Смешанные функции Грина

Смешанные функции Грина. Задача состоит в том, чтобы вывести кинетическое уравнение для функции Вигнера нри t > если начальное состояние системы описывается статистическим оператором (6.4.2). В принципе можно применить метод временных функций Грина, заданных на контуре Келдыша-Швингера С (см. рис. 6.6), но мы сразу же столкнемся с серьезной проблемой. Дело в том, что при вычислении средних значений с начальным статистическим оператором (6.4.2) нельзя пользоваться теоремой Вика и, следовательно, на контуре С не существует обратная одночастичная функция Грина G (l,l ). Иначе говоря, мы не можем записать уравнения движения для G(l,l ) в виде уравнений Дайсона (6.3.29) и (6.3.30). Придется работать непосредственно с цепочкой уравнений Мартина-Швингера для гриновских функций и расцеплять ее на каком-то этапе. Такой подход применялся, например, в работе [153]. К сожалению, он не позволяет продвинуться дальше низшего порядка теории возмущений по начальным корреляциям, так как уравнения цепочки быстро усложняются. В связи с этим напомним два основных достоинства уравнения Дайсона. Во-первых, оно определяет общую структуру кинетического уравнения. Во-вторых, приближения делаются только в массовом операторе, который представляет собой результат частичного суммирования бесконечных рядов теории возмущений для цепочки Мартина-Швингера. Поэтому желательно сформулировать схему вывода кинетического уравнения так, чтобы в ней, в той или иной форме, фигурировало уравнение Дайсона. Мы покажем, что и в случае начального состояния с корреляциями можно вывести уравнение Дайсона, но не для гриновской функции G(l,l ) на контуре Келдыша-Швингера, а для более общего объекта — матричной смешанной функции Грина, заданной на расширенном контуре G. Этот контур лежит в плоскости ( ,ж), как показано на рис. 6.7. [c.64]

Введем теперь матричные функции Грина операторов (6.4.9). Будем называть их смешанными функциями Грина так как они совпадают с временными функциями на контуре Келдыша-Швингера и с термодинамическими функциями на участке С . Одночастичная гриновская функция на контуре С определяется как [c.65]

Г. Представление взаимодействия для смешанных функций Грина [c.85]

Аналогичным образом можно дать определение функции Грина для смешанной задачи [c.89]

Наличие функции Грина для пространства с плоским круговым разрезом автоматически приводит к решению смешанной задачи для полупространства, когда в области, совпадающей с разрезом, задано значение гармонической функции, а на оставшейся части границы ее нормальная производная равна нулю. Естественно, что последнее ограничение может быть легко устранено преобразованием исходной краевой задачи при наложении частного решения задачи Неймана для всего полупространства. [c.110]

В предыдущем параграфе был описан некоторый подход к решению задач термоупругости со смешанными краевыми условиями. Использованные там функции Грина для перемещений и температуры определялись в соответствии с этими краевыми условиями. Изложим теперь другой подход. Будем пользоваться новыми функциями Грина, построенными для тела той же формы, но с однородными краевыми условиями. Такие функции Грина определяются гораздо проще. Мы покажем далее, что решение задачи со смешанными краевыми условиями можно свести к решению системы интегральных уравнений. [c.75]

Изложенный метод может быть использован прежде всего в теории пластин и оболочек со смешанными краевыми условиями. Функции Грина для однородных краевых условий находятся здесь сравнительно просто, особенно для гармонических колебаний. [c.80]

В Предыдущем параграфе было дано решение этой смешанной задачи при помощи функции Грина. Однако определение функций Грина, удовлетворяющих дифференциальным уравнениям со смешанными граничными условиями = О на и = 0 [c.153]

