Приближение среднего поля

Один из способов обойти возникающие затруднения, не отказываясь полностью от учета взаимодействия между частицами, был придуман Ван-дер-Ваальсом. Он заключается в том, чтобы заменить истинную энергию этого взаимодействия ее величиной, усредненной по всем возможным положениям частиц. Такая процедура развязывает частицы друг от друга и делает их движения независимыми. Ее называют приближением среднего поля. [c.60]

Такие неустойчивые состояния фигурируют в теории Ван-дер-Ваальса наравне с устойчивыми только потому, что эта теория основана на приближении среднего поля, которое полностью игнорирует флуктуации. Если же включить флуктуации объема, то из сказанного ясно, что выживут только устойчивые состояния, а неустойчивые никогда не будут наблюдаться. [c.139]

Приближение среднего поля описывает поведение системы тем хуже, чем сильнее флуктуации, так как в теории среднего поля коррелированные флуктуации параметра порядка не учитываются. Соответственно этому набор критических показателей, вообще неодинаков для различных фазовых переходов. Поэтому универсальность фазовых переходов второго рода надо понимать в том смысле, что для группы определенных фазовых переходов критические показатели одни и те же, причем таких групп может быть несколько. В тех случаях, когда в силу внутренних особенностей системы флуктуации в ней оказываются слабыми, справедлива теория Ландау, и критические показатели будут иметь значения, вытекающие из этой теории. Последнее справедливо очевидно для сверхпроводящих переходов и для фазовых переходов в некоторых сегнетоэлектриках. [c.254]

В рамках приближения среднего поля можно также проследить влияние индивидуальности межмолекулярного взаимодействия на критические амплитуды и выделить универсальные (не зависящие от индивидуальности вещества) эффекты. В уравнении Ван-дер-Ваальса предполагается, что поправка в давлении на притяжение между молекулами имеет вид [c.27]

Область применимости приближения среднего поля можно получить из условия малости флуктуационной поправки к теплоемкости в двухфазной области (1.86) по сравнению со скачком а2/2С [c.35]

Отвлекаясь от численных коэффициентов, различающихся обоих способов оценки, записываем критерий применимое приближения среднего поля в виде [c.36]

Теория ферромагнетизма в приближении среднего поля Вейсса [c.327]

Тогда в гидродинамическом приближении среднее поле имеет очень простой вид [c.233]

Если второй (обменный) член не учитывается, то соответствующее приближение называют приближением среднего поля или приближением Хартри. С помощью формулы (6.3.31) легко проверить, что в приближении Хартри-Фока Е (1,1 ) = О и, следовательно, правая часть в (6.3.81) равна нулю. При этом само кинетическое уравнение совпадает с квантовым уравнением Власова, которое рассматривалось в главе 4 первого тома. [c.55]

Приближение среднего поля приводит к значениям w = 1, D = 4, отвечающим динамическому показателю z - I. Согласно определению [c.71]

Стационарное решение в приближении <<среднего поля [c.240]

Предельный случай (9.44) в литературе по оптической бистабильности называется приближением среднего поля . Для однородно уширенной системы из (9.13) получаем [c.241]

Рис. 9.7. Графим зависимости амплитуды х= л/X поля прошедшего от амплитуды у поля падающего света в случае однородного уширения [9.5]. Кривые а, Ь. с, d — точное стационарное решение [формулы (9.39) и (9.42)] кривая е — решение в приближении среднего поля . Графики а — при С = 50, Д = 0 = 0 б — при С = == 50, Д = 10, 0 = 2,25. Кривые а — при aL == 100, Т = Ь — при aZ, = 50, Т — 0,5 с — при aL = 20, Т — 0,2 d — при aL = = 10, Т = 0,1.

