использован для доказательства устойчивости. [c.234]

Из второго закона непосредственно следует только (12.3), но знаки неравенств в критериях равновесия и устойчивости совпадают, поэтому дополнительных доказательств (12.4) — (12.6) не требуется. Достаточные условия равновесия выражаются, следовательно, через вариации второго порядка характеристических функций при постоянных значениях их естественных наборов аргументов. Как и в случае (11.1), (11.13) и других, варьируются при этом внутренние переменные системы. [c.115]

Необходимость анализа равновесия на устойчивость можно показать на примере из 11 (см. рис. 5). Как отмечалось, критерии равновесия, выраженные через вариации первого порядка энергий Гиббса и Гельмгольца, приводят к одинаковым частным условиям равновесия жидкой капли с насыщенным паром (11.49) и (11.50). Первое из них имеет ту особенность, что химические потенциалы р, и р, относятся к одинаковым температурам, но разным давлениям. Дифференцирование [c.116]

Трудно объяснимое на первый взгляд наличие каскада переходов в неравновесной системе становится понятным, если принять во внимание статистический характер свойств среды. В равновесных системах состояние равновесия устойчиво относительно флуктуаций, которые непрерывно возмущают средние значения потоков энергии. Вблизи равновесия флуктуации затухают. Поэтому можно считать, что равновесные и близкие к равновесным системы управляемы. В них равновесие контролируется стремлением системы к минимуму свободной энергии Гиббса. В неравновесных условиях устойчивость системы контролируется стремлением системы к минимуму производством энергии. Но что же заставляет систему забывать, что она является неравновесной и эволюционировать на определенном этапе по законам равновесной термодинамики Физические причины такого поведения рассмотрены ниже. [c.43]

Условия, положение, устойчивость, уравнения. .. равновесия. В случае. .. равновесия. Задача. .. на равновесие. [c.71]

Виды равновесия. В практике большую роль играет не только выполнение условия равновесия тел, но и качественная характеристика равновесия, называемая устойчивостью. Различают три вида равновесия тел устойчивое, неустойчивое и безразличное. Рав- [c.33]

Жидкость может находиться в механическом равновесии (т. е. в ней может отсутствовать макроскопическое движение), не находясь при этом в тепловом равновесии. Уравнение (3,1), являющееся условием механического равновесия, мол<ет быть удовлетворено и при непостоянной температуре в жидкости. При этом, однако, возникает вопрос о том, будет ли такое равновесие устойчивым. Оказывается, что равновесие будет устойчивым лишь при выполнении определенного условия. Если это условие не выполняется, то равновесие неустойчиво, что приводит к появлению в жидкости беспорядочных течений, стремящихся перемешать жидкость так, чтобы в ней установилась постоянная температура. Такое движение носит название конвекции. Условие устойчивости механического равновесия является, другими словами, условием отсутствия конвекции. Оно может быть выведено следующим образом. [c.22]

При этом условии исследуемое положение равновесия устойчиво. Наоборот, при [c.343]

Если подъемная сила, действующая на тело, целиком погруженное в жидкость, больше, чем вес тела, то тело всплывет на поверхность подъемная сила (вес вытесненной жидкости) убывает до тех пор, пока не окажется равной весу тела. Условия равновесия по-прежнему сводятся к тому, что центр тяжести тела и центр тяжести вытесненного объема должны лежать на одной вертикали. Однако условия устойчивости равновесия будут уже иными. Равновесие может быть устойчивым и тогда, когда центр тяжести тела лежит выше центра тяжести вытесненного объема (иначе устойчивое плавание однородных тел на поверхности жидкости вообще было бы невозможно, так как их [c.509]

Рассмотрим условия устойчивости для плавающего на поверхности жидкости прямоугольного параллелепипеда. Из условий равновесия следует, что целиком погруженная грань параллелепипеда должна быть горизонтальна. При отклонении параллелепипеда от положения равновесия центр тяжести вытесненного объема перемещается в ту же сторону, куда наклонился параллелепипед. Вследствие того, что точка приложения силы тяжести О и точка приложения подъемной силы С не лежат на одной вертикали, возникают моменты силы тяжести и подъемной силы. Если полностью погруженная в жидкость грань EF параллелепипеда больше, чем частично погруженные DE и GF (рис. 283), то возникший момент будет возвращать тело к положению равновесия — равновесие будет устойчиво. В противном случае (рис. 284), когда полностью погруженная в жидкость грань EF меньше, чем частично погруженные грани BE и GF, возникший момент будет еще больше наклонять тело — равновесие будет неустойчиво. Условие устойчивости равновесия, как легко видеть, сводится к тому, чтобы [c.509]

