Движение абсолютное Лагранжа

Уравнениями Лагранжа, как уже указывалось, можно пользоваться для изучения движения любой механической системы с геометрическими или сводящимися к геометрическим (голономными) связями, независимо от того, сколько тел (или точек) входит в систему, как движутся эти тела и какое движение (абсолютное или относительное) рассматривается. [c.379]

Полученная система уравнений движения носит название системы уравнений Лагранжа второго рода. В дальнейшем будет показано, что к такой форме приводятся дифференциальные уравнения для лагранжевых координат произвольной голономной системы материальных точек. В случае движения абсолютно твердого тела первые три обобщенные силы имеют смысл проекций суммарной силы на оси абсолютного репера, а последние три — моментов сил относительно осей е, , е ,, соответственно. [c.453]

С помощью переменных Лагранжа легко записать уравнения Гельмгольца, которые вместе с уравнениями несжимаемости составляют условия динамической возможности движения абсолютно несжимаемой жидкости. [c.58]

Условия динамической возможности движения абсолютно сжимаемой жидкости в форме Эйлера, полученные А. Фридманом, оказались очень полезными при решении различных задач гидродинамики абсолютно сжимаемой жидкости. Поэтому в настоящей работе мы устанавливаем эти условия и в форме Лагранжа в то же время мы показываем, как можно приложить эти условия к решению частных задач гидродинамики абсолютно сжимаемой жидкости, задач, для которых форма Лагранжа представляет особые преимущества. [c.58]

Проиллюстрируем составление уравнений Лагранжа 2-го рода на следующем простом примере (рис. 4.11). Система состоит из повозки массы пц, которая может перемещаться на двух одинаковых катках, по горизонтальной плоскости. Массы катков равны радиусы —Гз, моменты инерции относительно оси вращения — /., (мы уже указывали на то, что понадобится знание простейших характеристик и мер движения абсолютно твердого тела). К повозке прикреплен точечный маятник массы подвешенный на нерастяжимой и невесомой нити длины I. Предположим, что катки не могут скользить по плоскости и что трение в точке подвеса маятника и в осях катков отсутствует. Система находится в однородном поле тяжести. [c.213]

Определим коэффициент диффузии пузырька как произведение интенсивности абсолютного хаотического движения пузырька на лагранжев масштаб движения пузырьков [31] [c.85]

Первый путь. Неинерциальный наблюдатель мог бы и в более сложном случае (например, при наличии механических связей) рассуждать так, как это делали мы выше в разобранном примере. Именно, он мог бы, составив полную кинетическую энергию (в абсолютном движении ), выразить ее через свои относительные координаты и скорости (рассматривая переносные скорости своей системы как заданные функции времени ) и воспользоваться затем уравнениями Лагранжа в их обычной записи. На [c.163]

Замечание, При применении уравнений Лагранжа второго рода к задачам на относительное движение, а также к задачам с нестационарными связями кинетическую энергию материальной системы следует вычислять в ее абсолютном движении при нахождении обоб щенных сил нужно исходить из того, что связи считаются мгновенно остановленными. [c.60]

Уравнения (44.12) и (44.14), полученные из принципа Лагранжа— Даламбера, необходимы и достаточны для описания движения свободного абсолютно твердого тела. [c.64]

Наряду с изложенным методом большое практическое значение при составлении уравнений относительного движения имеет также метод уравнений Лагранжа, идея применения которых в динамике относительного движения совершенно естественна. Поскольку движение относительной системы по отношению к абсолютной задано, абсолютные координаты (декартовы или обобщенные) движущейся системы точек могут быть выражены как функции от относительных координат и времени. Принимая последние за независимые обобщенные координаты системы, составим уравнения Лагранжа реп. ая их, найдем относительные координаты как функции от времени, т. е. уравнения относительного движения. [c.424]

Желая использовать в рассматриваемом случае метод уравнений Лагранжа второго рода, составим выражение кинетической энергии в абсолютном движении [c.429]

Уравнения Лагранжа второго рода в абсолютном движении будут [c.430]

