Устойчивость стационарного движения системы

Гробов В. А., Кантемир, И. И., Об устойчивости стационарных движений системы тел с двойным вращением в ньютоновском поле тяготения, в сб. Механика твердого тела (Республиканский межведомственный сборник), вып. 6, [c.202]

Устойчивость стационарных движений можно определить известным методом возмущений, заключающимся в составлении уравнений для малых вариаций вокруг найденных стационарных значений и = а1, v = b , соответствующих равновесию вспомогательной системы, описываемой укороченными уравнениями. [c.73]

Это необходимые и достаточные условия существования стационарного движения. Они, очевидно, эквивалентны условиям (5) и получаются из последних исключением величин Pi (i=l, т). Применяя теорему Лагранжа к положению равновесия qi=qi приведенной системы, получаем критерий устойчивости стационарного движения в следующей форме. [c.289]

Так как наличие гироскопических сил не нарушает закона сохранения полной энергии, то для приведенной системы существует интеграл Е = Щ И. Если теперь в п. 225 заменить Е на Е и повторить рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы Лагранжа, то придем к следующей теореме Рауса об устойчивости стационарных движений голономной консервативной системы с циклическими координатами. [c.497]

Заметим, наконец, что были построены амплитудно-частотные и нагрузочные кривые системы на основании обработки соответствующих осциллограмм определены области характеристик источника энергии, соответствующие устойчивым стационарным движениям исследованы свойства почти периодических колебаний в зависимости от крутизны характеристики источника энергии. Для краткости эти результаты здесь не излагаются. Отметим лишь то, что результаты моделирования достаточно хорошо согласуются с теоретическими, приведенными в работе [4]. [c.33]

О частотных методах исследования устойчивости. Как вытекает из изложенного в п. 3 гл. I, а также в т. I и в предыдущих пунктах настоящей главы, исследование устойчивости нелинейных колебаний во многих случаях сводится к изучению характера решений системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Так обстоит дело, в частности, при рассмотрении вопроса об устойчивости стационарных движений автономных систем. [c.103]

Задача минимума [13, 19]. На основе известных теорем об устойчивости стационарных движений твердого тела с жидкостью [13, 25] задача об устойчивости невозмущенного движения, определяемого уравнениями (24), (25), приводится к задаче минимума измененной потенциальной энергии W системы, для решения которой разработаны эффективные методы [13, 18, 19). [c.301]

Механическое равновесие в задаче о стационарных движениях определяется независимо от определения токов, которые входят в (41) просто как параметры. Но при исследовании устойчивости следует учитывать, что при движении системы токи и координаты должны определяться совместно (так как рассматриваем не устойчивость равновесия под действием сил, зависящих от параметров, а устойчивость стационарного движения). Тем не менее оказывается, что для устойчивости такого движения необходимо и достаточно, чтобы было устойчиво механическое равновесие при не-варьируемых токах, т. е. токи можно считать параметрами и при исследовании устойчивости (доказательство см. в работе [17]). Этот вывод упрощает исследование устойчивости и позволяет судить о ней по изменению решений при изменении токов. [c.340]

В механике известна аналогичная теорема об устойчивости стационарных движений систем с циклическими координатами (теорема Рауса). В электромеханике она относится к системам со сверхпроводящими контурами (все R, = 0). Для систем [c.340]

Замечание об устойчивости стационарных движений. Стационарными движениями механической системы называют такие движения, при которых все позиционные координаты и циклические скорости сохраняют постоянные значения, равные начальным. Постоянные значения циклических скоростей здесь могут быть выбраны произвольно, позиционные же координаты будут определяться условиями [c.557]

Замечания. 1°. Применение роторов (маховиков, гироскопов) существенно расширяет семейство возможных стационарных движений системы и область их устойчивости, а также позволяет в некоторой степени скомпенсировать дестабилизирующее влияние упругих элементов. Данные свойства роторов широко используются при проектировании конкретных систем, в частности, систем управления ориентацией космических аппаратов и искусственных спутников. [c.178]

Предварительные замечания. Теория, изложенная в первых двух параграфах, согласно которой критическим (экстремальным) значениям одного из интегралов системы при фиксированных значениях постоянных других интегралов отвечают (устойчивые) действительные движения системы (которые называются стационарными), применима к любым динамическим системам, в том числе к неголономным. При этом предполагается, что уравнения движения могут быть представлены в виде (1), а первые интегралы имеют вид (2). [c.436]

