Уравнения упругих волн в твердом теле

Эти уравнения имеют несомненно фундаментальный характер, они связывают пространственные изменения напряжений в напряженном теле с ускорениями его элементов и являются исходным моментом при анализе распространения упругих волн в твердых телах. Если все части тела находятся в статическом равновесии, то [c.194]

Законы распространения упругих волн в твердых телах вытекают из общих уравнений движения, полученных в гл. I. В линеаризованной форме, справедливой дня волн бесконечно малой амплитуды, эти уравнения имеют вид выражения (1.11), т. е. [c.209]

Обычно анализ мощных ударных волн в твердом теле, образование которых сопровождает интенсивные импульсные воздействия, проводится в гидродинамическом приближении. Если развиваемые давления многократно превышают предел текучести материала, то гидродинамическое приближение позволяет с хорошей точностью описывать распады разрывов, определять уравнение состояния вещества, рассчитывать начальные стадии действия взрыва и высокоскоростного удара. Но даже и в этом случае упругопластические свойства среды, как показывают эксперименты, оказывают заметное влияние на режим затухания ударных волн. По мере ослабления импульса ударной нагрузки в веществе влияние упругопластических свойств среды на динамику ее движения становится все более существенным. Поэтому мы сочли целесообразным начать изложение с основных понятий теории упругости. [c.9]

Подробное обсуждение проблемы неединственности решений уравнений теории упругости, проведенное в книге, будет несомненно полезным при постановке и численном построении решений задач о волнах в твердых телах. [c.12]

Данный метод был изложен применительно к простой материальной системе., однако оказывается, что его можно применить и к целому классу более сложных систем ). Таким путем можно вывести общие уравнения распространения упругих волн в изотропном твердом теле, взяв плотность функции Лагранжа в виде [c.134]

В плоской упруго-пластической волне величина максимального сдвига ег=етах=ег(82=ез=0) (ёг — деформация в твердом теле по нормали к фронту волны). Уравнение динамического деформирования имеет вид [c.157]

Как Показано в 2 этой главы, уравнения движения и неразрывности твердого стержня или проволоки формально эквивалентны уравнению волны конечной амплитуды в жидкости. Скорость распространения возмущения, согласно уравнению (7.21), равна с + К, и, если модуль упругости 5 = йп (1 постоянен, большие возмущения сжатия будут распространяться быстрее малых возмущений, так что любой конечный импульс сжатия по мере распространения в среде, в конце концов, образует ступенчатый фронт. В твердых телах скорости частиц даже при интенсивных возмущениях очень малы по сравнению со скоростью распространения, так что, если 5 постоянно, импульс напряжения может распространяться на значительное расстояние без изменения формы, но изменения значения этого модуля упругости 5 приводят к искажению импульсов конечной амплитуды. Для больщинства твердых тел 5 уменьшается за пределом упругости, и в стержнях из таких материалов при достаточно больших деформациях возникают не ударные волны, а пластические волны. Однако имеется несколько твердых тел, например резины и другие высокие [c.163]

В этой главе мы рассмотрим свойства упругих волн в жидкости и твердом теле для простейшего вида волнового процесса. Изложение начнем с вывода общих уравнений, которым подчиняются поля упругих волн. Особое внимание будет уделено гармоническим плоским волнам, поскольку в виде их суперпозиции можно представить волновые поля весьма общего вида. Чтобы заложить основу для исследования воли в произвольных слоистых средах, в первой главе мы подробно рассмотрим те случаи, когда удается построить точные решения волновых уравнений. [c.9]

Уравнения для упругих волн в изотропном твердом теле. Твердое тело, в отличие от жидкости, обладает сдвиговой упругостью. Вследствие этого в нем наряду с волнами сжатия возникают и сдвиговые волны. Исследование колебаний в упругих телах начнем с вывода волновых уравнений. [c.19]

В этом параграфе мы будем изучать плоские упругие волны в дискретно-слоистой среде, в состав которой входят однородные твердые слои. Уравнения упругих волн и условия на границах были получены в п. 1.3. Поскольку распространение сдвиговых волн горизонтальной поляризации в слоистом твердом теле происходит независимо от распространения волн вертикальной поляризации и формально вполне аналогично звуку в жидкости, в настоящем параграфе мы будем заниматься только случаем вертикальной поляризации. Тогда плоская монохроматическая упругая волна в однородном твердом теле может быть задана, как показано в п. 1,3, двумя скалярными функциями, i (x, z) и р(х, z) [c.89]

