Уравнение вековое общее

В курсах по теории дифференциальных уравнений доказывается, что в случае кратных корней формула (6) несколько усложняется. В этой формуле могут появиться так называемые вековые члены , содержащие вместо постоянного вектора Нд, полином относительно t -f- u kt В общем случае произвольное решение системы дифференциальных уравнений (1) определяется формулой [c.218]

В нормальных координатах это колебание осуществляется, когда все 6,- = О при 1ф j изменяется только координата 6у.) В предыдущем параграфе было установлено, что квадрат частоты Xj = (iij удовлетворяет уравнению частот. Так как других гармонических колебаний вида (9), кроме тех, которые входят как слагаемые в общую формулу (8), для q не существует, то Ij — uij (У=1,. .., л) — все корни векового уравнения. Кроме того, если какой-либо корень повторяется здесь р раз, то ему соответствуют р линейно независимых амплитудных векторов Иу, определяемых из системы линейных уравнений (28) или (29) предыдущего параграфа. [c.243]

Аналогичную процедуру можно применить и в случае корня более высокой кратности. Пусть, например, Х будет т-кратным корнем векового уравнения. В этом случае нам нужно будет получить m ортогональных и нормированных собственных векторов fli, . т- Для этого достаточно взять т любых собственных векторов а[,. .а и образовать из них соответствующие линейные комбинации. Вектор можно получить тогда, умножая а[ на соответствующий коэффициент. После этого можно образовать вектор й2, составляя линейную комбинацию векторов а[ и с, и т. д. Число постоянных, подлежащих при этом определению, будет равно сумме m первых целых чисел, т. е. у m (т + 1). Но так как эти постоянные должны удовлетворять m условиям нормирования и — т(т — 1) условиям ортогональности, то в общей сложности у нас получится ровно столько условий, сколько нужно иметь для определения всех этих постоянных. [c.358]

Собственные частоты и главные координаты. В предыдущем параграфе мы видели, что решения вида (10.9) удовлетворяют уравнениям движения не при одном значении частоты со, а в общем случае при п различных значениях. Поэтому решение уравнений движения представляет суперпозицию нескольких колебаний с частотами соь. , Эти частоты, являющиеся решениями векового уравнения, называют частотами свободного колебания или собственными частотами системы. [c.359]

Эта книга является инженерным учебником, и общая теория изложена в ней довольно элементарно. Однако колебания систем с двумя и тремя степенями свободы изложены подробно, и многие из рассмотренных примеров полностью решены. Эти сравнительно простые системы дают ясное представление о таких понятиях, как главные колебания, резонанс и т. д., что часто остается менее ясным при абстрактном изложении. В книге рассмотрены также некоторые специальные вопросы, такие, как приближенное решение векового уравнения, или теория малых колебаний системы вблизи установившегося режима движения. [c.376]

Отсюда, в случае простых корней векового уравнения, коэфициенты k ..., (k=h 2,..., п) определяются с точностью до общего множителя, который может быть выбран произвольным. Все корни действительны. Если одна из квадратичных форм предварительным линейным преобразованием уже приведена к сумме квадратов, например [c.116]

В общем случае /-мерная матрица гамильтониана приводит к вековому уравнению с / собственными значениями. Подстановка собственных значений Ej одновременно в (5.1426) дает / совместных уравнений для (С- )л/ (т = 1 до I), откуда получаем элементы /-го столбца матрицы С . Так как (С- ) / = = jn, то эти коэффициенты образуют /-ю строку матрицы С и являются коэффициентами базисных функций W°n в собственных функциях 4V [c.90]

Это общее решение должно удовлетворять граничным условиям (4.8) и (4.10). Но так как при приближении к границе слоя уравнение (4.3) должно вырождаться в уравнение (4.9), то на этой границе третье независимое решение ipg должно оказаться несущественным и его можно отбросить при удовлетворении условию (4.10). В таком случае вековое уравнение для случая течения в пограничном слое будет [c.415]