Условия бистабильности в общем случае (приближение среднего поля ) [c.244]

Приближение (2.54) дает то же самое выражение для Г2, что и формула (2.50), но позволяет устранить [8, 9] неограниченный рост флуктуаций интенсивности коллимированного пучка, к которому приводят формулы метода Гюйгенса—Кирхгофа [64], и получить результаты для относительной дисперсии интенсивности, согласующиеся с экспериментом [8, 9, 46]. Фазовое приближение среднего поля совпадает с решением соответствующего уравнения для первого момента [46]. Выражение для относительной дисперсии сфокусированного в плоскость наблюдения оптического пучка также совпадает с формулой для, полученной в результате [c.31]

Пьер Вейс использовал очень простую идею, чтобы связать и намагниченность чем сильнее упорядочены соседи данного магнитного спина, тем сильнее стремление этого спина выстроиться параллельно другим. Поэтому молекулярное поле постулируется возрастающей- функцией намагниченности. Пусть К — коэффициент пропорциональности, не зависящий от температуры. Тогда Намагниченность, входящая в эту формулу,— это намагниченность в поле при тепловом равновесии. Если тело разделено на домены, то мы, конечно, имеем в виду среднюю намагниченность внутри домена, так что эта формула написана в приближении среднего поля. Отсюда следует, что если приложено поле Н, то эффективное поле, действующее на элементарный виток в образце ферромагнетика,, согласно Вейсу имеет вид [c.44]

Результаты для этих двух моделей совпадают с результатами, полученными для регулярных решеток с помощью приближения среднего поля и аппроксимации Бете соответственно (разд. 1.5). Таким образом, оба эти приближения эквивалентны замене исходного гамильтониана гамильтонианом бесконечномерной модели. [c.20]

Несомненно, однако, что любой из приближенных методов, рассматриваемых в гл. 5, может дать удовлетворительное качественное описание явления упорядочения. Пока мы не знаем параметров межмолекулярных сил, достаточно ограничиться приближением среднего поля [136, 137]. Из него следует ( 5.2),что в ориентациях молекул всегда должен иметь место некоторый ближний порядок, а дальний порядок должен возникать скачком при температуре ниже критической возрастая с дальнейшим понижением температуры. Именно это и наблюдается во многих нематических жидкостях. [c.125]

ПРИБЛИЖЕНИЕ СРЕДНЕГО ПОЛЯ [c.175]

Рис. 5.1. Температурная зависимость параметра порядка для модели Изинга в приближении среднего поля.

С целью термодинамического обоснования приближения среднего поля выведем феноменологическое уравнение (5.4) из статистической суммы (5.2). Основное допущение (см. [1.28] и [2]) состоит в отсутствии корреляции между спинами на соседних узлах, за исключением лишь условия, что среднее по ансамблю значение каждого спина отлично от нуля. Для модели Изинга это означает, что полные числа спинов -Ь и — фиксированы согласно равенству (1.22), [c.177]

Основной недостаток приближения среднего поля состоит в полном пренебрежении корреляциями между спинами на соседних узлах. Это особенно существенно чуть выше критической точки, так как там рассматриваемое приближение не позволяет принять во внимание возрастание размеров областей упорядоченности ( 1.7), сигнализирующее о близости фазового перехода. В частности, формула (5.10) приводит к неправильному результату — исчезновению теплоемкости при Т > Тс- [c.178]

Не требуется большой оригинальности мышления, чтобы сообразить, что результаты приближения среднего поля можно улучшить, применяя к кластеру спинов те же рассуждения, что и к одному спину. Это обычный прием в теории неупорядоченных систем локальные взаимодействия и корреляции учитываются путем рассмотрения компактной группы спинов или атомов, находящихся в среде, свойства которой отвечают среднему макроскопическому поведению вещества. Этот прием часто оказывается успешным, но он таит и свои опасности. В отличие от единичного спина, локализованного на вполне определенном узле, кластер представляет собой искусственную конструкцию. Не существует однозначной процедуры отделения одной такой группы от другой в однородном веществе. Граница между кластером и окружающей средой не имеет реального смысла. [c.183]

По этой причине не существует канонической последовательности аппроксимаций, приводящей от приближения среднего поля к точным уравнениям для сложных систем. Предлагались различные схемы, основанные на обобщениях различных способов, которыми можно ввести само приближение среднего поля. [c.183]

