Статистическая цепочка уравнения

Б. Статистическая цепочка уравнений...........254 [c.242]

Б. Статистическая цепочка уравнений [c.254]

Последовательность уравнений (30), (34),. .. называется бесконечной статистической цепочкой уравнений. Чтобы получить решение для ф(х) , нужно сделать какие-то допущения, позволяющие оборвать эту цепочку. Быть может, самое простое допущение возможно в том случае, когда флуктуации 8(х) относительно ё малы. В этом случае можно предположить, что трехточечный корреляционный член в уравнении (34) пренебрежимо мал. Находим [c.256]

Метод решения цепочки уравнений (6.10) для неравновесных функций распределения был развит Боголюбовым на основе существования различных временных масштабов, характеризующих релаксационные процессы в статистических системах. При этом на каждом этапе в процессе приближения системы к равновесию ее состояние определяется различным числом параметров и описывается детерминированным уравнением для соответствующей функции от этих параметров. Действительно, в любом реальном газе существуют три резко разграниченных масштаба времени. [c.100]

Метод Боголюбова в квантовой статистике аналогичен подобному методу исследования классических статистических систем и состоит в введении частичных матриц плотности или статистических операторов комплексов частиц и в установлении цепочки уравнений для этих операторов. [c.101]

Обычные макроскопические динамические величины принадлежат к аддитивному и бинарному видам. Например, полный импульс, кинетическая энергия являются аддитивными величинами, а энергия взаимодействия является динамической величиной бинарного вида. Следовательно, для практических целей вполне достаточно находить простейшие статистические операторы Р1(1), р2(1, 2), а иногда также несколько операторов более высокого порядка. Поэтому, естественно возникает необходимость определения цепочки уравнений для частичных операторов рь Р2,. .. без предварительного нахождения полного оператора р и явного вычисления его шпуров (6.15). [c.104]

Цепочка уравнений Боголюбова (6.10) для неравновесных функций распределения лежит в основе статистической теории неравновесных процессов. Найдем частное решение этой цепочки уравнений для кинетической стадии эволюции неравновесной системы, определяемой кинетическим уравнением вида (6.12) [c.108]

Излагаемая здесь статистическая теория напоминает статистическую теорию турбулентности. Поскольку уравнения (1) линейны, для них получено гораздо больше теоретических результатов, однако значительная часть основных статистических построений выполняется аналогично. Здесь так же, как и в теории турбулентности, мы сталкиваемся с бесконечной цепочкой уравнений, которую нужно как-то оборвать. К сожалению, экспериментальные данные (результаты измерений статистических величин) далеко не так полны, как в теории турбулентности. [c.243]

Когда флуктуации е(х) не малы, очень трудно найти подходящее приближение, позволяющее оборвать цепочку уравнений. В статистической теории неоднородных материалов очень мало сделано для отыскания приближений, отличных от приближения теорий малых возмущений и позволяющих оборвать цепочку уравнений для ф(х) . Основное внимание в этой области было направлено на то, чтобы оборвать цепочку уравнений для величины [c.256]

Основная трудность при рассмотрении неоднородных материалов со статистической точки зрения заключается в том, что для таких величин, как среднее значение ф(х) или двухточечная корреляционная функция / 2ф, не удается получить замкнутую систему конечного числа уравнений как показано в разд. III, Б, вместо этого получается бесконечная цепочка уравнений. Только в некоторых приближениях, например в приближении малых возмущений, использованном при выводе уравнения (35), можно найти решение для ф или других статистических характеристик. [c.281]

Как уже отмечалось, квантовые кинетические уравнения можно вывести из цепочки уравнений для 5-частичных матриц плотности, которые аналогичны 5-частичным функциям распределения в классических системах. Здесь мы займемся построением этой цепочки уравнений, исходя из квантового уравнения Лиувилля для неравновесного статистического оператора. Мы также приведем примеры, иллюстрирующие возможности метода группового разложения в квантовой кинетической теории. [c.266]

Приступим теперь к выводу уравнений движения для приведенных матриц плотности. Мы будем исходить из квантового уравнения Лиувилля (4.1.3), в котором бесконечно малый источник определяет граничное условие для неравновесного статистического оператора ). Как было показано в главе 3, выбор квазиравновесного распределения Qq t) является определяющим при решении цепочки уравнений для классических функций распределения. Мы пока отложим обсуждение вопроса о выборе Qq t) в квантовом случае, ограничившись лишь замечанием, что квазиравновесный статистический оператор должен удовлетворять условию самосогласования для одночастичной матрицы плотности [c.267]