Совокупность формул (3.1), (3.3), (3.7) позволяет вывести линейное волновое уравнение, описывающее распространение упругих волн в изотропном твердом теле. Подставляя (3.7) в (3.1), получим [c.29]

Это обстоятельство может служить замечательной иллюстрацией интуитивной консервативности человеческого мышления. Более двух с половиной веков, от времен Ньютона до конца прошлого столетия, механика рассматривалась как прямая и единственная основа всей физики. Под словами понять или объяснить какое-либо физическое явление имели в виду построение его механической модели, причем выражение модель понималось буквально, в смысле какой-либо реальной конструкции из предметов, подчиняющихся законам классической механики. Так для объяснения распространения световых волн была придумана специальная заполняющая все пространство упругая среда — мировой эфир , — в котором световые колебания распространялись так же, как звук в твердых телах. Создатель современной электродинамики Максвелл потратил немало сил на попытки так оборудовать эту среду, чтобы она описывалась бы выведенными им уравнениями дело доходило до напоминающих часовой механизм моделей с колесами и зубчатыми передачами. Только к концу прошлого века физикам пришлось примириться с тем, что новые области физических явлений — тогда в первую очередь шла речь об электродинамике — принципиально несводимы к механике. В связи с этим место реальных механических моделей начали занимать в физике модели математические, от которых уже требовалось не конструкционное тождество с объектом, а только математически аналогичное описание — н что же, в качестве материала для построения таких моделей мы опять используем механические уравнения [c.11]

Эти свойства, разумеется, находят отражение в соответствующих обобщенных уравнениях теории упругости. Особенностью релятивистской формулировки этих уравнений является отсутствие понятия абсолютно твердого тела. Действительно, в таком теле упругие волны распространялись бы с бесконечно большой скоростью, а это противоречит принципу предельности скорости света. [c.473]

Закон Гука. Механические уравнения состояния твердого тела в линейном приближении известны как различные формы закона Гука. Простейшая форма закона Гука, широко применяемая в технических приложениях, относится к однородной деформации стержней. Для выявления многообразных видов упругих волн необходимо иметь ясное представление о линейных уравнениях состояния в общем виде. [c.400]

В предыдущем параграфе, как и в гл. VII, мы, по существу, рассматривали влияние границ на распространение объемных волн в толще среды. Выясним теперь характер возмущений и распространения этих возмущении в непосредственной близости от свободной границы изотропного твердого тела. Ведь заранее ясно, что поскольку при любых деформациях напряжение на свободной границе равно нулю, а при удалении от границы оно возрастает до некоторой величины, определяемой законом Гука (X 34), то эффективная жесткость пограничного слоя будет отличаться от таковой в объеме упругой среды, и, следовательно, будут отличаться характер упругих возмущений в этом слое и скорость распространения возмущений вблизи свободной границы. Количественную картину распространения таких поверхностных возмущений можно, очевидно, получить, исходя из общего волнового уравнения, справедливого во всем объеме упругой среды, найдя его решение для точек, прилегающих к се свободной границе. [c.229]

В части I этой монографии рассматривается распространение волн напряжения в совершенно упругих твердых телах, причем теория развивается как математическое следствие закона Гука и уравнений движения. Единственное различие между определенными телами в такой постановке вызывается различием значений их упругих постоянных и плотностей. В конце части I описаны новые экспериментальные исследования, предпринятые с целью проверки этой теории. [c.9]

В предыдущей главе были получены уравнения движения изотропной твердой среды (2.8), (2.9) и (2.20), выраженные через перемещения. Теоретически распространение волн напряжения в ограниченном изотропном твердом теле можно изучить, решая эти уравнения при определенных граничных условиях. Из рассмотрения отражения плоской упругой волны от плоскости раздела можно видеть, что при наличии нескольких свободных поверхностей задача не является столь простой и фактически, за исключением простейших случаев, точных ее решений не найдено. [c.47]