Эту закономерность можно объяснить следующем образом. В результате поглощения возбуждающих квантов различной величины молекулы первоначально оказываются на совершенно различных возбужденных уровнях. Возвращаются же в невозбужденное состояние они с одних и тех же уровней, так как их спектры люминесценции не изменяются. Это означает, что большинство возбужденных состояний, которые могут реализоваться у данной молекулы, являются нестабильными. Лишь одно из этих состояний, характерное для молекулы в данных температурных условиях, является устойчивым. Из этого состояния всегда и осуществляется излучательный переход в невозбужденное состояние. Следовательно, у молекул, которые поглотили большие возбуждающие кванты и перешли на более высокие колебательные уровни данного электронного возбужденного состояния (или на уровни более высоких электронных состояний), должно происходить перераспределение энергии возбуждения. В результате колебательные состояния возбужденных молекул будут определяться их тепловым статистическим равновесием с окружающей средой. [c.175]

В полученном решении стержня, однако, есть очевидные неясности. Во-первых, определив критическую силу, мы так и не определили угол ф. Мы только сказали, что он нулю не равен, а чему он равен, так и не было установлено. Во-вторых, представим себе, что сила станет чуть больше найденного нами значения. Тогда выражение (2) не будет равно нулю, и, следовательно, чтобы выполнить условие равновесия, мы должны приравнять нулю ф. Это означает, что маятник, отклонившись было от вертикали, при увеличении силы должен сам собой- снова принять вертикальное положение. Это, конечно, не соответствует действительности. И наконец, в третьих на каком основании найденную силу мы сочли критической Откуда следует, что при силе, меньшей найденного значения с//, положение равновесия устойчиво, а при большем значении — неустойчиво В этих вопросах необходимо сейчас разобраться. [c.123]

При решении некоторых задач теории упругости, как например, задач устойчивости, необходимо принимать во внимание компоненты тензора конечной деформации, определяемые формулами (3.17). Здесь мы ограничимся выводом условий равновесия и граничных условий для этого случая. [c.221]

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ И УСТОЙЧИВОСТИ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [c.119]

В применении к той или иной конкретной термодинамической системе общие условия равновесия и устойчивости позволяют получить частные (или конкретные) для данной системы условия ее равновесия и устойчивости (которые мы будем называть просто условиями равновесия и устойчивости). [c.119]

Найдем общие условия равновесия и устойчивости термодинамической системы. [c.121]

Для системы, погруженной в среду с постоянной температурой и давлением, получаем dG<0. Следовательно, в такой системе при неравновесных процессах энергия Гиббса убывает и имеет минимум при равновесии. Поэтому общее условие равновесия и устойчивости системы в термостате с постоянным внешним давлением (минимум энергии Гиббса) можно записать в виде [c.123]

AG>0 или 5G = 0, 5 G>0, причем равенство 5G = 0 есть общее условие равновесия, а неравенство 5 G>0 — общее достаточное) условие устойчивости системы. [c.123]

Из неравенства (6.5) видно, что при неравновесных процессах в системе с переменным числом частиц, находящейся в термостате при постоянных V и Ц , термодинамический потенциал Q убывает (dQ<0) и имеет при устойчивом равновесии минимум. Общие условия равновесия и устойчивости такой системы запишутся в виде [c.124]

Достаточным условием устойчивого равновесия является также и положительное значение второй вариации энергии Гиббса 5 G>0. Эту вариацию легко найти из общего условия равновесия и устойчивости АС>0. Действительно, при заданных Tq и ро из неравенства (6.12) имеем [c.128]

Общие закономерности сосуществования устойчивых фаз, отвечающих тео1ретическим условиям равновесия, могут быть выражены в математической форме, именуемой правилом фаз, или законом Гиббса. [c.109]