Однако в реальной решетке центральный спин кластера ничем не выделен следовательно, среднее его значение должно быть таким же, как и у любого спина в первой координационной сфере. Аналог условия самосогласования (5.5), используемого в приближении среднего поля, теперь принимает вид [c.184]

Комбинируя число (5.36) со средней энергией, получаем формулу приближения среднего поля (5.10) для свободной энергии. [c.187]

В этом случае выражение (5.68), разумеется, всегда сходится. Пользуясь аналогией между статистической суммой для данной модели и марковским процессом [29], можно представить матрицу переноса в виде ядра интегрального уравнения и найти наибольшие собственные значения, которые затем надлежит подставить в соотношение (5.59). Интересно, что в предельном случае у N О эти собственные значения становятся вырожденными, что соответствует фазовому переходу при температуре 2/М. На самом деле в этом предельном случае каждый спин очень слабо взаимодействует со всеми остальными, так что вся цепочка представляет собой единый однородный кластер . Иначе говоря, рассматриваемая модель преобразуется при этом в решетку с бесконечным координационным числом (т. е. бесконечной размерности), для которой результат приближения среднего поля (5.6) оказывается точным. [c.198]

В микроскопическом отношении классическая теория критической точки сводится к приближению среднего 1 самосогласо-ванного) поля [21]. В этом приближении сложное многочастичное взаимодействие заменяется некоторым эффективным средним полем, одинаково действующим на каждую молекулу. Типичной моделью, основанной на приближении среднего поля, является уравнение Ван-дес-Ваальса, которое позволяет выразить феноменологические константы теооии Ландау через критические параметры веществ и тем самым получить качественное представление о влиянии индивидуальности веществ на амплитуды критических аномалий 122]. Следует подчеркнуть, что гам характер критических аномалий, вытекающий из уравнения Ван-дер-Ваальса, полностью соответствует феноменологической теог>чи Ландау. [c.25]

Возникает своеобразный парадокс уже в классической теории можно предсказать аномальный рост флуктуаций, тогда как важнейшей чертой эквивалентного ей приближения среднего поля является как раз пренебрежение ближним (флуктуаци-онным) порядком. Отмеченное противоречие разрешается следующим образом. Классическую теорию можно обобщить, рассматривая изложенный выше вариант, полностью пренебрегающий флуктуациями, как нулевое приближение некоторой тео- [c.33]

По мере повышения точности эксперимента становилось все )0лее ясным, что роль флуктуаций не сводится к малым по-1равкам и приближение среднего поля неверно, по крайней лере, в достаточно близкой окрестности критической точки. [c.35]

Возникает вопрос, существует ли вообще область примени- ости приближения среднего поля для жидкостей Строго доказана [27] справедливость классической теории для системы г бес1й)нечно большим числом взаимодействующих соседей, что формально можно осуществить в системах с бесконечной размерностью пространства либо с бесконечным радиусом взаимодействия между частицами. [c.35]

Ующем приближению среднего поля, о=(9/16я) , и формула (3,22) с точностью до коэффициента совпадает с флуктуацион-поправкой к теплоемкости (1.88). В общем случае сингу- " Рности типа / - получаем соотношение [c.93]

Теоретический анализ внутренней энергии и избыточной теплоемкости нанокристаллических материалов был выполнен также в [80] с использованием формализма, эквивалентного приближению среднего поля. Согласно [80] в низкотемпературной области избыточная теплоемкость А (7 является линейной функцией температуры, а при Т J разность АС имеет гпирокий максимум (J — энергетический параметр, описываюгций взаимодействие атомов, каждый из которых имеет две равновесные позиции). [c.164]

Изложенная картина означает, что термодинамический потенциал обладает фрактальным рельефом в конфигурационном пространстве деформированного твердого тела. Строго говоря, такое предположение является гипотезой, основанной на совпадении следующих из нее результатов с экспериментальными данными. Следуя теории спиновых стекол [85], можно показать правомерность этой гипотезы в приближении среднего поля. Действительно, с учетом пространственной неоднородности в распределении j, = j(r ) потоков N дефектов по координатам г , г = 1,2,. ..,ЛГ, и условия неразрывности = onst кинетическая [c.281]

