Уравнения движения в лагранжевых координатах

Уравнения движения в лагранжевых координатах [c.523]

Глава 7. Уравнения движения в лагранжевых координатах [c.524]

Система сил голономная, уравнения движения в лагранжевых координатах 287 [c.430]

Первое доказательство, содержащееся, например, в [35, 59], принадлежит О. Коши. Исходя из записи уравнений движения в лагранжевых координатах (1.40) он свел их, по существу, к уравнению [c.40]

Некоторые классические задачи. Позже (в 6.2) мы выведем уравнения Лагранжа, описывающие движение механической системы в лагранжевых координатах. Однако уже сейчас мы можем решить некоторые важные задачи, не пользуясь уравнениями Лагранжа. Рассмотрим пять задач. Четыре из них (примеры 5.2А, 5.2В, 5.2С и 5.3) могут быть решены с помощью одних только законов сохранения энергии (3.4.5) и сохранения момента количества движения (3.2.12). В последней задаче ( 5.4, 5.5, 5.6) мы используем также уравнения движения в декартовых координатах. [c.61]

Таким образом, замкнутая система уравнений МСС в лагранжевых координатах определяет (вместе с начальными и граничными условиями) две искомые функции вектор-функцию х = = ф(х, О н скалярную функцию Г(х, 1), т. е. закон движения физических частиц и.температуру. Все другие функции, представляющие теоретический или практический интерес, являются заданными операторами по (х, t) от <р(х, t) и 7 (х, /), например деформации (ИЛ), напряжения (11.5),, критерии разрушения в твердых телах, условия начала турбулентности, отрыва потоков в жидкостях и газах и т. п., и могут быть найдены. [c.161]

Лагранжевы дифференциальные уравнения движения в обобщенных координатах [c.342]

Лагранжева формулировка уравнений движения полезна для описания континуальных консервативных систем в той же мере, что и для систем сосредоточенных масс, в особенности для уравнений движения в криволинейных координатах. Для системы частиц с п степенями свободы уравнения Лагранжа представляют собой систему п обыкновенных дифференциальных уравнений, в которых время является независимой переменной. Функция Лагранжа в общем случае зависит от п обобщенных координат и от их производных по времени (обобщенных скоростей). Для континуальной консервативной системы, частным случаем которой является упругое тело, уравнения Лагранжа представляют собой систему дифференциальных уравнений в частных производных по времени и по трем пространственным координатам в большинстве случаев все три уравнения независимы. Функция Лагранжа в них зависит от обобщенных координат, обобщенных скоростей и от производных от обобщенных координат по пространственным переменным. Конкретная форма уравнений зависит от системы координат, к которой отнесены пространственные производные. Простейшая форма имеет место в том случае, когда применяется декартова система координат [c.87]

Применим метод обобщенных координат для получения дифференциальных уравнений движения из общего уравнения механики. Метод обобщенных координат приводит к исключительно важному результату. Он дает общий вид дифференциальных уравнений движения в обобщенных координатах, называемых уравнениями Лагранжа (второго рода). Эти уравнения позволяют для каждой задачи на несвободную систему пользоваться наиболее удобными и естественными величинами при описании движения системы, исключая из рассмотрения связи и силы реакции. Лагранжевы уравнения оказываются полезными и для свободных тел и точек, так как имеют инвариантную (скалярную) форму во всех системах координат, а это позволяет легко составить уравнения в наиболее удобной системе координат, не пользуясь громоздкими формулами перехода (например, от декартовых к сферическим). [c.180]

Используя теорему 7.1.1, можно построить систему дифференциальных уравнений движения, в которой искомыми переменными будут лагранжевы координаты и которые будут учитывать действие дополнительных дифференциальных связей. Эти связи мы будем предполагать независимыми, так что после очевидных преобразований и соответствующей перенумерации переменных уравнения связей можно представить в виде [c.526]

Принцип Гамильтона. Простейший из вариационных принципов динамики — принцип Гамильтона — уже был установлен нами в 3.7. Этот принцип допускает формулировку в любых координатах, в 6.3 мы выразили его в лагранжевых координатах и вывели из него лагранжевы уравнения движения. [c.529]

Наконец, необходимо указать, что вне классической механики, особенно там, где отыскиваются уравнения поля, а не уравнения движения в точном смысле слова, теряет смысл характерное для классического принципа Гамильтона разделение на кинетическую и потенциальную энергию. Здесь речь может идти о лагранжевой функции, зависящей от некоторых координат , их первых производных и времени. Возможность разделения лагранжевой функции на две функции Т = Т(д, ( ) и V = У(д, I) отнюдь не является существенной и не имеет общего значения в физике. [c.867]

Уравнения движения в форме Лагранжа. Обозначим через а, Ь и с компоненты вектора Го = г( о) (или их однозначные функции) я перейдем в уравнении (2) п. 3.43 к лагранжевым координатам. Для этого заменим в уравнении (2) п. 3.43 ускорение dq/dt его лагранжевым выражением [c.618]