Пример 2.12. Испо [ьзуяпроцедуру LSHIP, получим для примера 2.2 необходимые и достаточные условия асимптотической устойчивости положения равновесия системы. Для этого обратимся к процедуре [c.107]

В сформулированных в предшествующем разделе критериях равновесия термодинамических систем также не в полной мере использованы следствия второго закона о максимальности энтропии изолированной системы или о минимальности термодинамических потенциалов при тех или иных условиях равновесия. Действительно, знаки неравенств для вариаций первого порядка в (11.1), (11.13) и других критериях соответствуют виду экстремума энтропии, внутренней энергии и т. д., но эти знаки, как отмечалось, относятся к особому случаю граничного экстремума характеристической функции. Если же последняя имеет в равновесии стационарное значение, то вопрос о виде экстремума (минимума, максимума или точки пЬрегиба) при использовании (11.1), (11.13), (11.31) и других остается открытым и для ответа на него надо дополнить указанные критерии соответствующими условиями устойчивости равновесия [c.115]

Необходимым и достаточным условием равновесия бруска является условие, чтобы его центр тяжести находился строго над осью бревна. По теореме Дирихле равновесие устойчиво, если при достаточно малом перемещении бруска высота его центра тяжести увеличивается. Сообщим бруску малое перемещение. Оно является качением без скольжения бруска по бревну (рис. 121, в). При этом брусок наклонится на малый угол ф и будет касаться бревна точкой Л, а прежняя точка касания при повороте бруска переместится вместе с ним и займет положение Bi. По условиям качения без скольжения прямолинейный отрезок ABj равен дуге АВ = ф. Центр тяжести бруска переместится из С в С . [c.243]

Условия равновесия 37—38 Устойчивость — Потеря 240— 241 — Проверка 241 Устойчивость бруса прямвуголь-ного сечения 247—249 [c.766]

Итак, существуют такие положительные числа и ti , определяющие область начальных значений ql и q для которых все обобщенные координаты удовлетворяют условию (gd < в, т. е. положение равновесия устойчиво. Теорема Лагранжа—Дирихле полностью доказана. [c.412]

Теорема Лагранжа определяет только достаточные условия устойчивости равновесия консервативной системы если нотенциальиая анергия имеет в положении изолированного равновесия минимум, то равновесие устойчиво. Ляпунов первый поставил вопрос об обратимо-ти теоремы Лагранжа, а именно моя но ли утверждать, что при отсутствии минимума потенциальной энергии равновесие будет неустойчивым Ему принадлежат следующие две теоремы, которые приводятся здесь без доказательств (см. 135]). [c.81]

Принцип устойчивости требовался в основных космогонических задачах Лагранжем, Лапласом, Пуассоном, Пуанкаре, Ляпуновым. Наиболее широкое употребление он получил через применение теоремы Лагранжа об устойчивости равновесия при существованни силовой функции для описания развития равновесий медленно изменяющихся механических систем. Основные законы физики, как-то законы Гука, энтропии, закон всемирного тяготения Ньютона, сила Лоренца — удовлетворяют необходимым условиям принципа устойчивости ). [c.247]

Таким образом, равенство 55 =О определяет общее условие равновесия, а неравенство 5"5<0 — общее условие устойчивости равновесия изолированных термодинамических систем. Эти условия являются достаточными, так как если бы система, имея максимальную энтропию, не находилась в устойчивом равновесии, то при приближении к нему ее энтропия начала бы расти, что противоречит предположению о ее максимальности. Доказать необходимость максимальной энтропии при устойчивом равновесии изолированной системы исходя из основного неравенства (6.3) нельзя, так как из него не следует, что равновесие невозможно при немаксимальной энтропии. Однако, принимая во внимание молекулярную природу термодинамических систем и наличие обусловленных ею флуктуаций внутренних параметров, видим, что состояние равновесия без максимума энтропии невозможно, так как благодаря этим флуктуациям в системе возникают неравновесные процессы, сопровождающиеся ростом энтропии и приводящие систему к равновесию при максимальной энтропии. [c.122]

А/ >0 или 5/ = О, 5 / >0, причем равенство 5F=0 есть общее условие равновесия, а нерасеп-ство 5 / >0 — общее (достаточное) условие устойчивости системы в термостате при постоянном объеме. [c.123]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...