Уравнения движения Лагранжа первого рода

Исходя из своего общего уравнения динамики, Лагранж вывел дифференциальные уравнения движения в двух видах, соответствующих двум видам уравнений статики. Это знаменитые уравнения движения Лагранжа первого и второго рода. Уравнения движения второго рода замечательны тем, что для систем, при движении которых не изменяется их полная механическая энергия (консервативные системы), эти уравнения можно составить, зная общее выражение только двух величин кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Число этих уравнений минимально, оно равно числу степеней свободы системы. Вместе с тем уравнения Лагранжа весьма общи их можно использовать для разных физических систем, если состояние таких систем характеризуется значениями их кинетической и потенциальной энергии. Кроме того, уравнения движения в форме Лагранжа второго рода имеют определенную структуру с математической точки зрения. Поэтому задача их решения (интегрирования) в общем виде является достаточно определенной, чтобы исследовать ее чисто математически. Знаменитый физик Максвелл имел все основания писать в своем Трактате об электричестве и магнетизме , касаясь значения Аналитической механики Лагранжа [c.204]

Уравнения движения Лагранжа второго рода представляют систему п обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка — в них входят обобщенные координаты, их первые и вто рые производные по времени (обобщенные скорости и обобщенные ускорения) и, может быть, явно время t. Эта система линейна относительно обобщенных ускорений и последние могут быть из нее определены через обобщенные координаты, обобщенные скорости и время [c.285]

При реализации первого подхода уравнения движения активного элемента в вакууме записываются в форме уравнений движения Лагранжа второго рода, имеющих в случае учета механических потерь вид [3, 16] [c.28]

Дифференциальные уравнения Лагранжа первого рода движения точки [Ю кривой линии имеют вид [c.257]

Составить уравнения движения точки и определить множитель Лагранжа. Уравнения Лагранжа первого рода в этом случае [c.321]

Эти дифференциальные уравнения называют дифференциальными уравнениями Лагранжа первого рода для движения несвободной материальной точки. Из этих трех дифференциальных уравнений и одного конечного уравнения — уравнения поверхности / х, у, г) = О можно найти четыре неизвестных — координаты точки х, у, ги неопределенный множитель Лагранжа о как функции времени и произвольных постоянных интегрирования. Произвольные постоянные определяются из начальных условий. [c.226]

Динамические уравнения движения несвободной материальной системы, ограниченной двусторонними идеальными (голономными или неголономными) связями, называются уравнениями Лагранжа первого рода. 2. Уравнения голономных связей не содержат никаких производных от координат. [c.20]

Уравнения (IV.219) называются уравнениями Лагранжа первого рода для движения точки по заданной кривой. [c.430]

Дифференциальные уравнения движения системы материальных точек в декартовой системе координат (уравнения Лагранжа первого рода) [c.29]

Действительно, число независимых постоянных интегрирования равно числу независимых первых интегралов или удвоенному числу независимых вторых интегралов уравнений движения. Но кинематические уравнения движения должны удовлетворять уравнениям геометрических и кинематических связей, не зависящим от постоянных интегрирования. Уравнения геометрических связей можно рассматривать как вторые интегралы уравнений Лагранжа первого рода с исключенными множителями kj и рз, а уравнения кинематических связей, соответственно, как их первые интегралы. Итак, среди интегралов рассматриваемой системы уравнений есть к вторых интегралов и I первых, независимых от постоянных интегрирования. Следовательно, число независимых постоянных интегрирования равно 6/г — 2/г — I. [c.34]

Поэтому обычно выбирают иной способ определения движения несвободной материальной системы с интегрируемыми связями, а именно предварительно определяют закон движения точек системы, применяя систему уравнений Лагранжа второго рода (эти уравнения рассматриваются ниже). Из уравнений Лагранжа первого рода определяют реакции связей. [c.36]

В случае наличия неголономных связей применяются особые системы уравнений, позволяющие найти закон движения системы, не определяя вместе с тем реакции неголономных связей. Далее определяются реакции всех связей из уравнений Лагранжа первого рода. При применении уравнений Лагранжа второго рода в случае наличия неголономных связей приходится вместе с законом движения определять реакции неголономных связей. При этом реакции голономных связей находят из уравнений Лагранжа первого рода. [c.36]

