Критерий устойчивости стационарных

Тогда имеет место следующий критерий устойчивости стационарных движений. [c.288]

Это необходимые и достаточные условия существования стационарного движения. Они, очевидно, эквивалентны условиям (5) и получаются из последних исключением величин Pi (i=l, т). Применяя теорему Лагранжа к положению равновесия qi=qi приведенной системы, получаем критерий устойчивости стационарного движения в следующей форме. [c.289]

Приведенный здесь критерий устойчивости стационарного движения в несколько иной форме был установлен Раусом в 1884 г. [c.290]

Критерии устойчивости стационарных значений получены в следующей форме [c.81]

Как оказалось, в задачах сдвижении существенны лишь стационарные значения некоторых определенных интегралов. Поэтому имеется заметное различие между вариационным исчислением — ветвью чистой математики, с одной стороны, и его приложением к задачам механики—с другой. С точки зрения чистой математики задача о нахождении стационарных значений не представляет большого интереса. После установления критерия для стационарных точек идут дальше и ищут дополнительные критерии для истинных экстремумов. Для вариационных принципов механики, однако, эти последние исследования представляют интерес только при решении задач устойчивости, когда ищется дей-ЗВ [c.59]

Расхождение в результатах объясняется различием критериев устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений и выбором методики исследования. Отметим, что данная методика дает возможность исследовать приближенными методами движение систем в переходных режимах как при стационарных, так и нестационарных возмущениях, а в сочетании с методом статистической линеаризации перенести изложенные выше результаты на случай существенно нелинейных параметрических систем. В работе [54] исследование подобных систем приведено с использованием асимптотического метода и нестационарных уравнений ФПК. Из у.равнений (6.58), (6.59) следует, что наличие флюктуаций при линейных членах f н f приводит к увеличению дисперсии движения системы. Из рис. 70 видно, что наличие флюктуаций в нелинейных членах также приводит к изменению дисперсии системы по сравнению с системой с постоянными параметрами. Однако, как нетрудно показать из анализа выражения (6.54), увеличение дисперсии флюктуаций в нелинейных членах приводит к уменьшению дисперсии. В работе [27 ] рассмотрена проблема снижения резонансных амплитуд за счет введения флюктуаций при линейном члене /. При этом введение флюктуаций предполагалось кратковременным. Выражение (6.54) показывает новые возможности при решении подобных проблем в сочетании с принципом управления по возмущению (компенсация возмущений). [c.249]

Вопрос об устойчивости стационарной точки можно решить и иным путем — на основании критерия Гурвица, без непосредственного вычисления собственных значений. Запишем характеристическое уравнение (1.44) в виде [c.34]

Анализ полученных критериев устойчивости позволяет выявить роль характеристики двигателя и ее влияние на устойчивость стационарных колебаний нелинейной системы. [c.82]

Известны два эквивалентных варианта формулировки статического критерия устойчивости консервативных систем [3]. В одном пз них критическая нагрузка определяется как наименьшее из тех значений нагрузки, при которых изменение полной потенциальной энергии при отклонениях системы от начального состояния равновесия имеет стационарное значение. В этом случае аналитическая формулировка критерия устойчивости выглядит так [c.79]

Задача об устойчивости стационарных периодических двил<ений приводится к анализу алгебраических критериев Рауса—Гурвица. Необходимым условием устойчивости является неравенство [c.198]

В результате термодинамического анализа критерия устойчивости (9.23) установлено, что в стационарных неравномерных температурных полях процесс выпучивания практически не зависит от того, вызваны ли действующие напряжения тепловым расширением материала или внешними нагрузками. То есть критерий (9.23) для температурных задач теории упругости полностью совпадает с энергетическим условием (7.2), если под начальными напряжениями а / в момент потери устойчивости понимаются тепловые напряжения в упругом теле. [c.211]

Одно из направлений посвящено изучению устойчивости положений равновесия механических систем. При этом в зависимости от поставленной задачи применяются теорема Лагранжа, критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы, теорема Четаева о неустойчивости положения равновесия исследуется устойчивость стационарных движений. [c.60]