Изучение механизма диссипации энергии упругих волн в твердых телах составляет одну из интереснейших проблем механики сплошной среды. В большинстве практически важных случаев твердые тела имеют зернистую структуру, т. е. представляют собой систему, состоящую из объектов макроскопических размеров. При распространении достаточно длинных волн, в которых характерный размер возмущенной области намного больше размеров отдельных частей, составляющих твердое тело, среда может рассматриваться в среднем как однородная. Диссипация энергии усредненного движения в такой среде будет происходить на мак-роскопическом уровне , поэтому традиционные представления, основанные на молекулярном перемешивании, не могут быть в этом случае непосредственно использованы. В связи с этим изучение конкретных механических моделей различных сред представляет несомненный интерес (Л. Кнопов и Г. Макдоналд, J. Geophys. Res., 1960,65 7,2191—2197). Лишь после тщательного анализа механизма диссипации энергии станет возможной формулировка физически обоснованных уравнений движения, описывающих распространение волн в твердых телах. [c.305]

В гл. 3 и 4 мы познакомились с нелинейными явлениями в газах и жидкостях при распространении в них акустических волн конечной амплитуды. Эти явления были связаны с нелинейностью уравнений движения и состояния. Как мы уже обращали внимание в гл. 8, в теории упругости изотропного твердого тела также имеют место подобного рода нелинейности. По этой причине распространение упругих волн в твердых телах должно приводить к явлениям, аналогичным изученным в гл. 3 и 4 генерации гармоник, взаимодействию волн, нелинейному поглощению и т. д. Вместе с тем, поскольку в твердых телах могут существовать несколько типов волн (продольные, поперечные, поверхностные), нелинейные эффекты здесь более многообразны. Качественно новые нелинейные явления можно наблюдать, если от изотропных диэлектриков перейти к случаю анизотропных кристаллов, кристаллов, обладающих пьезоэффектом, и в особенности полупроводниковых и ряда магннтоупорядочен-пых кристаллов. [c.280]

Посвящена теории распространения упругих волн в образованиях слоисто го характера как в искусственных структурах, употребляемых в ультразву ковой технике, так и в природных средах - океане, атмосфере, земной коре Дан вывод различных форм волнового уравнения и их точных решений. Описа ние упругих волн в твердом теле ведется на основе матричного формализма Рассмотрено влияние движения среды на звуковое поле. Излагается методика построения асимптотических разложений волновых полей на основе эталонных уравнений и эталонных интегралов. Значтелнюе внимание уделяется физической интерпретации результатов. [c.2]

Мы видим, что линейное дифференциальное уравнение второго порядка (8.1) и нелинейные уравнения первого порядка (10.4) и (10.7) эквивалентны зная решение одного из них, можно построить решения двух других. В ряде задач именно уравнение Риккати оказьшается наиболее удобным средством построения приближенных аналитических и численных решений. В качестве примеров использования последнего в численных расчетах звуковых полей в жидкости можно указать работы [362, 446]. Матричный аналог уравнения (10.8) применяется при расчетах полей упругих волн в твердых телах с кусочно-непрерывной стратификацией параметров [154, 249]. Далеко идущим обобщением изложенного выше перехода от (8.1) к уравнению Риккати является метод погружения, сводящий решение краевых задай для волнавого уравнения к интегрированию нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Особенно эффективным этот метод оказался при исследовании статистических задач [133, 142]. 200 [c.200]

Метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) был успешно применен для решения задач механики твердого тела, в которых имеются изменяю щиеся во времени параметры. В большинстве этих приложений временные зависимости определялись при помощи преобразования Лапласа. Одним из первых примеров подобного применения метода явилось исследование переноса тепла в твердых телах. С использованием принципа соответствия была рассмотрена задача кваэистатической вязкоупругости при помош,и метода ГИУ, сформулированного для задач статической теории упругости. Этим методом также удалось рассмотреть распространение волн в твердых телах, которое по самой своей природе отличается от ранее упомянутых явлений. Исследованы как упругий, так и вязкоупругий [c.30]

Уравнение (1.50) отражает тот факт, что частица преобретает ускорение под действием равнодействующей упругих сил, приложенных к ее границам. Подставляя соотношение (1-49) в (1.50), приходим к уравнению упругих-волн в локально-изотропном твердом теле [c.20]