Подведем итоги. Мы убедились в том, что с точки зрения общей теории неравновесных процессов стандартный метод временных функций Грина основан на граничном условии полного ослабления корреляций в отдаленном прошлом, которое эквивалентно граничному условию Боголюбова к цепочке уравнений для классических функций распределения или квантовых многочастичных матриц плотности. Как мы знаем, при таком выборе граничного условия корреляционные эффекты проявляют себя как эффекты памяти в кинетических уравнениях. Поэтому марковские кинетические уравнения, получаемые в стандартном методе функций Грина, применимы только к системам, которые достаточно хорошо описываются в рамках модели слабо взаимодействующих квазичастиц. Для систем с сильными корреляциями нужно вводить новые граничные условия, учитывающие динамику корреляций в системе. Обратим внимание на то, что предельные значения (6.3.108) временных функций Грина выражаются через квази-равновесные функции G , в которых усреднение производится со статистическим оператором зависящим от времени через макроскопические наблюдаемые Р У. Таким образом, соотношение (6.3.108) показывает, что в общем случае предельные гриновские функции зависят от макроскопической эволюции системы. Иначе говоря, уравнения движения для временных гриновских функций должны рассматриваться совместно с уравнениями переноса для Р У. В параграфе 4.5 первого тома был рассмотрен пример такого объединения квантовой кинетики с теорией макроскопических процессов в методе неравновесного статистического оператора. Соответствующая техника в методе функций Грина пока не разработана, так что читателю предоставляется возможность внести свой вклад в решение этой проблемы. [c.62]

Речь пойдет о начальном этапе эволюции системы из некоторого, вообще говоря, неравновесного состояния, описываемого статистическим оператором ( о) Хотя эта задача имеет долгую историю (см., например, [21, 55, 56, 80, 81, 114, 153, 168]), интерес к ней значительно возрос в последнее время в связи с экспериментальными и теоретическими исследованиями быстрых релаксационных процессов в полупроводниках [83, 149] и столкновений тяжелых ядер [56, 75, 105, 106]. Кинетическое уравнение с учетом начальных корреляций в низшем порядке теории возмущений было выведено в работах [110, 114] из цепочки уравнений для приведенных матриц плотности. Более общее квантовое кинетическое уравнение с начальными корреляциями было выведено методом функций Грина в работе [133], которой мы и будем, в основном, следовать. [c.62]

Смешанные функции Грина. Задача состоит в том, чтобы вывести кинетическое уравнение для функции Вигнера нри t > если начальное состояние системы описывается статистическим оператором (6.4.2). В принципе можно применить метод временных функций Грина, заданных на контуре Келдыша-Швингера С (см. рис. 6.6), но мы сразу же столкнемся с серьезной проблемой. Дело в том, что при вычислении средних значений с начальным статистическим оператором (6.4.2) нельзя пользоваться теоремой Вика и, следовательно, на контуре С не существует обратная одночастичная функция Грина G (l,l ). Иначе говоря, мы не можем записать уравнения движения для G(l,l ) в виде уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30). Придется работать непосредственно с цепочкой уравнений Мартина-Швингера для гриновских функций и расцеплять ее на каком-то этапе. Такой подход применялся, например, в работе [153]. К сожалению, он не позволяет продвинуться дальше низшего порядка теории возмущений по начальным корреляциям, так как уравнения цепочки быстро усложняются. В связи с этим напомним два основных достоинства уравнения Дайсона. Во-первых, оно определяет общую структуру кинетического уравнения. Во-вторых, приближения делаются только в массовом операторе, который представляет собой результат частичного суммирования бесконечных рядов теории возмущений для цепочки Мартина-Швингера. Поэтому желательно сформулировать схему вывода кинетического уравнения так, чтобы в ней, в той или иной форме, фигурировало уравнение Дайсона. Мы покажем, что и в случае начального состояния с корреляциями можно вывести уравнение Дайсона, но не для гриновской функции G(l,l ) на контуре Келдыша-Швингера, а для более общего объекта — матричной смешанной функции Грина, заданной на расширенном контуре G. Этот контур лежит в плоскости ( ,ж), как показано на рис. 6.7. [c.64]