Пусть кривизна волновой поверхности в произвольном сечении резонатора в л-м проходе волны р4-Арп, где р — стационарная кривизна волновой поверхности Арп—случайное возмущение кривизны. В следующем (п+1)-м проходе кривизна волновой поверхности будет иметь величину р+Арп+1- Очевидно, что устойчивость волны определяется условием Лрп+1<Арп. Таким образом, критерием устойчивости может служить значение производной ( рп-м/фп при (5рп+1/фп >1 волна неустойчива, при ( рп+1/фп <1 волна устойчива. Из матричного уравнения (2.18) легко получить [c.40]

При изучении качественного поведения нелинейных систем автоматического регулирования в инженерной практике обычно используются либо прямой метод Ляпунова, либо частотные методы исследования нелинейных систем (типа критериев устойчивости В. М. Попова). С инженерной точки зрения эти методы оказываются удобными при исследовании систем автоматического регулирования с одной нелинейностью. При наличии же нескольких элементов в системе резко усложняется решение таких задач, как оценка областей притяжения стационарных режимов, нахождение условий устойчивости и абсолютной устойчивости систем, оценка времени переходного процесса. [c.252]

Это — уравнение, определяющее значение п1к. Если корни этого квадратного уравнения действительны, то волны распространяются с соответствующими действительными скоростями с другой стороны, если корни мнимые, то в решение входят экспоненциальные функции от времени, показывающие, что стационарное движение неустойчиво. Следовательно, критерий устойчивости имеет вид [c.366]

Если параметры исследуемой системы по сравнению с возможным для нее возмущенным движением представляют собой медленно изменяющиеся во времени величины, то наиболее простой способ состоит в замораживании коэффициентов дифференциального уравнения в фиксированный момент времени. При этом нестационарная система автоматического регулирования сводится к стационарной, к которой применимы обычные критерии устойчивости. Отличие в исследовании устойчивости системы с замороженными параметрами от системы с постоянными параметрами заключается в том, что приходится проверять устойчивость такой системы в различные моменты времени на всем возможном интервале времени работы. [c.105]

Одной из центральных в математической экологии является проблема устойчивости. Для детерминистских моделей эта проблема изучена достаточно хорошо (см., например, нашу с Д.О. Логофетом книгу Устойчивость биологических сообществ ), чего нельзя сказать для стохастических моделей. Р. Мей, исходя из чисто интуитивных представлений, предполагает, что коль скоро необходимые условия устойчивости невозмущенной системы — min > о (где X - характеристический корень матрицы сообщества), то при случайных возмущениях можно считать, что условие устойчивости будет иметь вид Хп, п > (а — мера интенсивности возмущений). Кроме того, в качестве критерия устойчивости сообщества в случайной среде Мей предлагает использовать условие существования стационарного распределения, в котором он видит аналог стационарного равновесия детерминистской модели. Развивая эти представления, [c.357]

И характером состояний равновесия системы (6.4.10), (6.4.11) вытекают критерии единственности и устойчивости стационарных режимов, а также условия существования автоколебательных режимов с мягким возбуждением. [c.257]

Одномерное нестационарное решение (2.11), описывающее развитие стационарного профиля (2.4) из состояния покоя, воспроизводилось численным методом с точностью -0,1%. При малых числах Рейнольдса силы вязкости преобладают и течение всегда устойчиво. Для справедливости критерия устойчивости (3.7) должно быть Re > R f. Критическое число Рейнольдса Re , разделяющее устойчивые и неустойчивые режимы течения, может быть определено при помощи вычислительного эксперимента. [c.58]

Рассматривается устойчивость геотермальной системы в случае, когда слой воды находится над слоем перегретого пара в пласте с относительно низкой проницаемостью, расположенном между двумя высокопроницаемыми параллельными пластами. Получено решение стационарной ограниченной задачи с поверхностью фазового перехода, разделяющей области существования воды и пара, в предположении малости конвективного переноса энергии по сравнению с кондуктивным. Исследование нормальной устойчивости поверхности фазового перехода показывает, что устойчивые конфигурации в рассматриваемой геотермальной системе почти всегда существуют в диапазоне проницаемостей, ограниченном сверху величиной к Ю - м . Критерий преобладания кондуктивного переноса энергии над конвективным, являющийся в то же время критерием существования базового решения, оказывается, таким образом, и критерием устойчивости поверхности раздела фаз в рассматриваемой геотермальной системе. Достаточно высокое значение проницаемости, удовлетворяющее этому критерию, позволяет объяснить существование устойчивых природных геотермальных резервуаров, где слой воды расположен над слоем пара. [c.3]