В предыдущей главе мы обращали внимание на трудности, возникающие при непосредственном при.менении к решению задач динамики системы уравнений Лагранжа первого рода. Основные теоремы динамики системы позволяют в ряде случаев непосредственно, исходя из условий задачи механики, находить первые интегралы дифференциальных уравнений движения. Иногда эти интегралы движения позволяют найти полное решение задачи. [c.40]

После нахождения закона движения определяются реакции связей. Для этого следует составить систему дифференциальных уравнений Лагранжа первого рода и определить множители связей так, как это было указано в 6. Можно также воспользоваться принципом Даламбера. [c.136]

Общая методика исследования движения системы в этом случае, по существу, не отличается от методики, рассмотренной в 7 при изучении применения уравнений Лагранжа первого рода к нахождению закона движения несвободной системы. Рассмотрим этот вопрос подробнее. [c.136]

Уравнения Лагранжа первого рода могут быть применены для изучения движения точки по поверхности или кривой. Если поверхность, в общем случае как угодно движущаяся и деформирующаяся, задана уравнением [c.387]

Уравнения Лагранжа второго рода представляют собой дифференциальные уравнения движения несвободной системы, составленные в обобщенных координатах. Наибольшее распространение получили уравнения в независимых обобщенных координатах, — их обычно называют уравнениями Лагранжа второго рода, а иногда просто уравнениями Лагранжа, так как уравнениями Лагранжа первого рода пользуются сравнительно редко. [c.394]

Рассмотрим задачу колебаний приведенной массы М = Pig, подвешенной на невесомой нити, и массы M = Pjg, которая создает натяжение нити. Для решения задачи удобно воспользоваться дифференциальным уравнением движения материальной точки в направлении оси у (уравнением Лагранжа первого рода) в форме [c.50]

Заменяя каждое векторное уравнение тремя скалярными, мы можем считать, что уравнения (8) и (9) составляют систему из bN- -d- -g скалярных уравнений с N -d- g неизвестными скалярными величинами х,, у,, г,, Х , Интегрируя эту систему, мы получаем конечные уравнения движения и одновременно из равенств (7) — величины реакций связей. Однако интегрирование такой системы обычно весьма затруднено из-за большого числа уравнений. Поэтому уравнения Лагранжа первого рода практически мало применяются. [c.27]

Каковы будут уравнения движения системы (нить невесома) Искомые уравнения выводятся из принципа Даламбера или из уравнений Лагранжа первого рода. [c.323]

XXX. РЕАКЦИИ СВЯЗЕЙ. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ НЕСВОБОДНОЙ МАТЕРИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ В ДЕКАРТОВЫХ КООРДИНАТАХ (УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА ПЕРВОГО РОДА) [c.291]

Уравнения движения несвободной системы в декартовых координатах (уравнения Лагранжа первого рода). На основании найденных нами выражений (30.15) для реакций связей уравнения движения [c.298]

Уравнения эти носят название уравнений несвободного движения с множителями, или уравнений Лагранжа первого рода. Система уравнений [c.299]

Пример 17.13. Составить уравнение движения системы, описанной в условии примера 17.12, используя уравнение Лагранжа первого рода. [c.31]

Пример ) 17.14. Используя уравнения Лагранжа первого рода, составить уравнения движения системы, состоящей из двух одинаковых материальных точек, находящихся на концах гибких консольных стержней и соединенных между собой жестким невесомым стержнем /—2, опирающимся на колесо, которое катится без скольжения по плоскости ху (рис. 17.13). [c.32]

Здесь j — знак суммирования, а для возможных перемещений, т. е. бесконечно малых мгновенных изменений координат, согласных с уравнениями связи при фиксированном значении времени, применен знак б. Лагранж показывает, что его общая формула динамики дает столько дифференциальных уравнений движения, сколько требуется по условиям любой задачи. Он строит эти уравнения для систем со связями по методу неопределенных коэффициентов и получает аналогичные статическим уравнения Лагранжа первого рода , в которые явно входят реакции связей. Он дает и вторую открытую им форму уравнений движения — уравнения Лагранжа второго рода , вводя обобщенные координаты и скорости (это одно из его самых замечательных открытий в механике). Посредством анализа общей формулы (Ь), с использованием многих положений, установленных в статике, выводятся общие свойства движения . Это не что иное, как доказательство общих теорем динамики системы теоремы о движении центра инерция, теоремы моментов , теоремы живых сил . [c.156]

