Отображение квадратичное

Замечательно, что не только значения б и а, но и предельный вид самого бесконечно кратно итерированного отображения оказываются в определенном смысле независящими от вида начального отображения j /+i = f (j , >-) достаточно, чтобы зависящая от одного параметра функция /(х I) была гладкой функцией с одним квадратичным максимумом (пусть это будет в точ- [c.175]

В силу предположенных свойств допустимых функций /(х), функция g x) должна быть гладкой и иметь квадратичный экстремум в точке л = 0 никакого другого следа от конкретного вида f(x) в уравнении (32,13) или в налагаемых на его решение условиях не остается. Подчеркнем, что после произведенных при выводе масштабных преобразований (с сст > 1) решение уран-нения определяется при всех значениях фигурирующей в нем переменной х от —оо до +оо (а не только на интервале —1 s 1). Функция g(x) автоматически является четной по х она должна быть такой, поскольку среди допустимых функций f(x) имеются четные, а четное отображение заведомо остается четным после любого числа итераций. [c.176]

Вычислить якобиан отображения (х, y) ->- Li, L ) в точке (1,4) для квадратичного треугольного элемента (рис. 71, а). [c.227]

Качественные зависимости Я от ц при ц для квадратичного отображения без шума (сплошная линия) и при наличии малого шума (штриховая линия) приведены на рис. 8.12. [c.241]

Результаты численного расчета зависимости Я, от ц в широком диапазоне изменения (х, проведенного для квадратичного отображения Хп+1 — 2хп у +Хп) по формуле [c.242]

При м- < Цоо система уравнений (4.19) не имеет положительных ляпуновских показателей, а при ц = ц такой показатель появляется. Зависимость максимального отличного от нуля ляпуновского показателя % от параметра (X не является монотонной (рис. 9.43) [618]. По своему характеру она очень напоминает аналогичную зависимость для одномерного квадратичного отображения (ср. с рис. 8.14). [c.303]

Для определения следующих значений параметра а проведем отображение (4.23) дважды. Нетрудно видеть [240], что с точностью до квадратичных членов по а получающемуся отображению а5 2 = /( п) можно придать вид (4.23), если провести масштабное преобразование [c.314]

Пр И мер 1.2. Производная отображения i R R, задаваемого квадратичной функцией [c.188]

Пример 1.3. Производная отображения, задаваемого суперпозицией квадратичной функции (1.13) с линейной (1.12), имеет матричное представление [c.188]

Пример 2.1. Отображение, задаваемое квадратичной функци-ей(1.13), дважды дифференцируемо, при этом хх -о- С + С. [c.190]

Рассмотрим естественное отображение ТМ Т М, порожденное римановой метрикой д,д) —> д,р), где р — дТ/дд. Очевидно, что р — линейная форма на ТдМ. Квадратичная форма Т положительно определена, поэтому линейное отображение д р — изоморфизм линейных пространств ТдМ н Т Ы. [c.23]

Сценарий Фейгенбаума (1978— 79) появление странного аттрактора в результате бесконечной последовательности бифуркаций удвоения периода. Рассмотрим такие бифуркации сначала на примере одномерного необратимого (однозначного и непрерывного) отображения л п+1 = П хп, 1) отрезка О л 1 в себя, причем этом отрезке один квадратичный [c.132]

Сохраняя у П(х) только квадратичную часть, отображение можно, не теряя общности, привести к логистическому уравнению [c.132]

Имеются также замечательные примеры одномерных отображений, не являющихся растягивающими. Вот один из этих примеров, с которым мы будем многократно сталкиваться как в упражнениях, так и в основном тексте этой книги. Для Л 6R положим Д R-+R, Д(ж) = Лж(1 -ж). Для 0 Л 4 функции Д отображают единичный интервал / = [0, 1] в себя. Семейство Д, А 6 [0,4], обычно называют квадратичным семейством. Это наиболее популярная модель в одномерной динамике, как вещественной, так и комплексной (в последнем случае отображения естественно продолжаются на С) [ ]. [c.56]

Рассмотрим семейство квадратичных отображений /д (х) = Ах(1 — х), 0< А <4, отрезка [0,1], определенное в конце 1.7. Докажите, что выполнены следующие утверждения. [c.76]

Докажите, что отображение д из предыдущего упражнения топологически сопряжено с квадратичным отображением Д а 4i(l - х). [c.91]

Рис. 2.5.1. Квадратичное отображение и его вторая итерация

Докажите, что для Л > 1 каждая ограниченная орбита квадратичного отображения /д находится в отрезке [О, 1]. [c.99]

Пример. Отображение Д [0,1] —> [0,1], х 4а (1 — х) из квадратичного семейства проектируется в отображение / окружности 5 степени нуль. С другой стороны (см. упражнение 1.7.2), индуктивно строя график функции Д и вычисляя число точек его пересечения с диагональю, легко проверить, что Р /)=2". [c.318]