Уравнение (9.4.11) для ноля скоростей совместно с уравнением (9.4.8) для давления и выражением (9.4.15) для корреляций случайных сил лежат в основе статистической теории турбулентного движения в несжимаемой жидкости. Хотя уравнение (9.4.11) на первый взгляд кажется не сложнее, чем гидродинамическое уравнение Навье-Стокса, тот факт, что теперь v(r, ) — случайная переменная сильно усложняет задачу. Дело в том, что для поля скоростей v, усредненного по некоторому промежутку времени или по реализациям, не удается получить замкнутого уравнения. Действительно, после усреднения (9.4.11) (скажем, по реализациям) в уравнение для v войдут корреляционные функции пульсаций Jv = v —v типа ( 6v 6vp). В уравнения для этих функций войдут корреляционные функции более высоких порядков и т. д. Мы получим так называемую цепочку уравнений Рейнольдса проблему замыкания которой до сих пор не удается решить. Дело также осложняется тем, что в задаче фактически нет малого параметра, поэтому не удается воспользоваться теорией возмущений. Как известно, в таких случаях необходим метод, позволяющий сравнительно просто получать общие соотношения и строить самосогласованные приближения, не опирающиеся на теорию возмущений. С этой точки зрения формулировка теории турбулентности на основе стохастического уравнения (9.4.11), при всей ее внешней простоте, мало что дает. Гораздо удобнее перейти к описанию турбулентного движения с помощью функционала распределения для поля скоростей и вывести для него уравнение Фоккера-Планка, которое в компактной форме содержит информацию о всей цепочке уравнений Рейнольдса. [c.258]

С точки зрения статистической механики теория турбулентности имеет некоторое сходство с кинетической теорией. В частности, цепочка уравнений Рейнольдса для усредненной скорости движения и корреляционных функций пульсаций скорости мо- [c.281]

Постановка задачи. Исследование связи уравнения Больцмана с уравнениями гидродинамики — одна из классических проблем статистической физики. В работах Максвелла впервые появилась бесконечная цепочка уравнений для моментов больцмановской функции распределения и проблема обоснования уравнений гидродинамики была сформулирована как проблема замыкания этой цепочки. Из уравнения Больцмана и равенства (11.20i) следует, что моменты S [c.301]

Рг В) 1 при В задачи нашего раздела не входит расчет этих корреляционных функций по схеме решения цепочки уравнений Боголюбова. Это делается в разделах, посвященных равновесной статистической механике. Напомним только, что функция Рг (-К) является одной из важнейших в теории неидеальных систем и ряде приложений. Ее вид схематически представлен на рис. 1. Для систем низкой плотности в нулевом приближении эта функция аппроксимируется больцмановской экспонентой Р2 в) = ехр -Ф(Д)/0 . [c.23]

Сказанное выше делает возможным с достаточной степенью точности совершить переход к одномерной цепочке атомов. В статистической физике на основе закономерностей колебаний молекул идеального газа и на основе так называемой одномерной кристаллической решетки выводятся уравнения движения для двух- и многоатомных молекул. [c.48]

Хочется подчеркнуть, что бесконечность цепочки статистических уравнений, получившихся в результате умножения уравнения (30) на 1, e (xi),. .., e (xi)e (x2),. .. и усреднения, не является следствием этой частной процедуры. Умножение на любую систему функций с последующим усреднением приведет к незамкнутой системе уравнений. В этом можно убедиться, выведя функциональное уравнение для функционала, ассоциированного с [c.256]

В, И. Тихоновым [2] была рассмотрена общая задача о вероятности данного напряжения на интегрирующей цепочке в произвольный момент времени при поступлении на нее прямоугольных импульсов, нормализованных по длительности со статистическим разбросом по амплитуде и времени поступления. Эквивалентная схема интегрирующей цепочки показана на рис. 1, б. Для случая мгновенного значения напряжения автор получает интегральное уравнение, которое не может быть решено даже для случая импульсов, стандартизованных по длительности и амплитуде. Это, впрочем, не всегда нужно для проведения инженерного расчета конкретной схемы. [c.242]

В этом случае выражение (5.68), разумеется, всегда сходится. Пользуясь аналогией между статистической суммой для данной модели и марковским процессом [29], можно представить матрицу переноса в виде ядра интегрального уравнения и найти наибольшие собственные значения, которые затем надлежит подставить в соотношение (5.59). Интересно, что в предельном случае у N О эти собственные значения становятся вырожденными, что соответствует фазовому переходу при температуре 2/М. На самом деле в этом предельном случае каждый спин очень слабо взаимодействует со всеми остальными, так что вся цепочка представляет собой единый однородный кластер . Иначе говоря, рассматриваемая модель преобразуется при этом в решетку с бесконечным координационным числом (т. е. бесконечной размерности), для которой результат приближения среднего поля (5.6) оказывается точным. [c.198]

