Инвариантность потенциальной энергии по отношению

Более общий случай дважды вырожденных колебаний. Рассмотренное нами поведение нормальных координат по отношению к операциям симметрии можно также получить из требования инвариантности потенциальной энергии [c.107]

ЧТО соответствует с точностью до множителя полному импульсу системы. Действительно, инвариантность функции Гамильтона по отношению к этой группе означает, что потенциальная энергия системы зависит только от взаимных расстояний частиц. [c.170]

Получим прежде всего выражение потенциальной энергии системы, для которой выполняется преобразование Галилея. Предположим, что система состоит из двух частиц и мы рассматриваем одномерный случай. Пусть координаты этих частиц будут xi и Х2- Тогда потенциальная энергия U(xi, Х2) будет зависеть только от положения этих частиц. При осуществлении преобразования Галилея потенциальная энергия не должна изменяться, т. е. должна быть инвариантной по отношению к этому преобразованию при трансляции каждой из частиц на величину Ь с постоянной скоростью [c.180]

Это рассуждение легко обобщить на случай N частиц. Потенциальная энергия системы, состоящей из N частиц, будет инвариантна по отношению к переносу, если эту энергию можно представить как функцию только расстояний между частицами [c.181]

Следует подчеркнуть, что сила может быть инвариантна по отношению к трансляции и без того, чтобы сохранился постоянным импульс. Важно, чтобы инвариантной была потенциальная энергия. Импульс сохраняется постоянным только в том случае, когда потенциальная энергия инвариантна по отношению к трансляции. [c.181]

Эти соотношения показывают, что наиболее общее выражение оператора потенциальной энергии системы нейтрон - -протон, симметричного в спинах частиц и инвариантного по отношению к вращениям пространственных и спиновых координат, имеет вид И [c.36]

Теперь надо уточнить, какой точный смысл вкладывается в слова законы и уравнения механики не изменяются при некотором преобразовании . Законы механики, как мы увидим далее, записыраются в виде равенств. В эти равенства в качестве переменных входят координаты, скорости и ускорения материальных точек, подсчитанные по отношению к какой-либо системе отсчета, и функции от этих переменных — координат, скоростей и ускорений. Роль таких функций далее будут играть силы, энергия системы (потенциальная, кинетическая или полная), количество движения (импульс) и иные функции, которые будут введены в рассмотрение в этой и в следующих главах. Говорят, что законы и уравнения механики не меняются при некоторых преобразованиях системы отсчета или что они инвариантны по отношению к этим преобразованиям, если равенства, выражающие законы механики, удовлетворяют следующим двум условиям. [c.45]

Таким образом, для случая движения в потенциальных полях мы получили из теоремы Нётер все законы сохранения, которые были рассмотрены выше. Теорема Нётер вскрыла природу их возникновения, связанную с инвариантностью уравнений движения при различных преобразованиях координат и времени. Закон сохранения энергии является следствием инвариантности уравнений консервативной системы при сдвиге вдоль оси времени, закон сохранения количества движения — результат инвариантности уравнений замкнутой системы по отношению к сдвигам вдоль осей координат, а закон сохранения кинетического момента — результат инвариантности уравнений замкнутой системы по отношению к поворотам вокруг осей координат. [c.293]

Лагранж (1736—1813). Достижения Лагранжа, этого величайшего математика XVIII века, во многих отношениях параллельны работам Эйлера. Лагранж вполне независимо от Эйлера получил решение изопериметрических задач, сделав это совершенно новыми методами. Он разработал для этой цели новое, вариационное исчисление. Он также понял преимущество вариационных принципов в связи с той свободой, которую мы получаем, описывая положение механической системы при помощи выбираемой по нашему усмотре-ншо совокупности параметров ( обобщенные координаты ). Если принцип виртуальных перемещений и принцип Далам-бера позволили рассматривать механическую систему как нечто целое, не разбивая ее на изолированные частицы, то уравнения Лагранжа добавили еще одно, чрезвычайно важное свойство — инвариантность относительно произвольных преобразований координат Это позволило выбирать системы координат, удобные для данной конкретной задачи. В своей Аналитической механике (1788) Лагранж создал новое, необычайно мощное оружие для решения любых механических задач при помощи чистых вычислений, без каких бы то ни было физических или геометрических соображений, при условии, что кинетическая и потенциальная энергии заданы в абстрактной аналитической форме. Относясь к этому выдающемуся результату со своей обычной скромностью. Лагранж писал в предисловии к своей книге Читатель не найдет в этой книге рисунков. Развитые мною методы не требуют ни каких бы то ни было построений, ни геометрических или механических аргументов — одни только алгебраические операции в соответствии с последовательными едиными правилами . Лагранж таким образом создал программу и основания аналитической механики. [c.390]

Изотропная упругая среда характеризуется следующими условиями упругие свойства среды симметричны относительно координатных плоскостей, одинаковы по отношению к каждой из координатных осей, а плотность потенциальной энергии W инвариантна относительно поворота координатных осей. Из этих условий вытекает следующий вид коэффициентов сцкг - [c.10]

Потенциальная энергия V инвариантна по отношению к преобразованию координат, если = или —i , т. е. если нормальное колебание является симметричным или антисимметричным относительно операции симметрии. Действительно, это явлиется единственной возможностью удовлетворить условию инвариантности V, если все (все частоты) различны. Поэтому невырожденные колебания могут быть только симметричными или антисимметричными. Однако в случае равенства друг другу двух или нескольких значений X , т. е. при наличии вырожденного колебания, соответствующие значения могут ивлнться линейными комбинациями S,-. Рассматривая случай двойного вырождения, положим, что и являются двумя вырожденными нормальными координатами и что зависящая от них часть потенциальной энергии имеет вид [c.107]

Обобщение предыдущих результатов. Мы вывели свойства симметрии колебательных собственных функций из свойств симметрии нормальных координат. В действительности, свойства симметрии собственных функций имеют значительно более общий характер и не зависят от предположения о гармоничности колебаний. Потенциальная энергия, даже если она и не является простой квадратичной функцией от составляющих смещений, как в (2,25), должна быть инвариантна по отношению ко всем операциям симметрии, образующим точечную группу, к которой принадлежит молекула. Поэтому уравнение Шредингера (2,40) инвариантно по отношению к этим операциям симметрии и, следовательно, собственная функция относительно этих операций симметрии может либо быть только симметричной, либо антисимметричной, если состояние является невырожденным либо может преобразоваться также и в линейную комбинацию взаимно вырожденных собственных функций, если состояние вырожденно (см. Молекулярные спектры 1, гл. V, 1). Можно показать, что последнему случаю соответствует ортогональное преобразование, при двукратном вырождении имеющее вид (2,75) или (2,76). [c.118]

В гл. 2. мы показали, что любая функция, инвариантная по отношению к оиерации трансляции кристаллической решетки, может быть представлена рядом Фурье по векторам обратной решетки С. Запишем ряд Фурье для потенциальной энергии в виде [c.313]

Дальнейшие соотношения получаются, если использовать тот факт, что потенциальная энергия должна быть инвариантна по отношению к (бесконечно малой) трансляции или вращению кристалла. Пусть трансляция задается как s ai = б ,- ДЛя всех п, а, i и вращение —как s ai a(ui Rnak (6 ift = — б л,)- Тогда при этих [c.132]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...