Если стержень нерастяжим, то w зависит только от времени (от а не зависит). В этом случае при изучении движения участка стержня постоянной длины, находящегося между точками А и В, переменные Лагранжа неудобны. Нас интересует поведение участка стержня между точками А и В ъ целом, а не элемента стержня т. Для большей наглядности метода Эйлера представим, что стержень находится в абсолютно гибкой безынерционной трубке, тогда для описания движения участка стержня между точками А и В достаточно знать положение трубки во времени и внутренние силовые факторы в стержне (в фиксированном сечении трубки). Такое разделение движения на переносное (скорость V) и относительное (скорость у) весьма эффективно при изучении, например, динамики стержней (трубопроводов), заполненных движущейся жидкостью. В этом случае движение жидкости рассматривается совместно с движением стержня. Если жидкость несжимаема, то относительная скорость при заданном расходе не зависит от движения стержня. [c.18]

Для решения поставленной задачи рассмотрим абсолютное движение жидкости. Удобней всего воспользоваться уравнением движения в форме Лагранжа в любых криволинейных координатах [c.33]

Первый способ, не связанный с теорией относительного движения. Для нахождения относительного движения системы по отношению к осям Охуг, совершающим известное движение, достаточно применить уравнения Лагранжа к абсолютному движению, выбирая в качестве параметров переменные Як- опреде- [c.309]

Первый способ не связан с теорией относительного движения. Здесь задача формулируется без введения сил инерции. Кинетическая энергия абсолютного движения системы выражается через относительные обобщенные координаты и относительные скорости точек системы. Обобщенные силы вычисляются обычным способом (для заданных активных сил). В этом способе силы инерции учитываются автоматически самой процедурой выписывания уравнений Лагранжа. [c.282]

Наконец, наблюдения над электромагнитными и электродинамическими дальнодействиями замкнутых электрических токов привели к выражениям для пондеромоторных и электромоторных сил, которые во всяком случае примыкают к выражениям, которые Лагранж дал для механики весомых тел. Первым, кто дал такую формулировку для законов электродинамики, был Ф. Нейман ) (старший). Электрические токи, т. е. количество электричества, которое в единицу времени проходит через элемент поверхности, ограниченный материальными частицами проводника, рассматриваются им как скорости. Позже В. Вебер и Клаузиус дали другие формы, в которых вместо скоростей тока фигурируют относительная или абсолютная скорости количеств электричества в пространстве. Для замкнутых токов следствия из этих разных формулировок во всем совпадают. Они оказываются различными для незамкнутых токов. Накопленные в этой области факты показывают, что закон Неймана недостаточен, если, применяя его, принимать в расчет только движение электричества, происходящее в проводнике. Нужно, кроме того, принять во внимание также рассмотренные Фарадеем и Максвеллом движения электричества в изоляторах, которые имеют место при возникновении или при исчезновении в них диэлектрической поляризации. Если таким путем расширить закон Неймана, то под него подойдут и экспериментально изученные до сего времени действия незамкнутых токов. [c.433]

Исследование поведения ротора на переходных режимах связано с решением дифференциальных уравнений нестационарных колебаний. В качестве динамической системы рассмотрим вал (рис. 1), лежащий на двух опорах, с диском, расположенным посередине. При составлении уравнения движения массу вала и гироскопический момент диска исключаем из рассмотрения. Опоры ротора считаем абсолютно жесткими. Подставляя выражение для кинетической и потенциальной энергии и диссипативной функции в уравнение Лагранжа, получим уравнение движения такой одномассовой системы в виде [c.120]

