Критерий удвоения периода

КРИТЕРИЙ УДВОЕНИЯ ПЕРИОДА [c.171]

Сведение динамических моделей к одномерным отображениям. В гл. 1 мы убедились, что простые одномерные отображения или разностные уравнения вида х = / х ) могут содержать бифуркации удвоения периода и хаос, если функция /(дг) имеет хотя бы один максимум (или минимум), как показано на рис. 1.19. Явления удвоения периода наблюдались во многих разнообразных сложных физических системах (жидкостях, лазерах, электронных р-п- переходах) и часто динамика этих систем хорошо описывается одномерными отображениями. Такая возможность особенно характерна для систем с существенным затуханием. Чтобы проверить эту возможность, следует сделать выборку какой-либо динамической переменной с помощью сечения Пуанкаре, обсуждавшегося выше, скажем дг = х 1 = / ). Затем можно построить зависимость каждого Лд от последующего значения х Чтобы можно было объявить систему хаотической, необходимо выполнение двух критериев. Во-первых, точки на графике с отложенными по осям величинами п + 1 и дг должны группироваться, создавая некую функциональную зависимость во-вторых, эта функция /(х) должна быть немонотонной, т. е. иметь максимум или минимум. Если эти требования выполнены, то следует подобрать полиномиальную аппрокси- [c.63]

Поиск теоретических критериев для определения того, при каком наборе условий данная динамическая система войдет в хаотический режим, до сих пор велись лишь в каждом конкретном случае отдельно. Это означает, что теоретики в основном придерживались следующей стратегии они находили критерии для конкретных математических моделей и затем, используя эти модели в качестве аналогов или парадигм, пытались сделать какие-то выводы относительно того когда более общие или более сложные физические системы становятся непредсказуемыми. Примером такого рода может служить последовательность бифуркаций удвоения периода. [c.170]

Импульсный метод (критерий 7) представляет собой в принципе переключение с удвоением защитного тока /2=2/1 по формулам (3.17) и (3.18). При наличии блуждающих токов соответствующий ток защиты в периоды меньших колебаний потенциала кратковременно (в течение нескольких секунд) удваивается. Кратковременное увеличение тока не вызывает существенного изменения потенциала поляризации [Ю]- Истинный потенциал может быть получен согласно выражениям (3. 3) и (3.15) [c.106]

В разд. 5.3 мы дадим обзор основных прогностических моделей, позволяющих предсказывать возникновение хаоса. К их числу относится критерий удвоения периода, критерий существования гомо-клииической траектории и критерий Чирикова перекрытия резонансов для консервативного хаоса, а также критерии перемежаемости я переходного хаоса. Кроме того, мы перечислим несколько частных критериев, которые были разработаны для определенных классов задач. [c.161]

Перенормировка и критерий удвоения периода. Две идеи ифа-ют важную роль в понимании явления удвоения периода первая — понятие бифуркации решений, вторая — идея перенормировки. Наглядное представление о том, что такое бифуркащ1я, дает рис. S.10. Термин бифуркация используется для обозначения внезапного качественного изменения поведения системы при изменении некоторого параметра. Например, на рис. S.12 стационарное периодическое решение Xq становится неустойчивым при некотором значении параметра , и амплитуда начинает осциллировать между двумя значениями х и j f, совершая полный цикл за вдвое большее время, чем до потери устойчивости. При дальнейшем изменении параметра амплитуды х и х также теряют устойчивость, и решение претерпевает ветвление, переходя в новый цикл периода 4. В случае квадратичного отображения (S.3.1) также бифуркации решения продолжаются неограниченно при возрастании (или убывании) X." Однако критические значения параметра стремятся к точке накопления, т. е. Jim IXJ = I <00, при переходе через которую система допускает хаотическое непериодическое решение. Таким обра- [c.173]

Мы уже видели, что хаотическое движение может возникать в диссипативных потоках с размерностью фазового пространства не меньше трех, или в соответствующих этим потокам обратимых отображениях Пуанкаре, размерность которых не менее двух. В общем случае хаотическое движение имеет место лишь для узких интервалов параметров. В этом существенное отличие от гамильтоновых систем, где хаотическое движение сохраняется, как правило, в широком диапазоне параметров. Ниже описаны два критерия локальной стохастичности для диссипативных систем. В п. 7.3а метод квадратичной ренормализации применяется к двумерным обратимым отображениям и показывается сходимость последовательности бифуркаций удвоения периода и возникновение локального хаотического движения. В п. 7.36 получен критерий перехода к хаотическому движению вблизи сепаратрисы на примере вынужденных колебаний осциллятора с затуханием. Наконец, в п. 7.3в pa ютpeнa модель ускорения Ферми с диссипацией и используется описание хаотического движения с помощью уравнения ФПК. Это уравнение позволяет получить первое приближение для инвариантного распределения на странном аттракторе. [c.453]

Спарроу [178] в своей книге об аттракторе Лоренца анализирует систему (5.2.3) при значениях параметров о = 10, Ь = 8/3, г > 14 Однако он строит умозрительные заключения о диапазонах значений параметров, в которых могли существовать устойчивые хаотические движения (рис. 5.2). На рис. 5.4 область, заштрихованная вертикальными линиями, соответствует устойчивому хаотическому движению, а ниже ее располагается предтурбулентная область, в которой могут существовать переходные хаотические движения Эта область ограничена снизу кривой, вычисляемой на основе критерия, использующего существование гомоклинических траекторий (см. следующий раздел). Над хаотической областью располагается область удвоений периода. [c.166]

В табл. 1 (см. приложение IV) перечислены наиболее интересные кристаллы, отобранные с учетом приведенных критериев. Для каждого кристалла указаны наиболее распространенное название, сокращенное обозначение, химическая формула, рекомендуемые отражения кЫ) и их удвоенное межплоскостное расстояние 2(1. Там, где это возможно, отмечены механические свойства и стабильность кристалла, а также его доступность (в основном поданным работ [10, 14]). У ряда кристаллов наличие единственного большого периода решетки сочетается со слабыми межмолекулярными силами связи в этом направлении, что облегчает изготовление и практическое применение таких кристаллов. Так, кристаллы слюды и бифталатов обладают совершенной спайностью по рабочим отражающим плоскостям, что позволяет получать путем раскалывания пластины больших размеров с ненарушенной поверхностью толщиной до 0,2—0,3 мм и даже до 0,05 мм. Тонкие пластины могут быть упруго изогнуты на относительно крутые радиусы, обеспечивая большую светосилу фокусирующей рентгеновской оптики. Для стабильной работы кристаллов рекомендуется их упругий изгиб с соотношением радиуса к толщине кристалла не менее 10 . [c.309]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...