В настоящей работе предложен более сложный пример геотермальной системы, учитывающий движение фаз и фазовый переход в невозмущенном состоянии. Получено решение стационарной ограниченной задачи с поверхностью фазового перехода вода - пар в предположении малости конвективного переноса энергии по сравнению с кондуктивным. Проведенное исследование линейной устойчивости этого решения показывает, что в диапазоне параметров, в котором это решение существует, оно практически всегда устойчиво. Неустойчиво только вырожденное решение, представляющее собой решение покоя в невозмущенном состоянии, вероятность физической реализации которого ничтожно мала. Найдены устойчивые стационарные решения, реализующиеся при проницаемостях к 10 м , которые характерны для геотермальных систем. Представленный критерий существования стационарного решения, таким образом, совпадает с критерием устойчивости геотермальной системы. Механизм устойчивости рассматриваемого класса геотермальных систем имеет ясный физический смысл, который заключается в преобладании кондуктивного переноса энергии над конвективным. [c.4]

Были проведены расчеты устойчивости стационарного решения (2.1) для большого числа граничных значений давления и проницаемости, удовлетворяющих критерию малости конвективного переноса энергии по сравнению с кондуктивным. При наличии движения фаз все эти режимы устойчивы. При этом была выявлена следующая закономерность. Чем дальше равновесное положение поверхности фазового перехода X = /г, определяемое из трансцендентных соотношений (2.2), отклоняется от серединного положения в рассматриваемом геотермальном пласте, когда толщина слоя воды совпадает с толщиной слоя пара, тем устойчивее оказывается эта поверхность. Если базовое решение (2.1) соответствует состоянию покоя, то наименее устойчивая конфигурация, где реализуется в точности серединное положение поверхности раздела воды и пара, строится достаточно просто в силу того факта, что в случае вырождения движения положение этой поверхности можно задать априори. Для данного решения существует критическое значение проницаемости к = 2,5-Ю" м , разделяющее устойчивые и неустойчивые режимы покоя. При проницаемостях ниже критической решение устойчиво, а для проницаемостей выше критической - неустойчиво. [c.10]

Заключение. Дано стационарное решение задачи о движении фаз в геотермальной системе, когда слой воды располагается над слоем пара и предполагается малость конвективного переноса энергии по сравнению с кондуктивным. Проведенное исследование нормальной устойчивости решения показывает, что в допустимом диапазоне параметров решение всегда устойчиво, за исключением изолированного решения покоя при проницаемостях А > 2.5-см . Таким образом, критерием устойчивости является критерий малости конвективного переноса тепла. Этот факт позволяет понять физический механизм устойчивости, который состоит в том, что возмущения границы и проникновение водяных "пальцев" в область пара предотвращается доминирующим кондуктивным подтоком тепла, приводящим к испарению жидкой фазы. Расчеты показывают, что существуют устойчивые решения, соответствующие значениям проницаемости /с 10 м , что на полтора порядка превосходят критическое значение, приведенное в работе [4]. При более высоких проницаемостях роль конвективного переноса тепла возрастает и использование невозмущенного решения становится неправомерным. Однако естественно выдвинуть предположение, что увеличение проницаемости не сразу приведет к возникновению неустойчивости, т.е. в реальности слой воды может устойчиво существовать над слоем пара в геотермальных системах и при более высоких проницаемостях пород в течение некоторого времени. [c.11]

