Уравнения Гельмгольца обобщенные

Обобщение принципа Гамильтона, изложенное в п. 31, приводит к каноническим уравнениям. Гельмгольц указал также новую форму обобщения того принципа Гамильтона, которая, наоборот, приводит к уравнениям Лагранжа. Пусть 2 есть какая-нибудь функция от 2я +1 аргументов Яь Як > Чп 22. 2 , и пусть [c.461]

В восьмой главе рассмотрены вопросы линейной вязкоупругости и диссипативного разогрева эластомерных конструкций. Для описания связи напряжений с деформациями принят закон наследственной упругости Вольтерра. Для гармонических колебаний вязкоупругая задача сводится к интегрированию обобщенного уравнения Гельмгольца для комплексной функции относительного приращения объема. Решена проблема диссипативного разогрева слоя при циклических деформациях. Функция источников тепла в уравнении теплопроводности становится известной после решения вязкоупругой задачи. [c.29]

Уравнение (3.6), которое назовем обобщенным уравнением Гельмгольца, является единственным дифференциальным уравнением, к решению которого сводится задача, определения напряженно-деформированного состояния в слое эластомера. [c.40]

Получим граничные условия для обобщенного уравнения Гельмгольца (3.9), к интегрированию которого свелась задача [c.41]

Имеем задачу Неймана для обобщенного уравнения Гельмгольца. [c.43]

Рассматривается тонкая бесконечная упругая пластина, ослабленная криволинейным отверстием с контуром Г. Гармоническая упругая волна расширения или сдвига движется по пластине и взаимодействует с отверстием. В частном случае динамическая нагрузка может быть приложена к контуру отверстия. В постановке обобщенного плоского напряженного состояния требуется найти решение уравнений Гельмгольца (4.1) относительно потенциалов Ф и Ф, которые связаны с вектором перемещений посредством формулы (1.2). Решение должно удовлетворять граничным условиям на контуре отверстия [c.91]

В русской литературе это уравнение называется обобщенным уравнением Гельмгольца.—Прим. ред. [c.567]

Интегральные операторы с ядрами, имеющими слабую особенность. При рассмотрении задач дифракции существенную роль будет играть следующий факт интегральные операторы на поверхности 5 в или на кривой 5 в порождаемые потенциалами простого и двойного слоя для уравнения Гельмгольца (в частности, оператор (30.5)), — это ПДО порядка —1 (см. определения ниже, в п. 3). Это будет показано в 36 и 37. Будут вычислены также главные символы операторов, отвечающих потенциалам простого слоя. Для подготовки к этому рассмотрим сначала интегральные операторы общего вида в К" с ядрами, однородными в обобщенном смысле порядка б > —п [c.319]

Завихренность. Результаты этого пункта относятся как к квантовым средам, так и к идеальной классической жидкости. Беря ротор от уравнения (20) с учетом (2), (3), можно придти к обобщенному уравнению Гельмгольца [7] с ММ как источником завихренности [c.237]

ОБОБЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ГЕЛЬМГОЛЬЦА [c.403]

Обобщение уравнений Гельмгольца. В главе V части первой при рассмотрении вихревых движений в идеальной жидкости были выведены уравнения Гельмгольца. Смысл этих уравнений заключается в том, что они дают возможность количественного учёта изменений, происходящих с вихрями. Выше было отмечено, что громадное большинство движений вязкой жидкости является движениями вихревыми. Понятно поэтому то большое значение, которое должны иметь в случае вязкой жидкости уравнения, аналогичные уравнениям Гельмгольца. К выводу этих уравнений, протекающему совершенно аналогично случаю идеальной жидкости, мы теперь и приступим, причём мы предположим для определённости, что имеем дело с вязкой несжимаемой жидкостью, находящейся под действием массовых сил, имеющих потенциал. Тогда основные уравнения гидромеханики даются формулами (5.4), первая из которых имеет вид [c.403]

Определим условия, которым должны удовлетворять функции х, у, z, для того чтобы можно было найти функции риф, удовлетворяющие уравнениям (2). Эти условия полностью аналогичны условиям динамической возможности движения абсолютно сжимаемой жидкости они будут представлять собой соответствующее обобщение уравнений Гельмгольца. [c.59]