В силовой механике применяется принцип освобождаемости от связей , согласно которому в уравнения движения включаются реакции связей. В случае идеальных связей для представления реакций используются неопределённые множители Лагранжа (первая форма уравнений Лагранжа или, иначе, уравнения Лагранжа первого рода). Для несвободного движения материальной точки на сфере имеем уравнения [c.86]

Идеальные связи и идеальные реакции. Восходящий к Лагранжу классический способ составления уравнений несвободного движения состоит в том, что реакции представляются в виде произведений неопределённых множителей и коэффициентов в уравнениях для виртуальных вариаций (уравнения Лагранжа первого рода). Неопределённые множители (соответственно и реакции), найденные с помощью уравнений связей, в каждый момент времени зависят от положений, скоростей и масс материальных точек. Полученные таким путём реакции идеальных связей для сокращения записей будем называть идеальными реакциями (идеальных связей). В невырожденных случаях идеальные реакции обеспечивают траектории, не нарушающие условия идеальных связей. [c.234]

Замечание 5.1. Если ввести те или иные обобщенные координаты (например, углы Эйлера, определяющие ориентацию подвижной системы координат по отношению к неподвижной, и координаты центра масс тела в неподвижной системе координат), то системе (60)-(62) будут отвечать уравнения движения в форме уравнений Лагранжа первого рода при этом роль неопределенных множителей играют проекции вектора R, а уравнения (63) представляют собой уравнения связей (одно интегрируемое + (г у) = О и два неинтегрируемых). [c.448]

Как уже отмечалось, уравнения Лагранжа с реакциями-связей дают возможность найти и положение точек системы, и реакции связей как функции времени. Однако на практике часто не нужна столь подробная информация о механической системе, а требуется найти лишь закон движения точек по связям. Для разрешения таких задач необходимы уравнения движения, которые в качестве неизвестных содержат только независимые координаты. С другой стороны, эти уравнения должны полностью учитывать влияние связей на систему. Такие уравнения существуют и называются уравнениями Лагранжа в независимых координатах (или уравнениями Лагранжа второго рода). Значение этих уравнений не исчерпывается применением к указанному типу задач. Если требуется определить реакции связей, зачастую проще с помощью уравнений Лагранжа второго рода определить закон движения системы, а затем с помощью уравнений Лагранжа первого рода найти реакции связей. Уравнения Лагранжа второго рода имеют большое значение и для свободных систем. В этом случае они [c.214]

Уравнение (28.2) называют также общим уравнением динамики голономных систем. Действительно, если уравнение (28.2) принять в качестве основной и единственной аксиомы, то простыми преобразованиями из него можно получить любые уравнения движения несвободной механической системы, т. е. как уравнения Лагранжа первого рода (26.11), так и уравнения Лагранжа в обобщенных координатах. [c.160]

Основным различием между уравнениями Лагранжа первого и второго рода систем с конечным числом степеней свободы является то, что уравнения Лагранжа первого рода содержат компоненты реакций связей, а уравнения Лагранжа второго рода эти компоненты не содержат. Достигнуть исключения компонент реакций геометрических и интегрируемых кинематических связей из уравнений движения системы с конечным числом степеней свободы можно, введя соответствующим образом выбранные обобщенные координаты. Если выразить позиционные координаты системы через целесообразно выбранные обобщенные координаты, уравнения геометрических и кинематических интегрируемых связей должны быть тождественно удовлетворены. Это позволяет отделить задачу определения закона движения системы от задачи определения реакций связей [40]. Если на систему наложены кинематические неинтегрируемые связи, задача осложняется, хотя и здесь можно локально достигнуть исключения компонент реакций связей посредством введения неголономных координат (квазикоординат), но полное разделение исследования движения несвободной системы на определение закона движения и определение реакций связей возможно лишь в частных случаях. [c.56]

Как видно из предыдущего, существует система переменных поля — укороченная система функций кинетических напряжений, позволяющая устранить из уравнений движения совокупности членов с множителями Лагранжа что эквивалентно устранению реакций связей первого и второго рода и переходу от уравнений Лагранжа первого рода для сплошной среды к аналогам уравнений Лагранжа второго рода. [c.59]