В главе 6 рассматривается влияние гравитационных возмущений. С помощью интеграла Якоби исследуются для круговой орбиты области возможных движений оси динамически симметричного спутника. Показано, в частности, что ось динамически вытянутого спутника может совершать ограниченные колебания в окрестности радиуса-вектора орбиты, а ось динамически сжатого спутника — в окрестности нормали к плоскости орбиты. Если же составляющая абсолютной угловой скорости по оси симметрии все время остается равной нулю, то ось динамически сжатого спутника может совершать ограниченные колебания в окрестности касательной к орбите. Если кинетическая энергия относительного вращения спутника достаточно велика, то областью возможных движений становится вся единичная сфера и движение можно рассматривать как ротационное. Для такого движения исследуются вековые гравитационные возмущения и общие особенности движения на круговой и эллиптических орбитах для круговой орбиты, согласно общей теории главы 5, построено решение во втором приближении в эллиптических функциях аналогичное приближенное решение получено для эллиптической орбиты. Сравнение с численным интегрированием точных уравнений показывает, что решение второго приближения обладает очень высокой точностью. [c.13]

Задача о существовании дополнительного интеграла уравнений вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки, аналитического по каноническим переменным и параметру (л, впервые поставлена А. Пуанкаре в п. 86 его Новых методов небесной механики . Анализируя разложение возмущающей функции, А. Пуанкаре показал, что (в нашей терминологии) вековое множество не является всюду плотным, и, следовательно, его общая теорема об отсутствии новых аналитических интегралов не применима ...ничто не препятствует существованию третьего однозначного интеграла, если только якобиан трех интегралов обращается в нуль, как только п [у нас и , В. К.) становится кратным п [у нас и)1, В. К.)] отсюда следует, что этот третий интеграл не может в общем случае быть алгебраическим. [c.72]

Относительно анализа движения для системы (2.15) можно сослаться на книгу [119]. Наличие наружного кольца приводит к тому, что даже при отсутствии внешних сил вектор кинетического момента имеет вековой уход в пространстве. Этот уход, называемый эффектом Магнуса, объясняется появлением моментов реакций наружного кольца, перпендикулярных оси его вращения. В общем случае уравнения несимметричного гироскопа в кардановом подвесе не являются интегрируемыми [40]. [c.237]

Зная корни векового уравнения, мы можем написать общее решение системы (13.107 ) в виде [c.725]

Замечание 1. Изложенный метод решения дифференциальных уравнений для элементов Лагранжа (4.8.06) получил в специальной литературе название метода Лагранжа вычисления вековых возмущений , хотя, как видно из общего решения (4.8.08), элементы Лагранжа изменяются периодическим образом. Это объясняется тем, что в уравнениях для элементов сохранена лишь вековая часть возмущающей функции с точностью до вторых степеней малых величин. [c.426]

Дифференциальные уравнения для оскулирующих элементов, положенные в основу теории вековых возмущений Лагранжа (см. ч. IV, 8.03), которые получаются из общих уравнений для оскулирующих элементов в результате замены возмущающей функции ее вековой частью (см. ч. IV, 6.04) с точностью до величин второго порядка малости (относительно эксцентриситетов и наклонов), имеют первые интегралы [c.839]

До сих пор предполагалось, что все корни векового уравнения являются простыми. Однако вышеизложенное мало меняется в случае, когда среди корней векового уравнения есть кратные корни. При этом сохраняется общий вид решения задачи (43.20) и число членов, составляющих это решение. Единственное различие состоит в том, что коэффициенты соответствующие кратным частотам, не являются минорами определителя (43.16) и должны быть определены особо. При составлении общего решения (43.20) следует также иметь в виду, что каждой кратной частоте отвечает столько различных нормальных координат, каков ее порядок кратности. [c.243]