Алгебраически наиболее серьезное следствие перехода от одномерной модели к трехмерной состоит в том, что при этом теряются все преимущества представления через матрицу переноса (8.19). Иначе говоря, появляется та же фундаментальная трудность, что и в статистической механике при рассмотрении модели Изинга (ср. 5.7) поскольку в двумерной или трехмерной решетке каждый узел имеет соседей в разных направлениях, процесс распространения возбуждений уже нельзя изобразить в виде простого произведения независимых матриц, как в формуле (8.20). При рассмотрении линейной цепочки такое представление обеспечило самосогласованный характер уравнения Дайсона — Шмидта (8.76), из которого можно получить точный спектр. Строгого аналога этой теоремы для случая большего числа измерений, по-видимому, нет. [c.377]

Не продолжая процедуры построения следующих уравнений, мы на примере полученных выще двух обнаруживаем чрезвычайно характерную для всей статистической механики неидеальных систем ситуацию уравнения для корреляционных функций (или их модификаций, а в квантовой статистике для корреляционных статистических операторов) образуют цепочку. Эти уравнения не замкнуты каждое уравнение для Ра содержит в интегральном члене функцию так что решению этих уравнений должна предшествовать процедура расцепления цепочки, так чтобы оставшаяся фуппа уравнений оказалась бы замкнутой. Универсального рецепта проведения такой операции нет, она производится по-разному в зависимости от типа рассматриваемой системы и физических условий, в которых она находится. В следующих разделах данного параграфа мы рассмотрим два характерных примера такого исследования (см. также 2 в разделе дополнительных вопросов). [c.306]

Мы уже знаем, что уравнение Лиувилля, а следовательно, и уравнение цепочки Боголюбова удовлетворяются функциями распределения, постоянными вдоль траекторий механического движения частиц системы. Но мы желаем построить кинетическое уравнение не для функций, описывающих такое движение (они строятся на основе решения задачи механики и описывают чистое механическое состояние системы, см. задачи 1 и 31), а для статистических функций распределения (т.е. функций, характеризующих смешанное состояние всей системы), в частности, для такой функции J l, которая в комбинации п 1(<, г, р) йт ф определяет статистическое число частиц в объеме йг йр в момент < и которая является характеристикой не отдельной частицы, а всей статистической системы в целом. [c.313]

Первое рассмотрение задач статистической физики методом частичных функций распределения было осуществлено Ивоном [10]. Наиболее полное и плодотворное исследование с помощью функций распределения как для равновесных, так и для неравновесных систем (о чем подробно будет сказано ниже) осуществлено Н. Н. Боголюбовым [11]. В развитие этого направления большой вклад внесли также Борн, Грин [12] и Кирквуд [13]. Поэтому цепочка уравнений для частичных функций распределения получила название иерархии Боголюбова-Борна-Грина-Кирквуда-Ивона (ББГКИ иерархии). [c.212]

Решение общих задач статистической физики сопряжено с большими численными сложностями. Поэтому вначале были рассмотрены так называемые идеальные системы как для классического, так и для квантового случая. Наряду с рассмотрением идеальных систем исследуются и слабо неидельные системы, т. е. системы, свойства которых не сильно отличаются от идеальных. В 1927 г. Урселом впервые получено разложение по степеням плотности (вириальное разложение) [21]. В дальнейшем оно было развито Дж. Майером, который ввел диаграммный метод [22]. Н. Н. Боголюбовым предложен эффективный способ рассмотрения слабонеидельных систем на основе решения цепочки уравнений заложением функций распределения в ряд по степеням соответствующего малого параметра [И]. [c.213]

В статистическом пределе N oo, У- оо, V/iV = u = Gnst) получаем цепочку уравнений Боголюбова для равновесных функций распределения [c.212]

Выше были в общих чертах установлены трудности нахождения решения для ф(х) , / 2ф(хьХ2) и других статистических величин, связанных с функцией ф. Теперь будет подробно показано, почему невозможно получигь точные решения, имея неполную информацию о статистических свойствах е(х). В ходе этого обсуждения мы выведем первые два уравнения из бесконечной цепочки уравнений, описывающих статистические характеристики функции ф(х). [c.254]