Замечание 6.2. Применение теоремы 6.2 для исследования устойчивости стационарных движений (91) системы (88) связано с исследованием собственных значений матрицы (94) и требует лишь знания функции Ж (г, р) и матрицы [c.456]

Стационарные движения голономных и неголономных систем образуют в фазовом пространстве и пространстве конфигураций многообразия некоторых размерностей, и поэтому при исследовании устойчивости стационарных движений имеет место ситуация, аналогичная описанной выше для состояний равновесия неголономной системы. [c.296]

Пересечение поверхности (3.29) с поверхностью (3.25) стационарных движений определяет на поверхности (3.25) границу области устойчивости, которая показана, на рис. 5.23. Смысл асимптотической устойчивости состоит в том, что при возмущении асимптотически устойчивого стационарного движения в системе возникает переходной режим затухающих колебаний (или экспоненциально затухающий процесс), в результате которого устанавливается стационарное движение, отличное, вообще говоря, от первоначального. Так, например, при возмущении прямолинейного качения диска установится в общем случае такое стационарное движение, при котором точка соприкосновения диска с горизонтальной плоскостью будет двигаться по окружности некоторого радиуса R оо. [c.308]

Влияние поперечной упругости стойки на шимми переднего колеса трехколесного шасси самолета. Изучение влияния поперечной упругости стойки на устойчивость стационарного движения требует рассмотрения полной системы уравнений (3.9), (3.10). [c.385]

Простые аттракторы. Так как фазовый объем в диссипативных системах сжимается до нуля, то устойчивое стационарное движение [c.413]

Мы надеемся, что представленная в данной статье общая теория устойчивости стационарных движений динамической системы с группой симметрии будет полезна при дальнейшем исследовании вихревых систем и притом не только точечных, но и континуальных. [c.271]

Теорема Рауса. Если в стационарном движении потенциальная энергия = П — приведенной системы имеет минимум, то это движение устойчиво относительно позиционных координат qj и скоростей Vj, по крайней мере для возмущений, не нарушающих значения циклических ин тегралов (3.11). [c.87]

Стационарные движения консервативной системы с циклическими координатами и их устойчивость. Пусть в голономной системе с п степенями свободы обобщенные координаты (о = /с + 1,. .., п) являются циклическими. Остальные обобщенные координаты qi (г = 1, 2,. .., к) называются (при наличии циклических координат) позиционными. Потенциальная энергия П и коэффициенты aik кинетической энергии [c.494]

Теорема. Если в стационарном движении потенциальная энергия n (gi,. .. 5 Qk ao) приведенной системы имеет строгий локальный минимум, то это движение устойчиво по отношению к переменным qi qi (i = 1, 2,. .., к). [c.497]

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНОГО ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ С ЦИКЛИЧЕСКИМИ КООРДИНАТАМИ — ТЕОРЕМА РАУСА Циклическими координатами называются координаты, не входящие явно в функцию Лагранжа Ь. Стационарным движением системы с циклическими координатами называется движение, в котором нециклические координаты и циклические скорости сохраняют постоянные значения. Для такого движения Э. Раус построил энергетический критерий устойчивости, аналогичный критерию Лагранжа — Дирихле для равновесного состояния консервативной системы. Этот критерий можно получить как простое следствие теорем об устойчивости Ляпунова. [c.419]

Равновесное состояние (10.45) устойчиво, если функция (10.46) — знакоопределенная функция координат Цу, д2,..., ду,..., д - Равновесному состоянию (10.45) системы (Д) соответствует стационарное движение системы (Ь). Мы приходим таким образом к теореме Рауса об устойчивости стационарного движения системы с циклическими координатами. Сам Э. Раус формулировал теорему следующим образом. [c.421]

Устойчивость движения, вьфажающаяся в том, что при достаточно малом начальном возмущении точка движется по траектории, сколь угодно близкой к невозмущенной, называется орбитальной устойчивостью. В рассматриваемой задаче требуется, таким образом, найти условия орбитальной устойчивости невозмущенного движения. Для нахождения этих условий воспользуемся теоремой Рауса об устойчивости стационарного движения системы с циклическими координатами. [c.421]