В главах V и VI мы рассматривали способ построения разложений, удовлетворяющих уравнениям движения в общем случае задачи трех тел. В главе VII мы останавливались на одном частном случае, а именно, на ограниченной задаче, и показали, каким образом в этом случае можно уничтожить в разложениях вековые члены. [c.228]

Далее можно точно таким же образом, как это было сделано в 10 гл. V в общем случае, привести систему дифференциальных уравнений для вековых возмущений к двум степеням свободы. [c.267]

Плотность атмосферы р является гладкой функцией иг. Исследуя правые части четырех уравнений с учетом сделанного замечания, мы видим, что уравнения для а не при интегрировании (если принять в первом приближении, что в правых частях значения а не остаются постоянными) дают вековой член, указывающий, что ак е уменьшаются вековым образом в зависимости от /, а следовательно, и от I. С другой стороны, присутствие члена sin / в двух других уравнениях приводит к тому, что и оказываются периодическими функциями времени. Колебания этих величин в общем случае имеют небольшие амплитуды вследствие малости коэффициента (А/т) С р. Эти элементы мы в дальнейшем рассматривать больше не будем. [c.333]

Первые четыре главы книги посвящены общим уравнениям движения тел, представляющих изолированную систему, известным интегралам, основным формулам эллиптического движения и разложению различных функций в гипергеометрические ряды и по функциям Бесселя. В гл. 5 достаточно подробно излагаются уравнения Лагранжа для оскулирующих элементов, чтобы читатель мог ознакомиться с основными процессами перехода от эллиптической орбиты к возмущениям планет. В гл. 6 рассматриваются различные классы неравенств —вековые, короткопериодические и долгопериодические. Гл. 7 посвящена разложению в ряд возмущающей функции, сначала в теории Луны, а затем в теории движения планет. В гл. 8 —о канонических уравнениях — шаг за шагом излагаются различные теоретические положения и приводятся простые примеры. В гл. 9 подробно рассматривается решение уравнений эллиптического движения при помощи метода Гамильтона — Якоби. В следующих двух главах излагаются элементы теории контактных преобразований. Гл. 12 посвящена теории Луны Делонэ в ней подробно описывается основная операция и дается практический метод получения решения п желаемой форме. В следующих двух главах рассматриваются вековые [c.7]

Характеристические числа матрицы А, т. е. корни s уравнения det(s —Л) =0, назовем характеристическими показателями уравнения = А . Про чисто мнимые показатели (включая нуль) говорят, что они устойчивого типа. Очевидно, что если любое регаение i(i) уравнения = А остается ограниченным при -> оо, то все характеристические показатели должны быть устойчивого типа. Обратное утверждение несправедливо, так как уже в случае одного кратного инвариантного множителя матрицы А общее решение уравнения содержит вековые члены. [c.86]

Априорное условие периодичности Ф эквивалентно устранению вековых членов. Поэтому последовательные приближения условия периодичности (14.43) будут проявляться как вековые условия в более традиционной схеме. Мы видим, что, даже следуя традиционной схеме, выгодно исходить пз уравиений (14.42) и (14.43). Но, поскольку уравнения (14.42) п (14.43) эквивалентны вариационному принципу (14.44), еще лучше подставить разложение непосредственно в (14.44) и использовать вариационный принцип для получения как уравнений для ф , так и для вековых условий. Таким образом, вариационный подход не следует рассматривать как независимый метод. Он включает обычную теорию возмущений, выделяя основные моменты и позволяя формулировать результаты в более общем виде. [c.482]

Чтобы прийти к уравнению (6.1.39), вовсе не обязательно, вообще говоря, находить решение для х . Достаточно только, изучив уравнение (6.1.36), исключить те слагаемые, которые порождают вековые члены. Общее решение уравнения (6.1.39) имеет вид [c.255]