Задача об устойчивости заданного движения материальной системы может рассматриваться с различных точек зрения. Речь может идти, во-первых, о разыскании оценок отклонений обобщенных координат и обобщенных скоростей от их значений в опорном движении в любой момент времени, когда начальные возмущения достаточно малы. Об основывающемся на этом воззрении определении устойчивости движения по Ляпунову кратко говорилось в п. 11.10, а составлению уравнений возмущенного движения — уравнений в вариациях — были посвящены пп. 11.14—11.17. Во-вторых, может рассматриваться лишь орбитальная устойчивость, когда вопрос о протекании во времени возмущенного движения отодвигается на второй план, а изучаются лишь траектории возмущенного движения и устанавливаются критерии их близости к опорной траектории. При этом часто, ограничивая постановку задачи, рассматривают только консервативные возмущения — такие, при которых на возмущенных траекториях сохраняется то же самое значение постоянной энергии /г, что и на опорной траектории. Принцип стационарного действия Лагранжа оказывается при этой постановке задачи наиболее приспособленным методом исследования орбитальной устойчивости, поскольку траекториями как опорного, так и возмущенного движений являются геодезические линии многообразия / элемента действия, т. е. простейшие геометрические [c.721]

Анализ условий работы объектов управления позволяет выделить по меньшей мере два основных типа режимов работы режимы при постоянном задающем воздействии и медленно меняющихся случайных возмущениях с ограниченной амплитудой случайных составляющих режимы при изменяющемся задающем воздействии или при возмущениях, которые нельзя отнести к квазистационарным [2]. Режимы первого типа можно определить как квазистационарные (или для краткости — стационарные). Режимы второго типа относятся к переходным. Требования, относящиеся к стационарным режимам, сводятся обычно к минимизации реакции системы на медленно меняющиеся составляющие возмущений. Одним из типичных требований такого рода является требование так называемой технической устойчивости движения [3]. В переходных режимах должна обеспечиваться минимизация соответствующего критерия качества время процесса, перерегулирование, один из интегральных критериев или другие. [c.225]

Определение необходимого периода осреднения (с точки зрения его репрезентативности) в работе [47] дано лишь качественно и на примере только данных температуры, поэтому целесообразно провести также и количественную оценку (с помощью ка-кого-либо статистического критерия) временной устойчивости получаемых климатических показателей, причем для всего комплекса исследуемых физических величин (температуры, влажности воздуха и озона). Одним из методов решения этой задачи может быть метод определения значимости расхождения средних величин и дисперсий, рассчитанных по двум независимым выборкам, входящим в некоторую генеральную совокупность, при условии их стационарности. (Временные ряды стационарны в том смысле, что элементы каждого из них, рассматриваемые как случайные величины, имеют одинаковые математические ожидания и дисперсии, хотя, может быть, и меняющиеся от одного ряда к другому [33]). [c.70]

Если ч g н Т исчезают одновременно, то движение неустойчиво для всех возмущений, т. е. независимо от того, какое значение имеет к. Если исчезает Т, то действие тяжести может обеспечить устойчивость для определенных значений к, но оно не может превратить стационарное движение в движение, полностью устойчивое. В самом деле, если к бесконечно велико, т. е. если рябь бесконечно мелка, то с1Н /= с1Н / = 1, и член, содержащий g, исчезает из критерия. Несмотря на то, что приложенные силы стремя 1ся придать устойчивость движению, оно необходимо неустойчиво для волн бесконечно малой длины и этот вывод можно распространить на вихревые слои любого вида и на приложенные силы любого типа. [c.366]

При наличии в системах конвективных переносов стационарное состояние в равной мере определяется условиями и термодинамической и механической устойчивости. Поэтому критерий (3.3), отражающий лишь первое условие, необходимо дополнить путем введения в [c.123]

В связи с тем, что критерий (8.1) является необходимым и достаточным, мы можем строго оценивать тепловую устойчивость реальных установок, рассматривая их только в стационарном режиме и игнорируя переходные режимы. Таким образом, мы можем строго оценивать тепловую устойчивость реальных установок, оперируя лишь [c.183]

Критерий (8.16) представляет собой общий критерий тепловой устойчивости, т.е. он является как необходимым, так и достаточным условием, которое должно удовлетворяться, чтобы теплообменные установки оказывали сопротивление тепловым возмущениям как непосредственно после их воздействия, так по истечении некоторого времени. Поскольку в критерий (8.16) входят только стационарные производные, тепловая устойчивость реальной установки может быть строго определена без учета нестационарных параметров, т.е. при оценке тепловой устойчивости мы можем пренебречь тепловой инерцией и теплоемкостью. [c.189]