Настоящая работа имеет целью некоторое развитие теории движения сжимаемой жидкости и прежде всего нахождение уравнений для общего вида сжимаемых жидкостей, аналогичных классическим уравнениям Гельмгольца для несжимаемой жидкости. Эти уравнения представляют собой условия, которым должно удовлетворять поле скоростей сжимаемой жидкости, для того чтобы движение, определенное полем скоростей, было действительно возможным другими словами, условие того, что для заданного поля скоростей можно найти такое распределение давления и плотности, для которого выполняются уравнения общей гидромеханики. Эти уравнения условий, которые мы будем называть условиями динамической возможности движения жидкости и которые представляют обобщение уравнений Гельмгольца, должны выполняться при любом способе притока тепла. Иначе говоря, полученные уравнения должны выполняться при заданном притоке тепла и во всех случаях представлять собой необходимые условия, которым должно удовлетворять поле скоростей. Мы увидим ниже, что эти условия позволяют с помощью уравнений гидромеханики определить плотность с точностью до постоянного множителя, а давление с точностью до аддитивной произвольной функции времени. Далее эти произвольные элементы должны быть определены с помощью уравнения притока тепла. [c.179]

Общие соотношения. Уравнения Гельмгольца при наличии областей завихренности в безграничной области допускают неизменность во времени ряда физических характеристик. Это обстоятельство представляет не только теоретический интерес, но существенно при проверке корректности численных алгоритмов расчета вихревых течений. Вопрос об инвариантах вихревого движения частично затрагивал А.Пуанкаре (201]. Наиболее систематическое обобщение данного вопроса содержится в [245], где установлена не только инвариантность ряда интегральных комбинаций полей завихренности, но и для вязкой жидкости найдены общие законы вырождения величин, названных моментами завихренности. [c.41]

Как отмечалось выше, анализ многих акустических ситуаций возможно осуществить в рамках модели, приводящей к решению граничных задач для уравнения Гельмгольца. Такие граничные задачи довольно полно изучены [122]. Для самого уравнения Гельмгольца построены многочисленные частные решения в различных системах координат. Для таких случаев, когда форма излучающего или рассеивающего тела такова, что его граница совпадает с одной из координатных поверхностей, накоплен огромный материал по решению граничных задач. Пожалуй, в наиболее законченном виде такой материал систематизирован и обобщен в работе [183]. [c.13]

Обобщенная функция тока Р [3, 4] удовлетворяет уравнению Гельмгольца [c.91]

Результатом этого нового способа рассмотрения оказалось, главным образом, значительное, бросающееся в глаза, обобщение. А именно кинетический потенциал в противоположность энергии отличается не только своей аналитической формой, но и своей величиной, в зависимости от выбора независимых переменных. Привожу пример используя некоторые уравнения движения, можно с их помощью соответственно сокращать число независимых переменных. Тогда исключенные переменные совсем исчезают, они соответствуют так называемым скрытым движениям. В каждом таком случае кинетический потенциал принимает другую величину, и этим объясняются, например, разнообразные выражения потенциала, с которым сталкиваются в термодинамике, в зависимости от выбора независимых переменных. Гельмгольц показал, как эти различные выражения связаны между собой [c.586]

Ряд разделов содержит новые результаты или более совершенное изложение известных работ. В особенности отметим следующие разделы изложение вариационных принципов (п. 14, 15, 24 и 47), теорию динамического подобия (п. 36 и 66), теорию тензора напряжений (п. 59), энергетический метод (п. 73), обобщение теоремы Гельмгольца — Рэлея (п. 75) и некоторые новые формулы и уравнения, например (29.9), [c.7]

Уравнения (67) и (69) можно рассматривать как обобщение известной теоремы Гельмгольца на задачи теории теплопроводности. Если функция и ( ) известна, то функцию а можно определить из первого уравнения (59), [c.132]

Таким образом, если Q wi t), W2 t)) обращается в нуль при i = О, то эта функция тождественный нуль для всех значений t. Следовательно, вихревые векторы замкнутой 2-формы fi вморожены в поток системы (6.5). Отсюда, в свою очередь, вытекает обобщенная теорема Гельмгольца—Томсона поток системы дифференциальных уравнений (6.5) переводит вихревые многообразия в вихревые многообразия. [c.144]