Полученное частотное уравнение относится к типу так называемого векового уравнения, корни которого всегда действительны и представляют собой значения искомых частот. Частотное уравнение (116) получено из полной системы уравнений теории упругости и поэтому является более общим по сравнению с известными в литературе частотными уравнениями, относящимися к различным частным видам колебаний, например изгибным (6], крутильным [50] и т. д. [c.138]

Уравнение (3.57) называется уравнением частот или вековым уравнением. Последнее наименование связано с тем, что в теоретической астрономии аналогичные уравнения служат для определения периодов вековых неравенств в движении планет ). Вековое уравнение (3.57) представляет собой уравнение п-й степени относительно р . При условии положительности потенциальной энергии оно определяет п положительных ), в общем случае различных значений квадратов собственных частот системы. [c.123]

Исключив из (7.49) В, В, у , 1/2, у у, у 2, придем к уравнению для и2. Общая структура этого уравнения остается такой же, как и в случае, когда собственная масса вала не учитывалась. Однако теперь элементами векового определителя являются функции 5, Т, и, V, зависящие не только от координат точек крепления масс, но и от частоты колебаний. Единственным практически приемлемым способом вычисления корней такого уравнения является способ последовательных проб, т. е. вычисление численных значений векового определителя для ряда пробных значений ю . [c.299]

Правило произведений Теллера-Редлиха. Метод, использованный в предыдущем параграфе для трехатомных молекул, может быть применен и к молекулам, состоящим из большего числа атомов. Однако решение векового уравнения самого общего вида становится все более громоздким. Такие вычисления были выполнены для четырехатомной молекулы XY3 Сэлентом и Розенталь [758] и для пятиатомных тетраэдрических молекул — Розенталь [747,748]. Вильсон [929] в кратком сообщении указал на метод теории возмущений, применимый к расчету изотопического смещения. Естественно, что реиюние несколько облегчается, если исходить из упрощенной системы силовых постоянных, например, из системы валентных сил. Однако многие выводы, сделанные вышеупомянутыми авторами, могут быть очень просто получены из общей теоремы, данной Теллером (цитировано в [55]) и Редлихом [726] независимо друг от друга. [c.250]

Если некоторые корни векового уравнения являются кратными, то соответствующие собственные векторы нельзя найти таким простым путем (см. 5.4 и 10.2). Действительно, если не все собственные значения матрицы общего вида являются различными, то ее не всегда можно диагонализировать. Однако здесь нас это не должно беспокоить, потому что, как показывает теорема Эйлера, у каждой нетривиальной ортогональной матрицы корень 4-1 является простым. [c.141]

Лагранж в 60-е годы отправлялся от этих работ в своих исследованиях колебаний системы конечного числа материальных точек. Ему было нетрудно придать утверждению Д. Бернулли форму математической теоремы, так как в 40-е годы XVIII в. Эйлер показал, как проинтегрировать линейное дифференциальное уравнение произвольного порядка с достоянными коэффициентами, а Даламбер — как интегрируются системы таких уравнений. Это позволяло просто сослаться на то, что общий интеграл дифференциальных уравнений описывающих малые колебания, является суммой слагаемых, каждое из которых соответствует малым изохронным колебаниям простого маятника. При этом, однако, надо было допустить, что корни алгебраического уравнения (уравнения частот, или векового уравнения ), которое попутно приходится решать, вещественны, положительны и не равны между собой. Однако Лагранж этим не ограничился и провел все исследование в общем виде, используя открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго, рода. В первом издании Аналитической механики Лагранжа (1788 г.) эти результаты даны в улучшенной редакции, в окончательном виде они вошли во. второе издание Аналитической механики (т. I., 1813 г.). [c.265]