Проверяется, удовлетворяет ли система критерию (8.16), Если последний удовлетворяется, то в рассматриваемой точке установки, работающей в потенциально стационарном режиме, обеспечиваются условия тепловой устойчивости. В противном случае в рассматриваемой точке условие тепловой устойчивости не выполняется. (В гл. 9 мы рассмотрим режим работы установки в отсутствие тепловой устойчивости.) [c.190]

Критерий устойчивости состояния покоя для систем с голоно.м-пыми и стационарными связями, находящихся в консервативном силовом поле, устанавливается в зависимости от потенциальной энергии этих систем. Представим себе механическую систему с голономными стационарными связями, находящуюся под действием сил, имеющих потенциал. Такую систему, как указывалось выше ( 72), называют консервативной. [c.335]

В гл. 4 мы вывели критерий тепловой устойчивости, основываясь исключительно на стационарных характеристиках установок. Фактически получе1шый критерий описывает "стационарную устойчивость" установок. Однако в связи с тем, что мы пренебрегли характеристиками установок в переходных режимах, мы не можем заключить, что удовлетворение стационарного критерия во всех случаях гарантирует [c.183]

Если применим интегральный критерий устойчивости, то есть диссипацией в колебательной части системы можно пренебречь, так что справедливы уравношя (2.33), то вопрос о существовании и устойчивости стационарных режимов решается на основе этого критерия устойчивые син- фонные движения отвечают точкам грубых минимумов функции О по разностям фаз а -1-а]ь (Напомним (см. 23), что под [c.168]

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ — ТЕОРЕМА РАУСА Циклическими координатами называются координаты, не входящие явно в функцию Лагранжа Ь. Стационарным движением системы с циклическими координатами называется движение, в котором нециклические координаты и циклические скорости сохраняют постоянные значения. Для такого движения Э. Раус построил энергетический критерий устойчивости, аналогичный критерию Лагранжа — Дирихле для равновесного состояния консервативной системы. Этот критерий можно получить как простое следствие теорем об устойчивости Ляпунова. [c.419]

В сформулированных в предшествующем разделе критериях равновесия термодинамических систем также не в полной мере использованы следствия второго закона о максимальности энтропии изолированной системы или о минимальности термодинамических потенциалов при тех или иных условиях равновесия. Действительно, знаки неравенств для вариаций первого порядка в (11.1), (11.13) и других критериях соответствуют виду экстремума энтропии, внутренней энергии и т. д., но эти знаки, как отмечалось, относятся к особому случаю граничного экстремума характеристической функции. Если же последняя имеет в равновесии стационарное значение, то вопрос о виде экстремума (минимума, максимума или точки пЬрегиба) при использовании (11.1), (11.13), (11.31) и других остается открытым и для ответа на него надо дополнить указанные критерии соответствующими условиями устойчивости равновесия [c.115]

Величина сопротивления вычислялась как среднее арифметическое из шести замеров, каждый из которых состоял в свою очередь из двух измерений, выполненных при взаимно противоположных направлениях тока. Такая методика необходима для исключения возможного влияния термотоков, возникающих в схеме в местах контактов разнородных металлов. Так как во время измерений при прохождении тока возможен нагрев образца, вызывающий дополнительное изменение электросопротивления за счет температурной составляющей, то были проведены измерения температуры образца во время длительного пребывания его под током. Оказалось, что температура повышалась в продолжение 10—15 мин на 0,1°, оставаясь затем постоянной во все время пребывания образца под током. Следовательно, устанавливался стационарный режим теплообмена между внутренними частями образца и поверхностью. Критерием стационарности процесса может служить устойчивость баланса мостовой схемы, которая отсутствует при нестационарном режиме (показания гальванометра измерительной схемы сползают с нулевой отметки). Замеры производились только после стабилизации схемы при устойчивых нулевых показаниях гальванометра. Во время измерений тщательно контролировалась температура (до 0,1°), затем в результаты измерений вносилась соответствующая поправка, чтобы привести все замеры к 20 °С. [c.44]