Ускорение измеряется в инерциальной системе координат, относительно Земли, так как мы определяем абсолютное ускорение относительно базы. Таким образом, если в соответствии с методом механического импеданса [50], мы изобразим обычную одномерную механическую систему (неявно используя электрическую аналогию), то все массы будут находиться в параллельных ветвях и замыкаться одним условным контактом (называемым недоступным) на нулевую шину — Землю, в то время, как пружины и демпферы, образуют свои силы, как на абсолютных, так и на относительных перемещениях и скоростях, т. е. могут помещаться как в последовательной, так и в параллельной ветвях цепи. Поэтому создание фильтра-пробки в последовательной ветви электрической цепи с помощью параллельных индуктивности и емкости, в механической цепи, казалось бы, невозможно за счет того, что нельзя в последовательной ветви механической цепи разместить параллельные пружину и массу, так как масса не может создать силу на относительном ускорении. Однако это становиться возможным, если исходить из механики Лагранжа, где описывается динамика связанных механических систем и возможно дополнительное действие присоединенных инерционных элементов, используя которые мы создадим инерционные силы на относительном ускорении в направлении виброизоляции с помощью преобразования движения этих элементов [52, 53. [c.14]

Нетрудно убедиться (используя, например, теорему о движении центра масс системы или уравнения Лагранжа второго рода), что дифференциальное уравнение, описывающее абсолютные колебания тела /, можно записать в виде [c.93]

В учебных курсах по теоретической механике уравнениям Лагранжа второго рода уделяется значительное внимание. Уравнения Лагранжа дают эффективный аппарат составления уравнений движения различных голономных систем. Зачастую эти уравнения используются для изучения относительного движения механических систем. В определенных случаях для составления выражения кинетической энергии Т абсолютного движения требуется гораздо больше преобразований (выкладок), чем для составления выражения кинетической энергии относительного движения тМ. Поэтому целесообразнее в указанных случаях использовать уравнения Лагранжа для относительного движения [ 1] — [ 5 ], в которых вместо Т фигурирует функция Т( ). [c.22]

Заметим, что обобщенными координатами qi (i =1,2, п) можно описать как абсолютное, если считать заданным движение подвижной системы координат так и относительное движение системы. Пусть координаты qi определяют положение системы Mi, М2, Л/дг по отношению к подвижным осям координат Ofr/f. Тогда из уравнений Лагранжа (1) непосредственно получаем [c.24]

Очевидно, седловая точка будет отсутствовать также при достаточно малой абсолютной величине коэффициента Ь (движение, близкое к случаю Лагранжа). Действительно, если [c.75]

Вообще говоря, в абсолютном движении система имеет пять степеней свободы, но в силу того, что реакция плоскости при идеальном скольжении ей перпендикулярна, сохраняются две проекции импульса системы на эту плоскость. Выбирая систему координат, жестко связанную с телом с началом в центре масс (тем самым исключая его горизонтальное равномерное прямолинейное смещение) для движения в потенциальном поле /7(7) получим функцию Лагранжа [c.67]

Движение апекса волчка Лагранжа в абсолютном пространстве (рис. 21) может быть получено из канонических уравнений движения волчка в углах Эйлера после редукции Рауса по углу собственного вращения ip. [c.105]

Замечание 6. Аналог случая Гесса при движении твердого тела по абсолютно шероховатой плоскости (неголономная система) до сих пор не найден. Тем не менее обобщение задачи Лагранжа о качении осесимметричного тела по плоскости существует и проинтегрировано С. А. Чаплыгиным [122]. [c.253]

В заключение этой главы представим уравнения поступательно-вращательного движения в абсолютных осях (8.7) в канонической форме, что, очевидно, возможно, так как упомянутые уравнения являются следствиями уравнений (8.5), которые суть уравнения Лагранжа второго рода. [c.410]

В п. 396 установлено, что независимые координаты 9, ф,. .., используемые в уравнениях Лагранжа, должны быть выбраны так, чтобы все координаты тел в системе могли быть выражены через них, но не зависели бы от 0, ф, . .. Однако необходимо обратить внимание на то, что когда рассматривается, например, движение тела, катящегося по абсолютно шероховатой плоскости, условие равенства нулю относительной скорости точек контакта может быть иногда выражено уравнением, которое (как уравнение в п. 137) необходимо включает производные координат. В отдельных случаях уравнение, выражающее это условие, интегрируемо. Например, когда шар катится по шероховатой плоскости (как в п. 144), это условие х — а0 = О после интегрирования принимает вид л — а0 = Ь, где Ь — некоторая постоянная. Это условие можно использовать в качестве одной из геометрических связей, наложенных на движение, понижая таким образом на единицу число независимых переменных. [c.367]