Пусть имеем уравнения движения голономной механической системы с п степенями свободы в лагранжевых координатах [c.168]

Соотношения (13 9) представляют просто преобразования соотношений (13.3) от базиса е - к базису э . Уравнения движения сплошной среды в лагранжевых координатах, имеющие вид (8.8) или, после умножения его на [c.184]

Следствие. Изменение локальных координат д = = д ,. . ., 9 ) точки у I) при движении в лагранжевой системе на многообразии М удовлетворяет уравнениям Лагранжа [c.77]

Уравнения плоского движения газа в лагранжевых координатах приобретают простую форму. Уравнение непрерывности, записанное относительно удельного объема 7 = 1/р и единственной, х-й, компоненты скорости и, есть [c.16]

Уравнения автомодельного движения удобно решать в лагранжевых координатах. Подставим выражения (12.71) и (12.74) в соответствующие уравнения газовой динамики [c.666]

ЛАГРАНЖЕВЫ УРАВНЕНИЯ РАВНОВЕСИЯ И ДВИЖЕНИЯ 124. Уравнения равновесия в обобщенных координатах [c.331]

Найти характеристическую форму уравнений одномерного движения газа в лагранжевых координатах (см. задачу 2). [c.214]

Уравнение (1.53)—одна из форм уравнения количества движения при переходе через поверхность разрыва. Для твердого тела это векторное уравнение, так как твердое тело может воспринимать касательные напряжения. Для невязкой жидкости только нормальные компоненты [о,] являются ненулевыми. Заметим, что в лагранжевых координатах при переходе через ударную волну уравнение неразрывности не нужно выписывать в явном виде. [c.29]

Здесь, как и в последующих уравнениях, производная по времени представляет собой субстанциональную производную d/dt, но ее лучше записать в виде частной производной d/dt, чтобы подчеркнуть, что она берется при т тл. а = onst, т. е. для заданной частицы с определенной лагранжевой координатой т или а. Уравнение движения в лагранжевых координатах имеет вид [c.17]

Получить уравнения движения голономной системы с идеальными связями можно, воспользовавщись теоремой 7.1.1 о форме принципа Даламбера-Лагранжа в лагранжевых координатах. Основное [c.539]

В начале развития динамики неголономных систем дифференциальные 93 уравнения движения были выведены в различном виде Остроградским, Феррерсом и Раусом. Общая методика интегрирования этих уравнений не была разработана, а их структура, связанная с наличием декартовых координат или множителей неголономных связей, создавала значительные трудности при решении конйретных задач (о качении твердых тел). Таким образом,в конце XIX в. проблема составления динамических уравнений неголономной механики в лагранжевых координатах без множителей связей типа уравнений Лагранжа второго рода была вполне актуальной. [c.93]

А. Пшеборский для нелинейного случая, но при линейных относительно ускорений неголономных связях второго порядка вывел уравнения типа Маджи, выраженные в декартовых координатах. Последнее обстоятельство создает определенные неудобства и в известном смысле ограничивает общность его метода. Для рассматриваемого общего случая дифференциальные уравнения движения системы в лагранжевых координатах в форме Воронца — Гамеля, Аппеля — Гиббса и Ценова установил М. Ф. Шульгин 2. Р. Казанину принадлежит любопытная идея преобразования уравнений нелинейных реономных неголономных связей любого порядка в уравнения линейных склерономных связей первого порядка путем введения надлежащих новых параметров. Эта идея, как показывает Казанин, оказывается плодотворной, например, при составлении динамических уравнений движения системы и решении задачи об определении реакций связей. [c.99]

В 7.4 идеология лагранжевой и гамильтоновой механики обобщается на случай гинердвижения тела неременной массы. Получены уравнения движения в обобщенных независимых координатах нри наличии идеальных голономных связей. Вторая часть параграфа отведена гамильтоновой форме записи уравнений гинердвижения тела переменной массы (в канонических переменных). [c.207]

Хиклинг и Плессет [16] получили на быстродействующей ЭВМ решения для схлопывания газовой каверны в сжимаемой жидкости без учета вязкости и поверхностного натяжения. Они рассчитали движение стенки пузырька и распределения скорости и давления в окружающей жидкости, а также описали повторное образование каверны и возникающую при этом ударную волну, распространяющуюся в жидкости. Движение до момента достижения минимального радиуса было рассчитано методом Гилмора, основанным на гипотезе Кирквуда—Бете и решениях уравнений движения как в лагранжевых координатах, так и в виде характеристик. Начальными условиями последних двух точных решений служило движение стенки пузырька в дозвуковом диапазоне ( //С 0,1), рассчитанное методом Гилмора. Это позволяло значительно сократить время счета, которое требовалось бы при использовании точного метода расчета движения от его начала. После достижения минимального радиуса течение жидкости в области повторного возникновения пузырька до момента образования ударной волны рассчитывалось в лагранжевых координатах. [c.154]