В разд. III, Б было указано, что для определения ф(х) следует в принципе разрешить бесконечную цепочку уравнений, которая содержит всю статистическую информацию о поле е (х). В настоящем разделе мы хотим показать, что , (х) = = (Эф (х)/(3л , формально удовлетворяет интегродифференци-альному уравнению, обычно называемому уравнением Дайсона. Ядро интегрального члена этого уравнения является функцией от всей статистической информации, содержащейся в поле е (х). Поскольку вся статистическая информация входит только в ядро, это уравнение можно использовать феноменологически при отсутствии детальной информации относительно поля е (х). Интегродифференциальное уравнение имеет совершенно иной характер, чем обыкновенное дифференциальное уравнение мы покажем необходимость такого уравнения вблизи точек быстрого изменения функций источников и вблизи границ. [c.260]

Кинетическое уравнение для одночастичной матрицы плотности можно вывести из квантового уравнения Лиувилля различными способами. В частности, для этого достаточно построить статистический оператор g t), удовлетворяющий граничному условию ослабления корреляций в отдаленном прошлом, и выразить его через ква-зиравновесный статистический оператор Qq t) который, в свою очередь, зависит от одночастичной матрицы плотности. Такой метод оказывается особенно удобным для систем со слабым взаимодействием частиц, так как он позволяет построить интеграл столкновений, исходя только из общих свойств системы. Вывод квантовых кинетических уравнений с помощью этого метода дается в параграфе 4.1. Другой подход к квантовой кинетической теории основан на цепочке уравнений для 5-частичных матриц плотности которые аналогичны классическим 5-частичным функциям распределения. В случаях слабого взаимодействия между частицами или малой концентрации частиц, квантовую цепочку уравнений можно решить с помощью теории возмущений. Некоторые разновидности этого подхода изложены в книгах [35, 57]. В параграфах 4.2 и 4.3 мы рассмотрим квантовую цепочку уравнений с точки зрения метода неравновесного статистического оператора. Вначале мы построим групповое разложение интеграла столкновений для систем с малой плотностью, а затем обобщим метод на плотные квантовые системы. [c.248]

Р( (о) или Р1 с1(х)) на фазовом пространстве турбулентного течения, и потому их нахождение явилось бы полным решением проблемы турбулентности. В работе Эбергарда Хопфа (1952) для характеристического функционала турбулентного поля скорости в несжимаемой жидкости было выведено уравнение в вариационных производных, замечательной особенностью которого является его линейность. В работе А. С. Монина (19676) и некоторых работах других авторов были выведены уравнения для конечномерных плотностей распределений вероятности значений гидродинамических полей на конечных наборах точек пространства-времени (образующие бесконечную зацепляющуюся цепочку и также оказавшиеся линейными). Таким образом, хотя динамика жидкости нелинейна, основная проблема статистической гидромеханики, сформулированная в терминах характеристических функционалов или набора конечномерных плотностей вероятности, оказывается линейной задачей. Отметим, что уравнение Хопфа оказалось формально близким к так называемому уравнению Швинтера квантовой теории поля (на имеющуюся аналогию между теорией турбулентности и квантовой теорией поля мы уже указывали выше). Уравнения для конечномерных распределений вероятности оказались аналогичными цепочке уравнений Н. Н. Боголюбова для п-частичных функций распределения скоростей молекул в кинетической теории газов. [c.20]

Отсюда следует одно очень интересное (с теоретической точки зрения) свойство некоторых кинетических уравнений. Как мы видели в 5, подстановка Рг = Р, Р, приводит первое уравнение цепочки Боголюбова к кинетическому уравнению Власова. На основании сказанного выше это уравнение содержит не только те представляющие интерес решения, которые мы обсуждали в S и которым посвящен следующий параграф раздела задач, но и ча-стицеподобное решение, описывающее движение всех частиц системы в соответствии с их механическими траекториями (это было замечено самим Власовым в 1950 г.). Если при выводе какого-либо более сложного уравнения из цепочки уравнений Боголюбова мы используем помимо принципа ослабления корреляций еще и операторы сдвига во времени 5т (сдвига вдоль траекторий механического движения системы), который, естественно, не нарушает частицеподобных конструкций, то полученное таким образом уравнение тоже будет иметь помимо статистических также и решения, воспроизводящие механическое движение частиц системы. По отношению к уравнению Больцмана (при выводе которого как раз и используется оператор 5г) эту теорему доказал Боголюбов в 1975 г. (мы не будем вновь отдельно воспроизводить все детали ее доказательства, ограничившись сделанным выше общим заключением). > [c.404]