Из (6.15) и (6.17) получаем обобщенную теорему Бернулли при фиксированных значениях 1 функция ае постоянна на вихревых многообразиях. Следовательно, уравнения (6.16) представляют собой замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, обобщающую канонические уравнения Гамильтона. Поскольку вихревые многообразия нумеруются координатами хх,..., Х2к, то отсюда снова получаем теорему Гельмгольца—Томсона. [c.145]

Чтобы оправдать это утверждение, заметим прежде всего, что из 83 = 0 следуют уравнения (ЗГ), потому что 8S обращается в нуль при всяком возможном выборе 8р (и Ьд ), что несомненно оправдывается, в частности, когда вариациям 8р приписываются те значения в виде линейных функций от 8 , Ъд, которые выводятся из уравнений, определяющих обобщенные количества движения. Заметим, далее, что в то время как в обычном понимании вариайия интеграла S геометрически истолковывается как происходящая от бесконечно малого, произвольного изменения изображающей кривой в пространстве Г конфигураций (между теми же крайними конфигурациями), обобщение Гельмгольца относится непосредственно к произвольной бесконечно малой вариации изображающей кривой в фазовом пространстве (между теми же крайними значениями для д, но не необходимо для р). [c.453]

Создание теории позволило свести расчет эластомерного слоя к интегрированию обобщенного уравнения Гельмгольца для функции относительного приращения объема, причем при статических граничных условиях на боковой поверхности имеем Задачу Дирихле, при кинематических — задачу Неймана. [c.26]

В данном разделе рассматривается итеративный ши оритм расчета ДОЭ типа обобщенных аксиконов, формирующих волны с продольной периодичностью, обла-даюп1 1е модовым характером. Пусть комплексная амплитуда монохроматического светового поля II х, у, г), удовлетворяет дифференциальному уравнению Гельмгольца (см. (6.13) при п = 1) [c.476]

В последние гбды получили развитие аналитические методы решения одномерной обратной задачи для уравнения Гельмгольца, т.е. восстановления профиля k(z) по коэффициенту отражения или другим характеристикам поля [122, 177]. В этих случаях, когда удается получить решения для k(z) в замкнутом виде, этот Aierod обратной задачи в теории рассеяния дает новые решаемые профили (см. [277, 408,487]). Хотя большинство результатов сформулировано для уравнения Шредингера, они легко переносятся на уравнение Гельмгольца. Следует отметить также интересные обобщения профиля Эпштейна, предложенные Рауэром [484] и допускающие точные решения при нормальном падении волны. [c.80]

Замечание 1,1. Поясним смысл задачи 1,1, взяв 96 (IR ), сосредоточенную вне В и носителя /", из (1.7) заключаем, что vj есть решение уравнения Гельмгольца ( 1.5) для достаточно больших е j. Далее,( 1,6) показывает, что удовлетворяет условию излучения. Понятно также, что р в ( 1.6 ) и 1.7 ) выбирается независимо и что ( 1.7 ) является обобщенной рмулировкой соотношения ( 1.4 ). [c.392]

Это уравнение имеет форму термодинамического уравнения для обобщенной функции Массьё — Планка. Если флуктуации около значения XJ достаточно малы, то не возникает вопроса об идентификации Х1 н XJ с соответствующими термодинамическими переменными. Это нетрудно показать для систем с большим числом степеней свободы. Таким образом, нам надо показать, что и обладают свойствами соответствующих термодинамических интенсивных параметров. Подробности этого доказательства можно найти в общих курсах статистической механики, поэтому здесь мы их опустим. В результате мы приходим к выводу, что является статистическим аналогом функции Массьё — Планка Ф (Р , Х . Тем же путем мы можем, применяя микроканониче-ский ансамбль, обнаружить соответствие между А1п2 и энтропией, а применяя канонический ансамбль, — соответствие между и свободной энергией Гельмгольца. [c.64]

Представим себе текучую среду в виде жидкости вихревой структуры, т. е. совокупность вихревых шнуров, движущихся поступательно. Известно, что решение уравнения Эйлера для вихревых течений приводит к теореме Гельмгольца о сохранении вихревых линий. Однако этот вывод находится в противоречии с опытом. На основе уравнения Эйлера нельзя объяснить процесс возникновения и исчезновения вихрей. Решения Навье —Стокса объясняют процесс затухания вихрей, а не процесс их образования. Поэтому возникает проблема обобщения уравнения Навье—Стокса. Впервые на это обратил внимание Н. П. Кастерин [Л.1-18]. Он предложил вихревую модель жидкости. [c.49]