Уравнение упругих волн в неоднородной твердой среде значительно сложнее, чем, например, уравнение (1.11) для звука в жидкости. Фактически (1.51а) представляет собой систему трех связанных скалярных уравнений, каждое из которых по сложности близко к (1.11). Связь скалярных уравнеш1Й, как мы увидим ниже, соответствует непрерывному преобразованию волн сжатия в сдвиговые и обратно при распространении в неоднородном твердом теле. Сложность уравнения (1.51а) увеличивает ценность исследования частных случаев, когда общее уравнение упрощается. Ряд интересных примеров сред, допускающих сведеш1е уравне-Ш1Я (1.51а) к независимым скалярным волновым уравнениям, рассмотрен в работе [394]. Слоистые среды специального вида, в которых волны сжания и сдвиговые волны связаны, но какая-либо одна из них может распространяться, не возбуждая другой, исследованы в работе [120, гл. 2]. [c.21]

Уравнение (2.181а) в нестационарном случае является гиперболическим, определяющим два типа упругих волн — поперечные и продольные (см. [66, 165 31, За] задача 5.6 5) в стационарном случае (равновесие упругих тел) уравнение становится эллиптическим. Уравнение (2.1816) — уравнение теплопроводности в твердых телах. Уравнения движения анизотропных упругих тел анализировались в [66, 31]. [c.408]

Посколь в твердом теле есть сдвиговые деформации, в волновом уравнении для 5, которое может быть получено из (15.1), присутствует вихревая часть смещения, а само поле упругих волн в общем случае представляет собой поле векторное. Для такого поля в изотропном твердом теле смещение может Сыть представлено в виде сушы потенциального к вихревого полей [c.110]

Распространение упругих волн в трансверсально-изотропной среде имеет много общего со случаем изотропного твердого тела. По-прежнему можно вьщелить волны горизонтальной поляризащш, которые распространяются независимо от волн Р - SV. Это следует из уравнений (7.20), где при п = = (sin6. О, os б) имеем [c.150]

Если среда анизотропна, то процесс распространения волн может описываться гиперболическими уравнениями не второго, а более высокого (например, четвертого) порядка, которые приводятся к уравнениям второго порядка только при специальных предположениях о характере протекания волнового процесса в анизотропной среде. Такого типа задачи встречаются при исследовании распространения световых волн в кристаллах, электромагнитных волн в плазме или феррите, находящихся в магй ит-ном поле, упругих волн в анизотропных твердых телах и т. д. [c.13]

Для оценки сжимаемости веществ в широком диапазоне давлений используют уравнения, выражаютцие связь между р, V и Т. Определяют сжимаемость непосредственно по изменению объема тел под давлением, при акустических измерениях скорости распространения упругих волн в веществе, при экспериментах по ударному сжа- 1ИЮ, дяющих зависимость между р и р при максимальных полученных в эксперименте давлениях. Сжимаемость можно определить с помощью измерения линейной деформации твердого тела под гидростатическим давлением. Для изотропного тела коэффициент линейной сжимаемости [c.64]

Волновое управление для твердого тела выводят путем (Применения второго закона Ньютона к элементарному объему dxdydz [52]. Затем, подставляя вместо напряжений деформации из уравнений (2.3), получим уравнения распространения волн в упругой среде [c.14]

Блестящих результатов в самых различных отделах механики достиг гениальный ученый Николай Егорович Жуковский (1847—1921), основоположник авиационных наук экспериментальной аэродинамики, динамики самолета (устойчивость и управляемость), расчета самолета на прочность и т. д. Его работы обогатили теоретическую механику и очень многие разделы техники. Движение маятника теория волчка экспериментальное определение моментов инерции вычисление пла нетных орбит, теория кометных хвостов теория подпочвенных вод теория дифференциальных уравнений истечение жидкостей сколь жение ремня на шкивах качание морских судов на волнах океана движение полюсов Земли упругая ось турбины Лаваля ветряные мельницы механизм плоских рассевов, применяемых в мукомольном деле движение твердого тела, имеющего полости, наполненные жидкостью гидравлический таран трение между шипом и подшипником прочность велосипедного колеса колебания паровоза на рессорах строительная механика динамика автомобиля — все интересовало профессора Жуковского и находило блестящее разрешение в его работах. Колоссальная научная эрудиция, совершенство и виртуозность во владении математическими методами, умение пренебречь несущественным и выделить главное, исключительная быстрота в ре-щении конкретных задач и необычайная отзывчивость к людям, к их интересам — все это сделало Николая Егоровича тем центром, вокруг которого в течение 50 лет группировались русские инженеры. Разрешая различные теоретические вопросы механики, Жуковский являлся в то же время непревзойденным в деле применения теоретической механики к решению самых различных инженерных проблем. [c.16]