Явная статистическая формулировка дается в разд. III. Вводится понятие среднего по ансамблю и рассматривается его связь со средними по объему. Обсуждается бесконечная цепочка статистических уравнений и указывается, что полное решение задачи возможно лишь на основе общей функциональноаналитической постановки. Делаются некоторые замечания о численных решениях. [c.244]

Отметим, что, в отличие от (4.2.14) и уравнений более высокого порядка, уравнение (4.2.13) для одночастичной матрицы плотности не содержит источника из-за условия самосогласования (4.2.10). Чтобы явно найти источники в остальных уравнениях цепочки, нужно задать форму квазиравновесного статистического оператора. Следуя общей идеологии метода статистических ансамблей, Qq t) можно найти из условия максимума информационной энтропии при заданных средних значениях некоторых базисных динамических переменных. Простейшее предположение состоит в том, что одночастичная матрица плотности (4.2.2) является единственной наблюдаемой, которая характеризует неравновесное состояние системы. Тогда мы возвращаемся к ква-зиравновесному статистическому оператору (4.1.32), описывающему идеальный квантовый газ. Мы пока ограничимся только этим случаем. Более общие выражения для квазиравновесных распределений будут рассмотрены в следующем параграфе. [c.268]

Л. Дифференциальные уравнения переноса для пульсаций. Статистический подход к оп 1санию процессов турбулентного переноса в однородной сжимаемой жидкости Келлер, Фридман, 1924) основан на анализе цепочки зацепляющихся прогностических уравнений для корреляционных моментов связи возрастающего порядка. Рассмотрим кратко общую схему составления этих уравнений на примере несжимаемой жидкости с постоянной плотностью. [c.170]

Пусть теперь создана некоторая простая конфигурация струны, соответствующая возбуждению одной или нескольких низших мод струны. Если мы ожидаем статистическое поведение системы, то ее термализация означала бы передачу энергии пз возбужденных мод во все остальные. Возбуждение новых мод должно происходить таким образом, чтобы энергии каждой пз них в среднем были близки по значениям (равнораспределение энергий по степеням свободы). Этп рассуждения очевидным образом перёпосятся на цепочку осцилляторов (1.1). Необходимо лишь, чтобы N было достаточно велико (в работе [110] N достигало 64). Взаимодействие мод (или осцилляторов) осуществляется благодаря наличию нелинейных членов в уравнениях (1.1), (1.2). Поэтому даже прп [c.124]

Вообще говоря, это не есть практичная процедура расчета плотности состояний в неупорядоченной решетке. Легко видеть, однако, что для настоящей линейной цепочки условие статистической однородности диагональных и недиагональных матричных эле-лгентов гамильтониана удовлетворяется. Таким образом, интегральное уравненне (9,102) или соответствующее ему уравнение для функции распределения значений локального массового оператора (9.45) дает точное решение одномерной задачи [58]. Однако приведенный выше вывод довольно определенно наводит на мысль о том, что мы здесь имеем дело просто с уравнением Дайсона — Шмидта (8.76), записанным на языке функций Грина [59]. [c.415]

Излагается статистическая механика одномерных квантовых систем на основе точных решений, получаемых с помощью анзатца Бете. Сам метод детально демонстрируется на примере гейзенберговской цепочки с обменным взаимодействием между ближайшими соседями и атомным спином <5 = 1/2. Для изотропной (ХХХ-модель) и анизотропной (ХХ2-модель) цепочек подробно выведены уравнения для состояния с произвольным числом тп спиновых отклонений при учете периодических граничных условий. Получаются две системы уравнений — одна для быстрот, параметризующих импульсы, другая — для самих импульсов. Показывается, что вещественные решения для быстрот определяют основное состояние системы, а комплексные решения определяют структуру возбужденных состояний. В частности, показано, что комплексные решения группируются в так называемые струны, которым соответствуют связанные состояния некоторого числа спиновых отклонений (бетевских спиновых комплексов). Описывается структура основного состояния антиферромагнитной цепочки и спектр ее возбуждений. Выводится система уравнений, описывающих термодинамику гейзенберговской цепочки. [c.184]

Таким образом, мы получили как следствие уравнения Лиувилля (т. е. уравнений механики) цепочку зацепляющихся через интегральный член линейных-дифференциальных в левых своих частях уравнений для послепредельных в статистическом смысле функций распределения Р, 2, и т.д., [c.299]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...