В последующие годы развитие методов, основанных на использовании общих уравнений теории упругости и, в частности, функций Папковича — Нейбера, позволило свести многие общие смешанные задачи упругого равновесия полупространства к некоторым классам смешанных задач теории потенциала. При этом в качестве основной из таких задач целесообразно выделить тот случай, когда на всей границе полупространства заданы касательные напряжения, в некоторой конечной области 6" граничной плоскости 2 = 0 известно нормальное перемещение щ = f (х, у), а вне 6 (в области 3 ) задано нормальное напряжение сг = о (х, у). Так, для контактной задачи без трения и пригрузок имеем о = О, а функция / определяется формой основания штампа. Существенно, что смешанные задачи указанного класса в конечном счете могут быть сведены к нахождению одной гармонической функции, заданной в /5", причем в области 8 известна ее нормальная производная. Советскими учеными были разработаны эффективные методы подхода к подобным задачам теории потенциала, позволившие, в частности, дать точные решения некоторых контактных и сходных смешанных задач. Основными из этих методов являются следующие применение сфероидальных и эллипсоидальных координат (А. И. Лурье) построение и использование функции Грина (Л. А. Галин М. Я. Леонов, 1953) метод интегральных уравнений (И. Я. Штаерман В. И. Моссаковский, 1953) использование тороидальных координат и интегральных преобразований (Я. С. Уфлянд, 1956, 1967) метод комплексных потенциалов (Н. А. Ростовцев, 1953, 1957). Мы здесь специально не выделяем метод парных интегральных уравнений, успешно развитый Я. Н. Снеддоном ), поскольку его эффективность существенно проявляется при решении более сложных смешанных задач, о которых речь пойдет ниже. [c.34]

При смешанных граничных задачах, когда иа поверхности тела заданы частью поверхностные напряжения, частью перемещения, указанная выше трудность не имеет места. Чтобы получить в этом случае решение, выраженное через функции Грина, необходимо определить перемещения и, V, вызванные сосредоточенной в точке С силой, превращающиеся в нуль на той части поверхности, на которой заданы Перемещения, и определяющие равные нулю иапряжения на части поверхности, на которой заданы силы. [c.138]

В работе [78] предлагается другой метод (метод II) решения смешанных плоских и пространственных задач теории упругости для слоя переменной высоты. Изложение ведется на примере задачи А. Сущность метода II состоит в том, что сначала рассматривается задача о равновесии упругого слоя, жестко скрепленного с недеформируемым основанием, под действием заданных на его поверхности усилий. Методом вариации границы (в специальной форме) проводится построение функции Грина в виде разложения по степеням параметра е. При этом предполагается, что функцию ш можно представить рядом по степеням параметра 8 вида [c.152]

Виртуальные состояния. Если не требовать, чтобы потенциал удовлетворял более жестким условиям, чем (12.9) и (12.21), то мы ничего не сможем сказать о распределении нулей функции f в нижней полуплоскости к. Если потребовать, чтобы потенциал удовлетворял более сильному условию (12.20), то станет доступной полоса шириной а. Допустим, что потенциал убывает даже быстрее, чем любая экспонента, так что [ будет регулярной на всей /г-плоскости. Из представления (9.22) полной функции Грина через собственные значения а ядра К радиального уравнения Липпмана — Швингера можно немедленно получить информацию относительно виртуальных состояний. Используя представление функции Грина (9.22) и уравнение (9.18), получаем следующее решение интегрального уравнения (11.7) (здесь мы используем смешанные обозначения, рассматривая как абстрактные векторы состояний, так и радиальные волновые функции в координатном представлении) [c.334]

Заметим, что используя метод, который был применен в [3] (и которому следовал Купрадзе [20] при изучении смешанных задач), можно избежать введения области А и соответствующей функции Грина (х, у) и еще более упростить до- [c.147]

Введем теперь смешанные фермионно-бозонные функции Грина вида [c.63]

В связи со сказанным представляет также интерес рассмотрение смешанных задач для произвольных контуров, содержащих кусок окружности или кусок какой-либо другой замкнутой кривой, с внутренней областью, конформно отображаемой на круг при помощи рациональной функции. Если на указанном куске заданы смещения, а на остальной части контура известны напряжения, то при условии, что кусок с заданными смещениями может быть так дополнен до замкнутого контура, чтобы кусок с заданными напряжениями оказался целиком внутри образовавшейся области, задача может быть решена (приближенно) эффективно. В самом деле, в этом случае задача приведется к построению тензора Грина для области, которая конформно отображается на круг при помощи рациональных функций. Эта задача [24а] решается эффективно. [c.466]

Уравнение Дайсона на расширенном контуре. Теория возмущений для смешанных функций Грина строится примерно так же, как для временных и термодинамических функций. Естественно ввести, кроме представления Гайзен-берга (6.4.9), представление взаимодействия на контуре С . Записывая гамильтониан система в виде суммы Я = Я + Я, где Я — гамильтониан свободных частиц, определим операторы в представлении взаимодействия как [c.66]

Аналогичным путем составляются и уравнения для смешанных функций Грина R и Q. В них войдзгг функции Грина еще более высоких порядков, т. е., как и в случае систем с прямым взаимодействием, мы получаем здесь, вообще говоря, бесконечную систему зацепляющихся уравнений. Граничные условия к ним также удобнее всего сформулировать в виде дисперсионных соотношений типа (4.7), (4.8) и (4.10). [c.68]