Основы теории упругости были разработаны почти одновременно Навье (1821), Коши (1822), Пуассоном (1829). Независимо друг от друга они получили по существу все основные уравнения этой теории. Особо выделялись работы Коши. В отличие от Навье и Пуассона, привлекавших гипотезу молекулярных сил, Коши, опираясь на метод, в котором используется статика твердого тела, ввел понятия деформации и нагфяжения, установил дифференциальные уравнения равновесия, граничные условия, зависимости между деформациями и перемещениями, а также соотношения между напряжениями и деформациями для изотропного тела, первоначально содержавшие две упругие постоянные. В эти же годы появились исследования М. В. Остроградского о распространении волн в упругом теле при возмущении в его малой области. На эти исследования ссылается в своих работах Пуассон, впервые (1830) доказавший существование в однородной изотропной среде двух типов волн (волны расширения и искажения). [c.5]

Если твердое тело имеет две свободные поверхности (пластина), то в нем могут существовать специфические упругие волны. Их называют волнами в пластинах или волнами Лэмба и относят к нормальным волнам, т. е. волнам, бегущим в направлении вдоль границ среды и стоячим в перпендикулярном направлении. Решение волнового уравнени.я с граничными условиями на двух поверхностях приводит к си-сге.ме из двух характеристических уравнений для волнового числа fep, которая имеет два или больше положительных действительных корня в зависимости от произведения толщины пластины на частоту. Каждому из этих корней соответствует определенная волна в пластине [151. [c.15]

За исключением частных случаев (например, продольного соударения тонких стержней), воздействие импульсной нагрузки создает в материале напряженное состояние, характеризующееся высоким уровнем средних напряжений сжатия или растяжения (последнее во взаимодействующих волнах разгрузки). Можно пренебречь сопротивлением материала сдвигу при высоких давлениях и принять систему напряжений эквивалентной гидростатическому сжатию, что допускает решение ряда задач (например, задачи расчета начальной стадии высокоскоростного взаимодействия твердых тел [252—255]) методами гидродинамики. Для таких расчетов достаточно использовать уравнение состояния вида F p, гу, Т)=0, однозначно связывающее среднее напряжение (давление), объемную деформацию ev и температуру Т. Это уравнение пригодно для описания поведен ия жеталлических твгатерй лев, - ъемиая- -деформация-которых является упругой и, следовательно, не зависит от режима нагружения и его истории. [c.10]

КОЛЕБАНИЯ (вынужденные [возникают в какой-либо системе под влиянием внешнего воздействия переменного пружинного маятника (характеризуется переходным режимом и установившимся состоянием вынужденных колебаний резонанс выявляется резким возрастанием вынужденных механических колебаний при приближении угловой частоты гармонических колебаний возмущающей силы к значению резонансной частоты) электрические осуществляют в электрическом колебательном контуре с включением в него источника электрической энергии, ЭДС которого изменяется с течением времени] гармонические относятся к периодическим колебаниям, а изменение состояния их происходит по закону синуса или косинуса затухающие характеризуются уменьшающимися значениями размаха колебаний с течением времени, вызываемых трением, сопротивлением окружающей среды и возбуждением волн когерентные должны быть гармоническими и иметь одинаковую частоту и постоянную разность фаз во времени комбинационные возникают при воздействии на нелинейную колебательную систему двух или большего числа гармонических колебаний с различными частотами кристаллической решетки является одним из основных видов внутреннего движения твердого тела, при котором составляющие его частицы колеблются около положений равновесия крутильные возршкают в упругой системе при периодически меняющейся деформации кручения отдельных ее элементов магнитострикционные возникают в ферромагнетиках при их намагничивании в периодически изменяющемся магнитном поле модулированные имеют частоту, меньшую, чем частота колебаний, а также определенный закон изменения амплитуды, частоты или фазы колебаний неавтономные описываются уравнениями, в которые явно входит время некогерентные характерны для гармонических колебаний, частоты которых различны незатухающие не меняют свою энергию со временем нормальные относятся к гармоническим собственным колебаниям в линейных колебательных системах [c.242]