Непосредственно эти уравнения для исследований употребляются очень редко. В общем случае необходимо заменить абсолютные координаты уи 2 другими переменными, например, 41 9г. 9ап. при помощи соотношений, в которые может входить и время. Прямой вывод дифференциальных уравнений для новых переменных сложен, но эта вычислительная работа значительно упрощается благодаря найденной Лагранжем общей форме уравнений движения. [c.38]

Формальное преимущество уравнений движения Лагранжа состоит в том, что необходимо выразить только живую силу Т через новые координаты, которые вводятся вместо абсолютных, чтобы затем простым (частным) дифференцированием получать диффе ренциальные уравнения в новых переменных. [c.40]

Теория векторов, помещённая в начале в качестве введения, представляет собой подробное изложение геометрии системы скользящих векторов. Кинематика точки и абсолютно твёрдого тела содержит обширный и интересный материал автор уделяет много места исследованию движения в криволинеймых координатах, а также геометрической картине движения абсолютно твёрдого тела. Изложение динамики также отличается полнотой и глубоким анализом особенно подробно автор останавливается на аналитическом исследовании различных типов связей, что является характерной особенностью его курса. Весьма интересна глава, посвящённая обнхим началам (принципам) механики, где автор даёт достаточно полное систематическое изложение принципов Даламбера, Гаусса, Гамильтона, Лагранжа и принципа Гельмгольтца, который можно найти только в мемуарной литературе. [c.658]

Указанным путем уравнения Лагранжа составляются независимо от того, рассматривается ли абсолютное (по-отношению к инер-циальной системе 01счета) или относительное движение механической системы. Но в последнем случае возможен и другой путь, а именно кинетическую энергию системы определять в ее относительном движении, но зато при нахождении обобщенных сил присоединить к силам, действующим на систему, переносные силы инерции (чего при использовании первого пути делать не надо). [c.380]

Из этих формул мы делаем заключение, что переменные , Т1, являются голопомными переменными, определяющими положение материальной точки. В этих переменных уравнения движения рассматриваемой точки т будут уравнениями Лагранжа. Чтобы вьгчислить живую силу точки т, достаточно заметить, что проекции абсолютной скорости точки т на подвижные оси — цоз, т) + (о, слагаются из проекций относительной скорости ц, и проекций скорости переносной —tim, (о, 0. Отсюда [c.170]

Если пренебречь весомостью и квадратом малой скорости абсолютного движения жидкости то условие о постоянстве атмосферного давления ро на свободной поверхностп на основании интеграла Коши — Лагранжа [c.287]

Благодаря введению этих переносных сил мы можем рассматривать оси 0х1у 21 как неподвижные и применить уравнения Лагранжа к движению относительно этих осей, как если бы это движение было абсолютным. Обозначим через Т кинетическую энергию системы в движении относительно осей 0х1У121. Уравнения движения будут [c.313]

Если стержень нерастяжим, то w зависит тольк от времени. Если стержень растяжимый, то продольная скорость w зависит и от времени, и от координаты s. В последнем случае при изучении движения участка стержня постоянной длины, находящегося между точками Л и В, переменные Лагранжа неудобны. Нас интересует поведение участка стержня между точками А иВ в целом, а не движение индивидуальных точек. Для большей наглядности метода Эйлера представим, что стержень находится в абсолютно гибкой безынерционной трубке (см. рис. 4.4). Для описания движения достаточно знать положение трубки во времени и внутренние силовые факторы в стержне в фиксированном сечении трубки. Таког разделение дви жения на переносное (скорость I ) и относительное (скорость w) весьма эффективно при изучении динамики шлангов (абсолютно гибких стержней) и Стержней, заполненных движущейся жидкостью (рис. 4.6). [c.95]

Тензор называется тензором деформаций Грина — Лагранжа, — тензором деформаций Фингера, — тензором деформаций Карни, — тензором деформаций Альманси [63]. Эти тензоры объективные (правые) тензоры Е и Е ) (функции и) инвариантные, а (левые) тензфы и (функции V) индифферентные. Они фильтруют абсолютно жесткие движения тела вида (1.43), превращаясь в нулевые тензоры [c.36]