Необходимо отметить, что устойчивость стационарного движения может быть осуществлена и при отсутствии минимума потенциальной энергии (за счет гироскопических сил). Поэтому распространить теоремы Ляпунова и Четае-ва об обратимости теоремы Лагранжа на стационарное движение нельзя. Однако для гироскопически несвязанной системы справедлива следующая теорема, являющаяся перефразировкой теоремы Четаева об обратимости теоремы Лагранжа. [c.88]

Скорость устойчивого стационарного вращения системы с жестко установленным маховиком может быть как угодно велика при росте /с, а у системы с подпружиненным маховиком она всегда ограничена величинами или (aji причем o)i < и для / + + А — J — В 0 и < 11> I MlI для I + А — J — В < О-l il = I / только для 1- -А — J — В = 0, где точка i (или. (О ) соответствует dk/d = О (см. рис. 2). Таким образом, наличие упругого крепления маховика сужает область устойчивости стационарного дрижения (по сравнению со случаем жесткого крепления). Этот факт является отражением общей закономерности упругие аффекты действуют дестабилизирующим образом на стационарные движения. [c.29]

Задачи об устойчивости состояний равновесия занимают одно из центральных мест в теории устойчивости механических систем. К этому классу принадлежит большинство задач об устойчивости элементов конструкций и машин, загруженных квазистатическими силами. Кроме того, многие задачи устойчивости движения также приводятся к задачам об устойчивости состояний равновесии. Так, стационарное движение системы при силах, не зависящих от времени, может быть представлено в виде некоторого относительного равновесия. В других случаях нестационарностью невозмущенного движения допустимо пренебречь. Например, рассматривая устойчивость прямолинейной формы упругих стержней, нагруженных продольньпаи силами -периодическими функциями времени, обычно пренебрегают продольными колебаниями от действия этих сил [3]. Задача об устойчивости движения в результате сводится к родственной задаче об устойчивости равновесия. [c.473]

Построение эффективного потенциала. Согласно теории, изложенной в предыдущем параграфе, исследование условий существования и устойчивости стационарных движений неоднородного динамически симметричного шара на абсолютно шероховатой плоскости сводится к исследованию эффективного потенциала данной системы. Для его построения мы должны найти минимум выражения (29) по переменным со на фиксированных уровнях интегралов Желле (26) и Чаплыгина (27). [c.438]

Влияние диссипативных сил на устойчивость движения изучал также Г. К. Пожарицкий (1957, 1961). Рассматривая стационарное движение системы с циклическими координатами, находящейся под действием сил с полной диссипацией и постоянных сил, уравновешивающих диссипативные силы на стационарном режиме, переносом результатов Четаева он установил, что стационарное движение будет асимптотически устойчиво по отношению ко всем скоростям и нециклическим координатам, если вторая вариация полной энергии является определенно-положительной функцией, и неустойчиво, если она может принимать отрицательные значения (1957) Пожарицкий изучал также устойчивость систем с частичной диссипацией (1961). Им установлено условие асимптотической устойчивости, состоящее в определенной положительности второй вариации [c.38]

Уменьшение действия удара. Система механизмов, находящаяся в некотором состоянии устойчивого стационарного движения, может подвергаться действию резких толчков, влияние которых бывает важно умспьш1пъ, насколько это возможно. Рассмотрим кратко, какие средства мы и.меем, чтобы ослабить влияние ударного и.утульса. [c.280]

Лорд Кельвин (1878), отчасти в связи с его вихревой теорией атома, поставил вопрос об устойчивости стационарного вращения системы п одинаковых точечных вихрей, помещенных в вершинах правильного п-угольника. Благодаря работам Дж. Дж. Томсона и Т. X. Хавелока, вопрос был полностью рассмотрен в линейной постановке. Однако известные результаты по нелинейной устойчивости неполны (а частично ошибочны). В данной работе, на основе полного анализа нелинейных уравнений Кирхгофа показано, что устойчивость имеет место лишь при п < 7, а при п 8 рассматриваемый режим неустойчив. При этом в случае п < 6 линейный анализ оказывается достаточным для заключения о нелинейной устойчивости, а при п = 7 необходимо привлекать к рассмотрению и нелинейные члены. В работе изложена также общая теория стационарных движений динамической системы с группой симметрии, которая будет полезна и при исследовании других задач. [c.239]