Собственные научные исследования в области теории упругости были начаты Нейманном, когда Навье, Коши, Пуассон еще яродолжали активно работать в этой области и когда большое применение эта теория находила в оптике. В своей работе по двойному лучепреломлению ) Нейманн рассматривает твердое упругое тело, структура которого определяет три взаимно-перпендикулярные плоскости симметрии, и, следуя методу Навье (стр. 129), выводит для него уравнения равновесия, содержащие шесть упругих постоянных, и исследует распространение волн в этой упругой среде. В дальнейшем он заинтересовался непосредственно упругими свойствами кристаллов, имеющих три взаимно-перпеи-дикулярные плоскости симметрии ), и указал, каким образом нужно ставить опыты, чтобы получать непосредственным испыта-пием значения этнх шести постоянных. Он впервые вывел формулу для вычисления модуля упругости при растяжении для вырезанной из кристалла призмы, с произвольной ориентировкой оси. В этих ранних работах Нейманн кладет в основу своих исследований теорию молекулярного строения упругих тел и в соответствии с этим использует уменьшенное число упругих постоянных, как это делали до него Пуассон, а позднее Сен-Венан. [c.300]

Из (8.43) следует, что компонейта смещения из" должна удовлетворять однородному волновому уравнению, но поскольку из"(0) t) = О, очевидно, что щ" = О, т. е. при распространении лоперечной волны в изотропном твердом теле не генерируется поперечная вторая гармоника. Этот результат физически довольно очевиден, так как при распространении поперечных волн не изменяется плотность среды и в изотропном твердом теле упругие напряжения при сдвиговых деформациях не зависят от знака деформации. Последнее, в частности, проявляется в том, что для плоских волн внутренняя энергия (8.13) является четной функцией сдвиговых компонент тензора деформации. По этой же причине две поперечные волны, распространяющиеся в одном направлении, не будут взаимодействовать. [c.316]

Первая задача — это определение шума турбулентного пограничного слоя в волновой зоне, вдали от самих источников шума. В этом случае можно считать, что генерация шума происходит за счет нестационарного турбулентного потока в пограничном слое. Для нахождения интенсивности этого шума следует воспользоваться основным уравнением (11.1) теории аэродинамической генерации звука при наличии твердых тел в потоке. При этом конкретные условия постановки этой задачи значительно различаются в зависимости от того, как ведет себя поверхность тела под действием приложенных со стороны жидкости сил, имеющих случайный характер. Эта поверхность может быть акустически жесткой и, таким образом, не будет совершать колебания под действием этих сил поверхность может быть акустически мягкой, и тогда пульсации давления в турбулентном пограничном слое будут переизлучать-ся ею в виде истинного звука наконец, поверхность может быть упругой и в ней (например в оболочке) будут распространяться под действием сторонних сил различные типы упругих волн (см. 1 этой главы). [c.444]

Так как, однако, всегда i > и 6 > бт, т. е. os 6/< os 0 , то т/2 ж < 1, т. е. коэффициент отражения от поверхности твердого тела меньше коэффициента отражения от жидкости. Следовательно, сдвиговая упругость отражающей среды приводит как бы к уменьшению акустической жесткости ее границы. То же самое можно сказать и о продольных волнах, падающих из твердого тела на границу с жидкостью и распадающихся на отраженную продольную и сдвиговую волпы Это можно видеть, в частности, из уравнения (Х.54) если положить в нем О, то при той же величине 2, коэффициент отрал<ения продольной волны увеличивается. Впрочем, такой результат вытекает и из энергетическ соображений если среда, в которой распространяется падающая продольная [c.227]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...