Можно попытаться найти биллиарды, которые порождают отображения, обладающие вторым интегралом движения, выбирая другую квадратичную функцию координат 2 и А, например / = г — А , строя векторное поле осей симметрии, соответствующее этой функции (на самом деле существуют два таких векторных поля) и рассматривая интегральные кривые такого поля как границы биллиардов. Можно показать, что одно из векторных полей, определяемых функцией I, порождает биллиард с замкнутыми софокусными эллиптическими орбитами, а второе — с софокусными гиперболами (см. упражнения 9.2.8 и 9.2.9). [c.351]

В просто малоразмерной ситуации могут наблюдаться явления, характерные для общих динамических систем, например экспоненциальный рост числа периодических точек, положительность топологической энтропии (определение 3.1.3), нетривиальные гиперболические множества (определение 6.4.2) и присутствие большого количества инвариантных мер. Гладкие примеры из нашей второй группы, т. е. растягивающие отображения из 1.7, квадратичные отображения и двумерные подковы из 2.5 и гиперболические автоморфизмы двумерного тора ( 1.8) — представители этой категории. Имеются, однако, два различия между системами малых размерностей и ситуацией в динамике в целом. В первом случае некоторые сложные динамические явления появляются в упрощенной форме сравните, например, конструкцию марковского разбиения на параллелограммы для гиперболического автоморфизма двумерного тора, описанную в 2.5, с об- [c.388]

В следующей главе будет приведено условие на С -отображения, обобщающее ситуацию с квадратичным семейством, наличие которого гарантирует, что каждая компонента множества S является точкой (следствие 16.1.2). [c.494]

Отображения а h-i- Ла (1 — а ) из квадратичного семейства представляют собой полезные стандартные примеры унимодальных отображений. Очевидным образом, а о г = г о f. Заметим также, что односторонние пределы [c.515]

Следствие 16.4.3. Квадратичные отображения / [0,1]->[О, 1], жь- Ла (1 — ж), Л 6 [1,4], образуют полное семейство. [c.531]

Рис. 46. Симметрия. На многообразии положений классической натуральной вястемы (изображен случай двух степеней свободы, например точка на поверхности) действует семейство отображений Pi— P (возьмем, как принято, группу, хотя это и не обязательно), обладающее тем свойством, что в любой сопутствующей , увлекаемой системе координат 5i, j выражение лагранжиана получается одним н тем же. Тогда имеет место интеграл движения, представимый в виде скалярного произведения (в метрике многообразия положений, задаваемой квадратичной по скоростям частью лагранжиана) вектора скорости с порождающим группу векторным полем и. Особенно просто отображения симметрии выглядят в системе координат q, Q2, из которых одна — циклическая тогда соответствующие координатные линии являются интегральными для порождающего поля, а отображения представляются сдвигами вдоль этих линий. Таким образом, понятие симметрии есть инвариантная (не зависящая от выбора координат) переформулировка наличия циклической координаты. Исключение этой координаты из рассмотрения по Раусу (переход к правой части рисунка) на инвариантном языке начинается с факторизации — перехода к новому многообразию меньшей размерности, каждой точке которого отвечает целая траектория группы симметрий многообразия положений

Существуют различные методы построения криволинейных элементов. На практике наибольшее распространение получил способ отображения первоначально регулярных (прямосторонних) элементов при помощи невырожденного преобразования из локальной (ествст-венкой) системы координат в глобальную. При построении модели прокатки для обеспечения квадратичной аппроксимации скорости и линейной гидростатического давления использовались криволинейные лагранжевы элементы с девятью узлами. Квадратичные функции формы для них в естественной системе координат I, Т1 могут быть получены перемножением соответствующих одномерных функций формы [c.289]

В режиме модуляции добротности лазерный передатчик генерировал импульсы длительностью приблизительно 250 не, поэтому усилитель 8 имел ширину полосы пропускания 3,5 МГц. Усиленный импульс через схему стробирования 10 поступал на расширитель импульсов 11, на выходе которого формировался импульс длительностью 0,25... 1,5 МКС с амплитудой, равной амплитуде входного импульса. Это было необходимо для согласования длительности импульса с постоянной времени люминофора экрана видеоконтроль-ного устройства. Далее сигнал вводился в усилитель 12, коэффициент усиления которого увеличивался со временем по квадратичному закону. Это позволяло выровнять яркости близко и далеко расположенных объектов при их отображении на экране видеоконт-рольного устройства. В самом деле, амплитуда импульсов на выходе фотодетектора 7 пропорцио- [c.255]

Если отображение вблизи максимума не квадратично, то внешний шум может стабилизировать движение в системе и уменьшить лшгуновский показатель, Например, в [575] показано, что для отображения вида [c.242]

При этом 5о((й) в интервале от О до 2л/Т считается константой (белый шум). Формула (4.13) хорошо согласуется с непосредственными численными расчетами спектральной плотности для квадратичного отображения, выполненными в [680]. Результаты сравнения приведены на рис. 8.16, где кривые 1 соответствуют численным данным, а 2 — тёории без учета дискретных составляющих спектра (кривые 2 для удобства смещены вниз). [c.245]