Из рис. 9.7 видно, как результаты приближаются к кривой (9.48) в пределе (9.44). Участки кривых с отрицательным наклоном неустойчивы, так что возникают петли гистерезиса. Кривая е на рис. 9.7, а построена по формуле (9.48) при С = 50, Д = 0 = О (чисто абсорбционный случай) кривая е на рис. 9.7, б построена по формуле (9.48) при С = 50, Д = 10, 0 = 2,25 (дисперсионный случай). На обоих рис. 9.7, а н б кривыми а, Ь, с, й представлено точное решение уравнений (9.39) А (9.42) при разных значениях aL и пропускания, выбранных таким образом, чтобы отношение С = аЫ 2Т) было постоянным и равнялось 50. При больших значениях аЬ и Т, как на кривой а, бистабильность отсутствует, а при уменьшении а1 и Т бистабильное поведение усиливается. При этом мы подходим все ближе к результату (9.48) ( среднее поле ), который оказывается хорошим приближением уже при aL I. При фиксированных С и Г кривая среднего поля дает более точное приближение в дисперсионном случае (рис. 9.7, б), чем в абсорбционном (рис. 9.7, а). Это объясняется тем, что в дисперсионном случае поглощение уменьшаете и изменения амплитуды поля в пространстве даже при больших aL оказываются не очень сильными. В следующих двух подразделах мы проанализируем уравнение состояния в приближении среднего поля (9.48), которое выражает интенсивность падающего света через интенсивность прошедшего. Оно зависит от трех параметров параметра кооперативности С, атомной расстройки Д и расстрой- [c.242]

Можно, однако, воспользоваться результатами приближения среднего или сильного поля, применив при расчете возмущения (Укр в первом случае и Уее во втором случае) вариант теории возмущений для группы близких уровней , известный под названием учет взаимодействия термов (для двух близких уровней см. теорию, например, в [37, стр. 198]). Этот вариант применим в случае, когда расщепления, вызываемые возмущением, сравнимы с интервалами между уровнями группы близких уровне (в нашем случае под такой группой следует понимать все уровни конфигурации d"), но малы но сравнению с интервалами до уровней других групп (других конфигураций) . В этом варианте теории возмущений в нулевом приближении можно исходить из приближения сильного поля [11—16, 20, 38, 39], либо из приближения среднего поля [19, 20, 40—43]. Оба способа эквивалентны, либо отличаются друг от друга лишь разным выбором (в пределах одноконфигурационного пространства функций 3d") полной [c.12]

Так как оператор (2.2) преобразуется по единичному представлению группы О и не зависит от спина, то матричные элементы мйжду функциями (2.1) будут отличны от нуля лиигь в случае одинаковых значений Г8 (и ММз). Поэтому полное секулярное уравнение распадается на ряд независимых уравнений (для каждого блока Г8 полной матрицы возмущения). Это означает, что фактически взаимодействуют лишь одинаковые термы Г8. В тех случаях, когда рассматриваемый уровень Г8 не имеет себе подобных (того же тина Г8), сохраняются результаты, которые получены в приближении среднего поля, т. с. линейная (в первом приближении теории возмущений) зависимость от Вд. [c.13]

I. Приближения ячеек или кластеров. В этом случае свойства системы в целом получают в результате экстраполяции свойств небольшой совокупности ее компонент, заключенной внутри некоторой ячейки . Приближенно оценивают взаимодействия ячейки с остальной частью системы. Примерами могут служить приближения среднего поля [53, 63], квазихимическое [107] и Кикучи [147]. Эти теории обладают преимуществом простоты они правильно предсказывают качественное поведение, показанное на рис. 1.1—1.3, и дают удовлетворительную точность, за исключением ближайшей окрестности критической точки [65 74]. [c.17]

Все это, конечно, есть не что иное, как добрая старая теория ферромагнетизма Кюри — Вейсса. В теории сплавов это называется методом Брэгга — Вильямса, а в общем случае — приближением среднего поля или внутреннего поля, однако правильнее было бы говорить о приближении когерентного поля, так как Нэфф представляет собой когерентную часть статистически флуктуирующих полей, действующих на каждый спин со стороны ближайших его соседей благодаря обменному взаимодействию. Другими словами, внимание полностью сосредоточивается на дальнем порядке ( 1.6), а возможные мелкомасштабные спиновые корреляции не учитываются. [c.177]