Применяя общие теоремы динамики в абсолютном движении, дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела, уравнения Лагранжа, часто в число рассматриваемых сил ошибочно включают силы инерции. Следует помнить, что силами инерции следует пользоваться только в случае применения а) метода кинетостати> ч, б) общего уравнения динамики, в) уравнений и общих теорем в относительном (либо переносном) движении материальной точки или материальной системы. [c.581]

Уравнения (16) приведены в книге В.Д. Мак-Миллана [2] и удобны для приложений. В ряде задач (см. например, в нижеприведенной задачеЗ) выгоднее построить две функции (я, t), С(1, Днежели вычислить кинетическую энергию абсолютного движения системы. Уравнения (14), (15) и (16) имеют довольно компактный ввд и охватывают широкий класс задач об ошосительном движении, распространенных в учебных курсах по теоретической механике. Вывод уравнений (14) или (16) можно осуществить независимо (задаваясь соответств)ао-щими предпосылками), следуя схеме вывода общих уравнений для относительного движения (4), (5), (10), (11), (13), предложенной в п. 2, 3, 4. Причем вывод уравнений (14), (16) сравнительно краток и не займет много времени, например, на лекции или на практическом занятии по теме Уравнения Лагранжа второго рода . В связи с этим уравнения (14) и (16) могут быть рекомендованы для использования в учебном процессе. [c.27]

Плоскость, в которой совершает колебания двойной математический маятник (см. рисунок), враш,ается с постоянной угловой скоростью со вокруг вертикальной оси, находяш,ейся на расстоянии а от точки подвеса маятника. Массы и длины маятников равны Ш1, Ш2 и /1, /2. Составить выражение в обобш,енных координатах ф1, ф2 для функции Лагранжа Laб = абс Пабе в абсолютном движении и для [c.130]

Регулярные прецессии. Еще один класс периодических решений, восходящий к классическим исследованиям динамики волчка Лагранжа, не связан непосредственно с динамикой приведенной системы. Это — регулярные прецессии, которые в общем случае, как заметил Гриоли ( 6 гл. 2), возможны вокруг невертикальной оси. Для таких движений периодичность движения требуется для некоторой определенной оси в теле, которая должна вращаться вокруг оси, неподвижной в пространстве. Абсолютное движение при этом, вообще говоря, может оказаться непериодическим, т. к. собственное вращение вокруг оси в теле не обязательно соизмеримо с движением этой оси в пространстве. Это наблюдается, например, для регулярных прецессий в случае Лагранжа. [c.92]

Например, в случае волчка Лагранжа угол нутации изменяется периодически. Вместе с тем абсолютное движение является трехчастотным, а динамика приведенной системы (по (р или по ф) — двухчастотной. Интересно, что на нулевой постоянной площадей (М,7) = О, соответствующей сферическому маятнику, абсолютное движение является двухчастотным. [c.94]

Дифференциальные уравнения движения системы взаимно притягивающихся тел могут быть написаны при помощи общих уравнений Лагранжа второго рода (см. уравнения (6.8) гл. VI), где за обобщенные координаты q нужно взять переменные (8.1), полностью определяющие положение системы (в обобщенном смысле) относительно абсолютных осей Ogri . [c.384]

Дав определения живой силы ( ... та сила, которая пребывает в равномерно движугцемся теле ) и мертвой силы ( . . . та, которую получает тело без движения, если оно побуждается и принуждается к движению, или же, которая побуждает двигаться быстрее или медленнее, если тело уже находится в движении ), автор формулирует основной принцип Два фактора находятся в равновесии, то есть имеют равные моменты, когда их абсолютные силы находятся в обратном отношении к своим виртуальным скоростям, — безразлично, находятся ли действуюш,ие одна на другую силы в движении или в покое [6, с. 72]. По сути этот принцип — прообраз обш,его уравнения динамики, сформулированного Лагранжем через 60 лет. [c.143]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...