Гораздо более простым способом решения задач со смешанными граничными значениями является объединение метода преобразований сопряженной функции со смешанными функциями Грина, которые сформулированы так, что имеют нулевое значение на той части контура, где давление было установлено и где производные их по нормали равняются нулю на гой части контура, для которой эти производные были определены (см. М. Muskat, Physi s, 6, 27, 1935, в частности, раздел В). Действительно, при таком решении, распределение давления согласно уравнению (И) будет найдено просто, как сама функция Грина, хотя координаты (f, будут установлены преобразованием, отличным от уравнения 3). [c.160]

В последнее время для расчета КИН часто применяется метод весовых функций, т. е. функций Грина. В широком смысле функции Грина — это оператор, который по решению задачи, соответствующему одним граничным условиям, позволяет строить решение при других граничных условиях. В узком Смысле в качестве функций Грина часто используются функции точечного источника. Основные направления метода весовых функций намечены в работах X. Ф. Бюкнера [290] и Дж. Райса [398]. Указанный метод позволяет рассчитать КИН в двумерных и трехмерных телах со сквозными, эллиптическими и полу-эллиптическими трещинами [17—19, 210, 411], но его применение затруднено в случае криволинейных трещин, а также при нагружении элемента конструкции, отвечающем смешанным — кинематическим и силовым — граничным условиям. [c.196]

Таким путем решение общих задач Дирихле и Неймана для функции ф с произвольными граничными данными сводится к решению частных задач Дирихле и Неймана длй функции к с граничными условиями (12.22). Очевидно, что таким же путем можно строить функцию Грина для смешанной задачи. [c.167]

В работе В. И. Моссаковского, В. И. Онищенко и В. Л. Рвачева [179] исследован вопрос о применении функции Грина к решению смешанной задачи теории упругости для полупространства, при этом искомое решение представлено в виде квадратур. [c.198]

Идея представления решений граничных задач рядами по ортогональным функциям есть одна из основных идей математической физики и различные ее реализации применялись неоднократно. Достаточно подробный обзор соответствующих результатов и их применений можно найти, например, в известной книге Л. В. Канторовича и В. Й. Крылова Приближенные методы высшего анализа (Гостехиздат, 1949, М.—Л.). Главное затруднение, с которым приходится иметь дело при пользовании этим способом, состоит в указании систем функции, по которым следует разлагать искомое решение, для того чтобы обеспечить сходимость к точному значению. Кроме того, во многих случаях необходимо иметь функцию Грина и ей подобные другие функции, чтобы завершить доказательство сходимости. Дополнительные трудности возникают при рассмотрении задач с многосвязными областями. Способ обобщенных рядов Фурье, который мы изложим ниже, как нам кажется, свободен от этих недостатков. В 21—38 он будет применен к граничным задачам для одного уравнения и для систем уравнений. Эти результаты (за исключением тех, которые относятся к смешанным задачам) получены в совместной работе автора и М. А. Алексидзе [15] и излагаются здесь с некоторыми изменениями и дополнениями. [c.395]

Метод эталонных задач позволяет сделать следующий шаг и получить не только главный член асимптотики, но и все последующие. В главе 10 основное внимание уделяется построению асимптотических разложений для функции Грина в пограничном слое, примыкающем к отражающей поверхности 5. На поверхности 5 может быть поставлено любое из краевых условий (3) —(5), при этом без каких-либо специальных предположений относительно ц М) в случае смешанного краевого условия. Наиболее подробно рассматривается случай условия Дирихле. Построенные в главе 10 разложения представляют собою достаточно простые формальные ряды по дробным степеням волнового числа к. Однако за пределами пограничного слоя эти разложения в исходной форме неприменимы. Для получе- Ния формул, пригодных за пределами пограничного слоя, требуется выполнить переход от координат пограничного слоя к так называемым эвольвентным координатам. На этом пути получены и выписаны асимптотические формулы, справедливые с погрешностью 0(й"2/з) дд любом расстоянии от границы препятствия. [c.17]

Шеремет В. Д. Функции и матрицы Грина смешанных граничных задач теории упругости для 1/2, 1/4 и 1/8 пространства. Кишинев Кишинев, с.-х. ин-т, 1990. 24 с. Деп. в ВИНИТИ. 03.08.90. № 4469 В90. [c.198]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...