Перечисленные и другие простые следствия непрерывной диф-ференцируемости закона движения х=<р(х, t) при внимательном их анализе оказываются очень полными и содержательными для исследования физических свойств, термодинамики и уравнений состояния тела. Выбранная в начальный момент в лагранжевых координатах частица, скажем, в виде кубика фиксированных малых размеров, движется и деформируется так стенки кубика остаются плоскими непроницаемыми для внутренних частиц, относительное движение которых однородно (аффинно) и полностью определяется удлинениями ребер и изменениями относительных углов наклона граней косоугольного параллелепипеда, в форме которого кубик пребывает в любой момент 1>и. Следовательно, содержимое частицы представляет как бы замкнутую равновесную систему в смысле статистической механики (гл. I). Состояние такой системы зависит от внешних параметров и температуры, т. е. от положения и движения границ частицы, т. е. от эво-люции во времени векторов лагранжева репера Эг(1) ( =1, 2, 3) или эволюции аффинора A(t). Но ясно, что Эг(0 и Л(t), кроме собственно деформации частицы (параллелепипеда), включают и переносное движение, что собственно деформация определяется метрическим тензором лагранжева репера Э1(1) ( ==1, 2, 3) с симметричной квадратной матрицей [c.71]

Выведем уравнения движения вязкой жидкости в лагранжевых координатах Хь Хг, Хз, принимая за искомые функции = ==Хг(х1, Х 2, Хз, t) (или Н =Хг—х ) И имбя В деформированном состоянии (в момент t) вмороженные криволинейные координаты XI, базисы и метрические тензоры ( 4) [c.195]

Соотношение (2.1) показывает, что на временах, принадлежащих инерционному интервалу, диффузия частицы в пространстве пассивной примеси является в главном приближении процессом с некоррелированными приращениями. На основании (2.1) в [1] сделан вывод о локальной аналогии броуновского движения и движения частицы в пространстве 2 , что подтверждает корректность использования диффузионного соотношения (1.6). Эти предположения имеют некоторое сходство с известной гипотезой Обухова [16], рассматривавшего турбулентную диффузию частицы в лагранжевых координатах. Гипотеза о марковском характере движения частицы в фазовом пространстве скоростей Vp t) основана на соотношении инерционного интервала ((Av (ed) Ai, где ed диссипация турбулентной энергии. Эта гипотеза встретила возражения Бэтчелора [16], считавшего, что согласование соотношения инерционного интервала с оценкой дисперсии положения частицы в пространстве скоростей, которая следует из уравнения Фоккера-Нланка (прямого уравнения Колмогорова, описывающего диффузионный марковский процесс) - просто результат совпадения. Вопрос о сходстве и различиях диффузии частицы в пространстве скоростей и марковского процесса подробно проанализирован в [6]. Для целей данного исследования удобнее изложить эти аргументы, вернувшись к рассмотрению корреляции Кр. [c.399]

Условия совместности Выражения (1.27), (1.28) (эйлерово описание), а также (1.36) и (1.37) в лагранжевых координатах дают компоненты тензоров конечных деформаций через производные вектора смещений. В то же время в большинстве задач теории упругости приходится находить вектор смещений по известным компонентам тензора деформаций. Это связано с тем, что дифференци альные уравнения движения упругого тела формулируют для компонент вектора смещений, а граничные условия часто задают для компонент тензора деформаций (см. 14, 15). При этом возникает вопрос, возможно ли из системы шести дифференциальных уравнений в частных производных (если считать заданными) определить три непрерывных компоненты вектора смещения. Ясно, что если решение этой системы существует, то компонентами тензора деформаций не могут служить произвольно заданные функции. Чтобы обеспечить интегрируемость системы шести дифференциальных уравнений, необходимо ввести определенные ограничения на выбор функций . Эти ограничения для линейного тензора деформаций впервые были получены в 1860 г. Б. Сен-Венаном [c.78]

Уравнения в лагранжевых координатах. Для одномерных движений газа принимается следуюшее определение лагранжевой координаты. [c.142]

Приведем для справок одномерное волновое уравнение в лагранжевых координатах (см. 1 гл. 1). Для баротропного движения р=р р) и, учитывая, что др1да=с др да, получим [c.36]

Напишем раньше всего точные уравнения для одномерной задачи в лагранжевых координатах. Масса элемента среды, заключенного между плоскостями а и а + da, равна Poda, где Ро — невозмущенная плотность среды. Давления на плоскостях, ограничивающих элемент, равны соответственно р и р p du, значит, результирующая сила, действующая на данный элемент, равна —Pada. Обозначая смещение элемента через = g (а, /), получим уравнение движения элемента в виде [c.414]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...