С точки зрения механики осреднение по гр эквивалентно пренебрежению в решении высокочастотными колебаниями весьма малой амплитуды, которые накладываются на более плавные колебания, описываемые уравнениями (5.4.12). Высокочастотные колебания, обусловленные влиянием гр, назовем вибрационными колебаниями. Уравнения (5.4.12) в общем случае не интегрируются, так как U зависит от v. Эти уравнения описывают весьма медленные вековые и долгопериодические эффекты движения, а также периодические эффекты, обусловленные влиянием v. Период этих периодических колебаний соизмерим с периодом обращения спутника по орбите. Вековые и долгопериодические члены изменяются весьма медленно по сравнению со скоростью движения центра масс спутника по орбите. Для их выявления можно осреднить уравнения движения не только по гр, но и по v. Независимое осреднение по каждой фазовой переменной (гр, v) допустимо, если частоты этих переменных несоизмеримы, что мы всегда будем предполагать. Такое двойное осреднение уравнений (5.4.3) сводится к осреднению по v уравнений [c.187]

Наиболее удобной формой векового уравнения является не форма (2,96), а форма,, при которой X входит только в диагональные элементы. Такое уравнение может быть составлено, если исходить не из коэфициентов b j в (2,95), а обратных им коэфициентов, которые определяются гораздо легче, могут быть найдены в общем виде и сведены в таблицы [ИЮ, П02]. Вопрос о различных формах векового уравнения был рассмотрен В. М. Татевским [И66]. Л. С. Маянц исследовал свойства коэфициентов а,-у и и показал, что обратные им коэфициенты обладают инвариантностью относительно выбора всех координат, кроме рассматриваемой пары координат Qi и Qj (см. диссертацию Маянца Теория характеристических частот и некоторые ее применения, Москва, ФИАН, 1947 г.). Особенный интерес представляет инвариантность коэфициентов, обратных коэфициентам потенциальной энергии а,у. Этот вопрос требует дальнейшей разработки на конкретном материале. (Прим. ред.) [c.162]

Общие соображения. Лишь в очень небольшом число случаев (Н.2О, Ван Флек и Кросс [885], Н , и Ha Гиршфельдер [453]) удается с помощью чисто теоретических расчетов получить значения потенциальных постоянных многоатомной молекулы, а затзм решить вековое уравнение и сравнить предсказанные и наблюденные значения колебательных частот ). Во всех других случаях [c.177]

Уравнение (43.16) называется характеристическим или векошм уравнением. Оно представляет собой алгебраическое уравнение сте пени 5 относительно ш и в общем случае имеет 5 различных вещественных и положительных корней (а = 1,2,. .., ). Определенные таким образом величины называют собственными частотами системы. В частных случаях некоторые из корней векового уравнения могут совпадать. Совпадающие собственные частоты со называются вырожденными. Если у системы имеются две совпадающие частоты со = (о = (о, то колебание с частотой а называется дважды вырожденным могут быть и трехкратно вырожденные собствен ные частоты. Вырождение собственных колебаний механической системы всегда связано с наличием определенной симметрии ее равновесной конфигурации. [c.239]

В главах VIII и IX мы провели специальное исследование вековых возмущений, т. е. мы старались определить в общем случае задачи трех тел члены нулевого ранга наших разложений. Мы видели, что эти члены определяются каноническими уравнениями, имеющими тот же вид, как и в главе VII, и которые, следовательно, приводят к разложениям, в которых можно уничтожить вековые члены. [c.228]

В этих рассуждениях предполагалось, что уравнения движения имеют лаг-ранжеву форму. В других случаях наличие равных корней у векового уравнения может привести к появлению вне тригонометрических выражений членов, содержащих степени переменной i. Ввиду того, что при наличии таких членов характер движения значительно изменяется, очень важно иметь критерий, позволяющий заранее определить наличие или отсутствие этих членов. Общие условия того, что решение системы линейных дифференциальных уравнений не содержат никаких степеней времени, даны в т. II, п. 281. (См. также замечание в конце тома.) [c.410]