В разделе, посвященном анализу систем автоматического управления, студенты проводят структурные преобразования предложенных блок-схем, строят частотные характеристики одноконтурных и многоконтурных систем управления. При решерии задач об устойчивости линейных систем используют критерии Михайлова, Найквиста, метод /Хразбиений, а для нелинейных систем — частотный критерий В.М. Попова, метод Лурье и метод оценок. В этом же разделе с помощью интегрального критерия студенты исследуют качество переходного процесса и проводят синтез линейных стационарных систем управления. [c.60]

Стационарное хаотическое движение. Нужно подчеркнуть, что условие пересечения сепаратрис (7.3.38) является локальным критерием стохастичности и применимо только вблизи невозмущенной сепаратрисы. Поэтому такой критерий ничего не говорит о появлении странного аттрактора, который представляет стационарное хаотическое движение в большой области фазового пространства. Уравнение Дюффинга без диссипации (б = 0) является гамильтоновым и всегда имеет хаотические решения вблизи сепаратрисы. Мы знаем, что хаотическое движение в этом случае происходит в узком слое и ограничено инвариантными кривыми. Однако при б>0 все инвариантные кривые разрушаются и траектория, хаотическая вблизи сепаратрисы, может уйти далеко от нее и захватиться устойчивым фокусом или предельным циклом. Такое поведение наблюдал Холмс [195] при аналоговом моделировании уравнения Дюффинга ). Поэтому единственное, что можно ожидать при выполнении условия пересечения сепаратрис (7.3.38), — это нерегулярное блуждание траектории в течение некоторого времени, пока она не попадет на какой-либо аттрактор, простой или странный. [c.463]

Перенормировка и критерий удвоения периода. Две идеи ифа-ют важную роль в понимании явления удвоения периода первая — понятие бифуркации решений, вторая — идея перенормировки. Наглядное представление о том, что такое бифуркащ1я, дает рис. S.10. Термин бифуркация используется для обозначения внезапного качественного изменения поведения системы при изменении некоторого параметра. Например, на рис. S.12 стационарное периодическое решение Xq становится неустойчивым при некотором значении параметра , и амплитуда начинает осциллировать между двумя значениями х и j f, совершая полный цикл за вдвое большее время, чем до потери устойчивости. При дальнейшем изменении параметра амплитуды х и х также теряют устойчивость, и решение претерпевает ветвление, переходя в новый цикл периода 4. В случае квадратичного отображения (S.3.1) также бифуркации решения продолжаются неограниченно при возрастании (или убывании) X." Однако критические значения параметра стремятся к точке накопления, т. е. Jim IXJ = I <00, при переходе через которую система допускает хаотическое непериодическое решение. Таким обра- [c.173]

В условии (8.1) индекс I относится к произвольной точке внутри установки, индекс стац - к стационарному состоянию, символ < п означает, что вылолнение критерия (8.1) необходимо для устойчивости процесса. [c.182]

Интересно отметить, что при рассмотрении гидродинамической устойчивости получается противоположный результат. В гидродинаг мике нестационарный критерий является более жестким по сравнен со стационарным, и, следовательно, в новой гидродинамике, нельзя строго сформулировать условия гидродинамической устойчивости о раясь только на простую функцию стац стац [c.188]

Следует подчеркнуть, что критерий (9.2) является необходимым и достаточным для системы, изображенной на фиг. 9.1, только потому, что эта система весьма идеализирована. Для менее идеализирован ных гищ>одинамических систем критерий (9.2) является необходимым, но недостаточным, так как он не гарантирует так называемую "не стационарную устойчивость".) Критерий (9.2) является определяющим при анализе устойчивости в задаче 1. Он гласит, что для оценки гидро динамической устойчивости системы, приведенной на фиг. 9.1, неза висимо от способа задания / рдсд и сопр (аналитического или гра фического), требуется просто определить производные этих функций по 1Г и затем, используя критерий (9.2), сравнить их относительные значения. [c.208]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...