Стационарные движения консервативной системы с циклическими координатами и их устойчивость. Пусть в rojiOEiOMnoii системе с п степенями споСоды обобщенные координаты (а = = к + I,. .п) являются циклическими. Остальные обобщенные координаты Qi (г=1, 2,. .., к) аазываютсл (при наличии циклических координат) позиционными. Потенциальная энергия И и i o-эффициенты а,л кинетической энергии [c.351]

Теорема. Если потенциальная энергия W приведенной системы имеет минимум как при данных pj j, отвечающих рассматриваемому стационарному движению, так и при всяких достаточно близких к данным значениях pj = = j + г] , где г) малы, по модулю, причем значения переменных qii, обраи ающие ее в минимум, суть непрерывные функции величин pj, то стационарное движение устойчиво относительно и [c.88]

Рассмотрим вопрос об устойчивости равновесного положения оси враш,ающегося ротора (р = 0), сделав предварительно одно тривиал1.ное, но вместе с тем важное замечание координаты и их скорости долна1ы быть определены для каждого состояния системы. При исследовании стационарного движения неуравновешенного ротора, установленного в нелинейных подшипниках (см. пример 5 4.5), удобна пользоват(,ся полярными координатами. Но в положении равновесия радиус р центра масс С ротора и его скорость р равны нулю (р = О, р - 0), а полярный угол ф и угловая скорость ф не имеют смысла. Кроме того, в полярных координатах уравнения двия ения оси ротора (они являются одновременно и уравнениями возмущенного движения около полои ения равновесия) имеют вид [c.96]

Пусть для каких-либо значений постоянных Са = с о система уравнений (25) имеет решение qi = = onst. Тогда в стационарном дви-жении Qi = qio, Qi = 0 (г = 1, 2,. .., f ), q, = с о (a = A + 1,. .. n). Допустим, что в начальный момент времени t = величины qi мало отличаются от их значений, отвечающих стационарному движению. Будут ли тогда величины qi — qio qi г = 1, 2,. .., к) оставаться малыми для всех t to Иными словами, будет ли рассматриваемое стационарное движение устойчиво по отношению к переменным qi, qi г = 1, 2,. .., к)1 Ответ на этот вопрос можно получить, используя теорему Лагранжа. [c.497]

Стационарные колебательные режимы в системе с ограниченным возбуждением могут быть реализованы только при средних угловых скоростях двигателя, удовлетворяющих уравнению частот (4.106). Устойчивость стационарных режимов определяется характеристиками источника и потребителя энергии и параметрами колебательного процесса в системе. Особенно существенное влияние на характер стационарных реншмов рассматриваемой системы динамические сопротивления вращательному движению могут оказать в резонансной зоне малом диапазоне частот [c.96]

В случае а или б при любом отклонении режима от установившегося с угловой скоростью и>ср влево или вправо создается избыток или недостаток момента, благодаря чему опять росстанавливается существовавший до этого режим. В случае в при тех же отклонениях создается рассогласование моментов, вследствие чего система будет все больше отклоняться от устойчивого режима движения. Здесь мы рассматриваем устойчивый режим (случаи а и б), т. е. предполагаем, что система колеблется относительно своего стационарного состояния, определяемого величиной а>ср. [c.143]

А как известно из теории колебаний ... в диссипативной системе единственным о стационарным состоянием является состояние равновесия. Периодические движения в диссипативных системах, очевидно, невозможны, так как энергия системы при движении убывает, [120, с. 119]. Это подтверждает как единственность определения стационарного состояния при помощи функции ец, так и отсутствие колебательных форм движения. Аналогичное подтверждение справедливости использования принятого в [61] и данной книге энергетического метода определения устойчивых стационарных форм движения можно найти в [ 121, с. 103 122, с. 97]. Все сказанное дословно распространяется на вращающиеся цилиндрические потоки как с тангенциальным, так и с вихревым полем скоростей [(4.24) (4.29) и др.]. На этом основании автор не может согласиться с мнением М. А. Гольдштика о том, что Ф. Т. Ка-меньщиковым использована "специально сконструированная функция Ляпунова . Она при заданных связях единствтна. [c.165]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...