Предположим, сугцествует такая конфигурация врагцаюгцейся системы, которая обладает вековой, а следовательно, и обыкновенной устойчивостью. Посмотрим, что будет происходить с этой системой по мере её развития вдоль линейного ряда. В общем случае все корни —Л , —Лз,. ..,—уравнения (31) будут разными, поэтому если расположить эти корни в порядке возрастания их значений, т.е. Л < <. .. < XI, то первым корнем, который может изменить знак, будет —Af. Но это равносильно тому, что меняет знак и произведение 6i 2 bn- Следовательно, обыкновенная устойчивость теряется, если один из коэффициентов (или нечётное количество коэффициентов) меняет знак, тогда как при одновременной смене знака у чётного количества коэффициентов устойчивости она сохраняется. [c.45]

Известно, что планеты движутся вокруг Солнца по почти-эллиптическим орбитам, так как взаимное притяжение планет во много раз меньше, чем притяжение Солнца. Это приближение, сводящее задачу движения планет к задаче двух тел, служило основой для построения многих теорий движения планет. У кепле-ровской (опорной) орбиты элементы постоянны если теперь предположить, что вследствие взаимного гравитационного притяжения планет они изменяются, то для этих изменяющихся элементов можно составить дифференциальные уравнения. Выражения для элементов, получающиеся в результате решения уравнений (представляющие собой в общем случае длинные суммы синусоидальных, косинусоидальных и вековых членов), можно использовать для построения более точного приближения. Этот метод трудоемок, но на практике он быстро сходится, и более трех приближений приходится делать очень редко. Полученные таким образом аналитические выражения, справедливые на заданном интервале времени, называются общими возмущениями. Они позволяют нам сделать некоторые заключения о прошлом и будущем планетной системы, однако следует подчеркнуть, что указанным методом нельзя получить результаты, справедливые на любом, сколь угодно большом интервале времени. Метод общих возмущений применяется также к спутниковым системам, к орбитам астероидов, возмущаемым Юпитером, и к орбитам искусственных спутников. Этот метод является мощным инструментом астродинамики, поскольку в аналитических выражениях находят свое отражение различные возмущающие силы (например, влияние на спутник сплюснутости Земли). [c.129]

Возвращаясь опять к случаю тесной двойной, сопровождаемой удаленной третьей звездой, нетрудно видеть, что элементы орбиты спутника относительно главной звезды будут изменяться. Поскольку возмущающая функция задачи оказывается малой, можно использовать уравнения Лагранжа для построения общей теории возмущений, дающей изменения (коротко-, длиннопериодные и вековые) элементов орбиты. Преимущественно используются разложения, применяемые в теории Луны, что становится понятным, если напомнить, насколько полезными оказываются координаты Якоби как в теории Луны, так и в задаче трех тел. [c.468]

II) Для любого из треугольных равновесных решений (16г) возможны три случая, имеющих место тогда, когда масса одного из двух тел составляет а) больше, б) точно и в) меньше чем 100( /г -Ь /18 69) процентов общей массы 1 — ц ц = 1 обоих тел соответственно. (Указанный предельный процент, хотя и ниже, чем в (II) 382, но все же несколько превышает 96%.) В первом случае все четыре 5 = ([х) устойчивого типа и различ-пы. В третьем случае все 5 = 5(ц) неустойчивого типа, причем все четыре показателя имеют вид 5 = а -Ь р и ни одна из по- шжительных функций а, Р аргумента [1 не обращается в нуль. Во втором случае четыре 5 имеют вид 5 = фо, 5 = 0, где Ро — одно и то же положительное число. В этом предельном случае общее решение уравнений (19) содержит вековые члены. [c.452]

Используем общее решение, приведенное в предыдуших разделах, для случая распространения ПАВ в изотропном непьезоэлектрическом полупространстве. Из свойств вектора поляризации следует, что механические смещения в этом случае имеют место лишь в сагиттальной плоскости. Упругие колебания назовем поверхностной волной Рэлея. Запишем уравнение для расчета фазовой скорости vr, которое следует из векового уравнения системы (6.15) [c.272]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...