Ряд Маклорена интеграла (1.17) начинается с невырожденной квадратичной формы. Конечно, уравнения Гамильтона могут допускать вырожденный интеграл. По-видимому, теорема 3 справедлива и в том случае, когда вместо непрерывно дифференцируемых интегралов вида (1.17) рассматриваются 2тг-периодические по t интегргшы, представимые в окрестности точки х = у = О сходящимися степенными рядами. Этот результат, вероятно, можно доказать методом работы [59]. Необходимо проверить, что изолированные периодические точки отображения за период возмущенной системы (1.18) составляют ключевое множество для класса функций, аналитических в окрестности начала координат. [c.318]

Результаты аналогового моделирования этой системы в проекции на плоскость (х, у) и спектральные плотности для г () при трех докритических и трех закритических значениях х (здесь Лоо 4,20) показаны на рис. 2.27 на спектрах хорошо видны прямые и обратные бифуркации удвоения пе-J риода. В сечении этой проекции по линии у==0 получается почти одномерное приблизительно квадратичное отображение Хп+1 = П(л п) на самом деле эта линия имеет толщину, так как аттрактор состоит из бесконечного множества листов канторовской структуры топологически он получается из листа, расширяющегося вдвое поперек траекторий и складывающегося вдвое по продольной оси, после чего его правый край приклеивается к левому (рис. 2.28). [c.138]

Берлинском университетах. В 1854-1866 гг. работал в Геттингенском университете (с 1857 г. — профессор). Несмотря на раннюю смерть, внес значительный вклад в мировую науку. Ввел строгое понятие определенного интеграла и доказал его существование. Создал геометрическое направление теории аналитических функций, ввел ри-мановы поверхности и разработал теорию конформных отображений. Создал (1854 г.) риманову геометрию и ввел понятие обобщенных римаяовых пространств. Аппарат теории квадратичных дифференциальных форм, разработанный Риманом, широко применяется в теории относительности. Работы по теории фигур равновесия вращающейся жидкости, по газовой динамике ( О распространении волн конечной амплитуды ), ввел понятие иивари-аитов в газовой динамике и объяснил необходимость образования ударных волн в сверхзвуковых потоках. [c.79]

Метод кодирования, который мы впервые использовали в доказательстве топологической сопряженности произвольного растягивающего отображения окружности с линейным отображением той же степени (теорема 2.4.6). Мы применяли этот метод еще три раза в полулокальной ситуации в пп. 2.5 б, 2.5 в, при построении топологического сопряжения полного 2-сдвига с квадратичным отображением и отображением подковы на их инвариантных подмножествах и, наконец, в п. 2.5 г когда мы установили наличие полусопряженности топологической цепи Маркова с автоморфизмом тора. Этот метод очень эффективен в применениях к глобальным и полулокальным гиперболическим проблемам, т. е. к случаям, когда близлежащие орбиты расходятся с экспоненциальной скоростью, как это имеет место в упомянутых примерах (см. гл. 6, особенно определения 6.4.1 и 6.4.2). Одна из главных особенностей этого метода — его непосредственный характер. В частности, он не требует рассмотрения вспомогательного пространства кандидатов в сопряжения. С другой стороны, этот метод применим только к проблеме топологической (но не гладкой) сопряженности и полусопряженности. Метод особенно эффективен в ситуации малых размерностей, где он нередко работает без предположений гиперболичности (см. 14.5, 14.6, 15.4). [c.103]

Однако мы можем также рассмотреть такое голоморфное отображение f и - С окрестности нуля, что /(0) = 0 и / (0) = 1. Линеаризованное отображение Az = Xz представляет собой поворот вокруг начала координат на угол arg Л. Если этот угол — рациональное число, кратное 2тг, то данное линейное отображение периодично, хотя обычно это не имеет места для /, например, квадратичное отображение z i-> ехр 2 nip/qz + az не периодично. Предположим, однако, что (1/2тг)аг Л не только иррационально, но также плохо аппроксимируется рациональными числами. (См. определение 2.8.1.) Этот случай называется случаем Зигеля. В такой ситуации метод Ньютона позволяет нам построить голоморфное сопряжение / с Л в определенной окрестности нуля. Поскольку всякая окружность z = onst инвариантна относительно Л, ее образ инвариантен относительно /. Таким образом, сопряжение определяется на инвариантном диске, и его существование в случае Зигеля — не просто локальный, но полулокальный факт. [c.106]

Очевидно, для растягивающих отображений все многообразие является гиперболическим отталкивающим множеством. Инвариантные множества Л квадратичных отображений, описанных в п. 2.5 б, представляют собой примеры канторовых множеств, являющихся гиперболическими отталкивающими множествами. Мы встретимся с другими примерами гиперболических отталкивающих множеств в 16.1, 16.2 и 17.8. Сейчас же вернемся к обратимым отображениям. [c.270]

Замечание. Конструкция инвариантного канторова множества для квадратичного отображения Д в п. 2.5 б — пример использования описанной выше процедуры. В этом случае в силу монотонности Д на Д и Д для С = Д , Д каждая стрелка соответствует единственной полной компоненте, а в силу гиперболичности Д на Д° и Д все компоненты S являются точками. Следовательно, множество S определено однозначно, а полусопряжение является сопряжением. [c.494]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...