Величина, фигурирующая в левой части (5.17), оказывается несколько меньше, чем следует из приближения среднего поля [ср. с формулой (5.6)], и стремится к последнему значению при бесконечно большом координационном числе . Таким образом, флуктуации, неявно вводимые, коль скоро используется представление о ближнем порядке, понижают критическую температуру Го- Действительно, фазовый переход в одномерной модели Изинга с 2 = 2 при Гс = О находится в согласии с точным решением ( 5.5). Таким образом, квазихимическое приближение более реалистично, чем приближение среднего поля, но обладает теми же преимуществами физической простоты и аналитической замкнутости. [c.179]

Таким образом, рассмотренная выше приближенная теория вполне хорошо описывает рост области упорядоченности спинов по мере приближения к критической температуре ТПоследняя оказывается точкой, в которой, согласно приближению среднего поля 1см. формулу (5.6)], внезапно появляется дальний порядок [по-видимому, аппроксимации, используемые при переходе от формулы (5.20) к (5.26), слишком грубы, чтобы можно было воспроизвести квазихимическое выражение для Т (5.17)]. Все эти соображения согласуются с макроскопическим термодинамическим подходом ( 4.4), который предсказывает существование связи между спиновыми флуктуациями и магнитной восприимчивостью и также подтверждают справедливость спектральной формулы Орнштейна — Цернике для флуктуации концентрации в сплаве. Об этом уже упоминалось в 4.6. [c.182]

В случае модели РТзинга метод Бете дает аналитическое выражение для (а) как функции температуры Т. Эта функция очень похожа на ту, что получается в приближении среднего поля [формула (5.5)]. В исчезающе слабом внешнем поле при температуре, превышающей критическое значение Тэффективное поле Н равно нулю. Ниже критической температуры имеются решения, для которых параметр дальнего порядка пf = (а) быстро стремится к единице при Г 0. Оказывается, что критическая температура, предсказываемая методом Бете, совпадает с величиной (5.17), которую дает квазихимическое приближение. Эти два метода, исходящие из внешне различных допущений, полностью эквивалентны. [c.184]

С другой стороны, прихменение метода Бете пе ограничено моделями Изинга. Если в формулах (5.31) — (5.34) интерпретировать 8 как квантовомеханнческий оператор спина, то оказывается возможным исследовать свойства перехода порядок — беспорядок в гейзенберговском ферромагнетике с гамильтонианом (1.16). Численный расчет различных матричных выражений, казалось бы, вселял надежды на известный успех в описании критического поведения системы [12], пока не было показано [13], "ЧТО рассматриваемые уравнения приводят к антиточке Кюри (в простой кубической решетке — при кТ = 0,269 /). Ниже этой точки ферромагнитное упорядочение исчезает. Основные недостатки, присущие этому и нескольким аналогичным методам, обсуждались в работе [14]. Создается впечатление, что попытки замкнутого , компактного описания поведения гейзенберговского ферромагнетика более чем одного измерения не выходят за рамки простой формулы приближения среднего поля последняя совершенно не учитывает такие важные явления, как возбуждение спиновых волн при низких температурах ( 1.8). [c.186]

Такой же результат получается, если дважды продифференцировать выражение (5.126) по температуре в точке, где обращается в нуль, возникает логарифмическая сингулярность теплоемкости. Заметим, что только что полученное точное значение критической температуры гораздо меньше, чем дает приближение среднего поля или квазихимическое приближение [ср. с формулами (5.6) и (5.17)] оно, однако, не очень сильно отличается от результата кластерного приближения Кикучи (5.52). [c.211]

Функция (5.129), очевидно, стремится к нулю, когда температура Т приближается к критической (5.127) в остальном же правая часть (5.129) очень похожа на результаты, полученные в приближениях среднего поля, квазихимическом и др. Хотя выражение [c.212]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...