Колмогоровские торы

Укажем на одну нерешенную задачу верно ли, что в предположениях теорем 3-5 при малых фиксированных значениях параметра ф О гамильтоновы системы не имеют однозначных интегралов соответствующей гладкости В связи с этой задачей интересно отметить, что при малых значениях е гамильтонова система (1,15) с полутора степенями свободы (п = 1) всегда имеет непостоянный непрерывный интеграл. Это вытекает из теоремы А, И, Колмогорова о сохранении условно-периодических движений (см. [12, гл. 5], а также Ю гл, П) при малых значениях е колмогоровские торы образуют совершенное нигде не плотное множество, причем при п = 1 эти торы делят фазовое пространство на связ- [c.185]

Колмогоровские торы образуют гладкое семейство [90], [115], [184]. Сформулируем это утверждение подробнее. Рассмотрим сначала невырожденный случай. Предположим для простоты, что отображение частот / - (/) — диффеоморфизм. Тогда для возмущений класса С , r>3v-i-2>3n—1, существует диффеоморфизм [c.199]

Найденные торы при удалении от резонанса переходят в обычные колмогоровские торы. [c.203]

J е Лд) задают г-мерные инвариантные торы возмущенной гамильтоновой системы с сильно несоизмеримыми частотами. Эти торы называются колмогоровскими они аналитически зависят от е. Колмогоровские торы являются г-мерными инвариантными лагранжевыми многообразиями, поскольку ковекторное поле / = dS/d(p потенциально (см. п. 3 2). [c.124]

При п > 1 дополнение к множеству колмогоровских торов связно, поэтому непостоянную канторову лестницу построить уже нельзя это дополнение всюду плотно в фазовом пространстве возмущенной системы, и любая постоянная на нем непрерывная функция принимает всюду одно и то же значение. В частности, появляется принципиальная возможность наличия траекторий, всюду плотных в связной щели между колмогоровскими торами. Пе исключено, что на самом деле такая ситуация является типичной (обсуждение см., например, в [9]). Отсюда вытекало бы несуществование непостоянных непрерывных интегралов возмущенных вполне интегрируемых гамильтоновых систем. [c.186]

Картина траекторий возмущенной задачи изображена на рис. 16. Более точно, на фиксированном трехмерном уровне интеграла энергии взята секущая двумерная поверхность. На рис. 16 изображены инвариантные кривые отображения последования. Изолированным точкам соответствуют невырожденные периодические траектории, а замкнутым кр"йвым, близким к концентрическим окружностям, — колмогоровские торы. [c.230]

Канонический диффеоморфизм 20 Канонические элементы Делоне 186 Колмогоровские торы 124 Координаты изотермические 139 [c.427]

Инвариантные торы, которые строятся в этой теореме, называются колмогоровскими торами, а их объединение — колмого-ровским множеством. Доказательство теоремы основано на сходящейся процедуре исключения быстрых фаз п. 2.2. В. [c.198]

Пусть задано число V, удовлетворяющее неравенствам п—К < /аг—1. При достаточно малом возмущении класса С частоты движения по колмогоровским торам принадлежат канторову множеству. [c.198]

В рассматриваемой системе фазовое пространство четырехмерно, уровень энергии трехмерен, а колмогоровские торы двумерны и заполняют большую часть уровня энергии. Двумерный тор делит трехмерный уровень энергии (на рис. 42 показано расположение торов на уровне энергии). Фазовая кривая, начавшаяся в щели между дву.мя инвариантными торами возмущенной системы, вечно остается запертой между этими торами. Соответствующие переменные действие вечно остаются около своих начальных значений. Колебания переменных действие не превосходят величины порядка Уе, так как мера щели и отличие тора от невозмущенного (/ = onst) оцениваются величинами такого порядка. [c.201]

Б. Щель между колмогоровскими торами. Опишем структуру щели между колмогоровскими торами, возникающей вблизи заданного резонанса. Для простоты рассмотрим случай полутора степеней свободы (см. замечание к п. З.З.А). Для приближенного описания движения, в соответствии с п. 2.1, усредним возмущение с учетом резонанса Aiiu-I--t-ft2=0. Для /, q — получается гамильтонова систе- [c.202]

Согласно знаменитому высказыванию Гильберта (D. Hilbert), всякая задача вариационного исчисления имеет решение, если только слову решение придать соответствующий смысл [196]. Колмогоровские торы являются экстремалями сформулированного вариационного принципа для систем, близких к интегрируемым, и векторов частот ш с сильно несоизмеримыми компонентами. Какое решение имеет поставленная вариационная задача для систем, далеких от интегрируемых, или для ненормально соизмеримых частот Ответ имеется пока в случае двух степеней свободы (Мазер [169], [170], Обри (S. Aubry) [139]). Решением оказался кaнтopo-тop инвариантное множество, получаемое вложением в фазовое пространство канторова подмножества стандартного двумерного тора. Ниже приводятся более точные формулировки. [c.209]

Мера дополнения к колмогоровскому множеству не превосходит величины порядка Уе. Деформация сохраняющегося тора, т. е. его отличие от невозмущенного тора с теми же частотами условно-периодического движения, зависит от арифметических свойств частот. Если частоты принадлежат Йе, б>х (см. 2 ), то деформация не превосходит величины порядка е/б<Уе [90],[107],[115J, [1841. [c.199]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...