В книге рассмотрены основные понятия, к которым принадлежат представления о внутренних связях, уравнения движения Лагранжа первого и второго рода, а также квазиканонические уравнения движения непрерывных сред. [c.3]

Эти дифференциальные уравнения называют дифференциальными уравнениями Лагранжа первого рода для движения неввободной материальной точки. Из этих трех дифференциальных уравнений и одного [c.245]

Если в некоторый момент времени / = 1 некоторые множители связей обращаются в нуль, а затем становятся отрицательными, или левые части уравнений каких-либо связей становятся положительными, то это означает, что в этот момент времени система оставляет упомянутые связи. Тогда найденные ранее интегралы уравнений Лагранжа первого рода пригодны лишь на интервале времени от начального момента / = ДО момента i = ,. В момент времени I = оканчивается первый этап движения системы с односторон-ними связями. После момента t — = следует полагать в уравнениях Лагранжа первого рода множители связей, оставленных системой, равными пулю и интегрировать укороченную сТгстему. Начальные условия для этого этапа определяются из найденных ранее интегралов движения. [c.35]

Уравнения (7) называются дифференциальными уравнениями криво--шнвйного движения несвободной материальной точки в проекциях на оси декартовой системы координат, или уравнениями Лагранжа первого рода. Эти уравнения и уравнение связи (4) представляют собой систему четырех уравнений, из которых могут быть определены четыре неизвестных функций времени х, у, г, а. В результате найдем закон движения точки, а по формуле [c.481]

Математическое преобразование требования (39.4) повторяет гауссово (ср. выше) и на основании условий варьирования, установленных на стр. 280 в пп. а) и б), приводит, очевидно, к уравнениям Лагранжа первого рода (при rrik = 1) для свободного движения. [c.283]

Предварительные замечания. Вопрос об определении движения несвободной материальной системы без неинтегрируемых связей может быть решён двояким путём или исчтегрированием уравнений движения, содержащих множители связей, а именно уравнений Лагранжа первого рода ( 177), когда система координат декартова, и уравнений, аналогичных названным, когда система координат произвольная ( 189), или интегрированием уравнений Лагранжа второго рода в независимых координатах ( 191). Последние уравнения быстрее и непосредственнее приводят к цели в них число переменных доведено до надлежащего минимума, поэтому и произвольных постоянных интеграции появляется наименьшее число. Интегрирование уравнений с множителями значительно сложнее число переменных в них превышает Необходимое, а потому и число произвольных постоянных интеграции больше, чем нужно для искомого движения ( 119, 121, 177, 189). Но зато движение системы определяется [c.461]

В этой глаие мы начнем с рассмотрения связей, наложенных на систему мы покажем, что связи можно ввести как предельный случай обычной потенциальной энергии. Затем обсуждается принцип Д Аламбера и на его основе выводятся уравнения Лагранжа первого рода, которые используются в нескольких простых примерах. Выводится вариационный принцип Гамильтона, с помощью которого получаются уравнения Лагранжа второго рода, после того как вводятся обобщенные координаты. После этого рассматриваются циклические координаты, функция Рауса и скрытые массы. Далее кратко обсуждаются неголоном-ные и неинтегрируемые связи и потенциалы, зависящие от скорости специально рассмотрен случай движения заряженной частицы в электромагнитном поле. В конце главы обсуждается связь между бесконечно малыми преобразованиями координат и законами сохранения. [c.38]

Рассмотреть движение точечной частицы на иаклоиноП плоскости в однородном поле тяжести с помощью уравнений Лагранжа первого рода. [c.66]

Используя уравнения Лагранжа первого рода, рассмогрсгь движение частицы, ограниченной в своем движении линией пересечения поверхности сферы п заданной плоскости. [c.66]

Итак, реакции идеальных голономных связей являются линейными формами относительно градиентов функций /а(а=1, 2,. ... .., й), определяюи их уравнения связей (5.10). Подставляя (5.17) в (5.6), получим уравнения движения механической системы с голономными идеальными связями, т. е. уравнения Лагранжа с реакциями связей или уравнения Лагр-анжа первого рода [c.209]