Нелинейные В. у. При перечислении нелпнейпых обобщений В. у. необходимо проявлять нек-рую сдержанность, с тем чтобы при этом не утрачивалась связь с исходным В. у, В этом смысле единственным терминологически точным обобщением является внесение зависимости скорости с от волновой ф-ции в ур-ния (1), (3) или (8). Однако часто к нелинейным В, у. относят любые ур-ния,- вырождающиеся в линейные В. у. при устранении нелинейности или линеаризации. Наиб, известны нелинейное ур-ние Клейна—Гордона =m +F ij3), обобщающее линейное Клейна—Гордона уравнение, и нелинейное ур-ние Гельмгольца [c.313]

Для уяснения основ теории пластичности, а также при решении практических задач большую роль играют вариационные принципы теории пластичности. С их помощью можно описать напряженное и деформированное состояние тела в форме требования минимума некоторого функционала при некоторых дополнительных условиях. В качестве последних используются не все уравнения и неравенства задачи, а лишь часть их. Напомним, что вариационные принципы для рассеивающих сред, в которых варьируются кинематически допустимые поля деформаций и статически допустимые поля напряжений, выраженные через упругий потенциал и потенциал рассеивания, были введены еш е Г. Гельмгольцем и Ф. Энгессе-ром. Для идеально пластического тела из принципа Гельмгольца следует, 265 что действительное поле напряжений обращает в максимум мощность поверхностных сил Но поскольку, согласно закону сохранения энергии, эта мощность равна мощности внутренних сил и сил инерции, то и эта последняя должна стремиться к максимуму. Обобщение принципов Гельмгольца и Энгессера на вязко-пластическую среду получили А. А. Ильюшин , а позднее Дж. Г. Олдройд и В. Прагер. [c.265]

Идея о том, что реальную кавитацию можно математически описать при помощи решений обобщенной задачи Гельмгольца, подтверждается качественным наблюдением того, что заполненные паром каверны возникают у твердых поверхностей. Это эмпирическое положение можно вывести при рассмотрении рб-общенной задачи Гельмгольца следующим образом ). Применяя оператор Лапласа к уравнению Бернулли [гл. I, формула (5)], получим уравнение [c.105]

Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала действие увязывается с физическим смыслом учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7 о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи связи, представляющей огибающую связи, зависящей от двух независимых параметров неравенства для виртуальных перемещений при неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского Заметка о равновесии упругой нити , написанная им по поводу одной известной классической ошибки Лагранжа в других пунктах рассматривается использование неопределённых множителей при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных движениях составлено общее уравнение несвободных динамических систем, основные уравнения немеханической части которых имеют первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство (заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа. [c.13]

Для сферических волн доказан ряд теорем, которые можно трактовать как обобщение на задачи термоупругости теоремы Гельмгольца для эластокинетики и аналогичной теоремы теории теплопроводности ). Суть этой теоремы такова. Дана система уравнений [c.786]

В это же время П. А. Вальтером (1932) было вычислено второе приближение в методе Рейли — Янцена для задачи обтекания профиля крыла. Однако громоздкость вычислений по этому методу делала его малопригодным для практического использования. Развитие теории иошло по другому пути, для которого отправным пунктом послужила система линейных уравнений в плоскости годографа скорости. Начало развитию этого направления и вообще развитию точной теории стационарных движений газа было положено еще С. А. Чаплыгиным в его диссертации О газовых струях (1902). В этой работе были решены некоторые задачи, явившиеся обобщением теории струйных течений Гельмгольца — Кирхгофа на случай сжимаемой жидкости, а также предложен весьма простой приближенный метод интегрирования уравнений газовой динамики, основанный на аппроксимации точной адиабатической зависимости р — р (р) подходящим образом выбранной линейной зависимостью р = А Bip. Н. А. Слезкин (1935, 1937) рассмотрел в приближенной постановке Чаплыгина задачи о струйном и сплошном бесциркуляционных обтеканиях. [c.98]

Поскольку движение точечных вихрей на сфере является обобщением случая плоского вихревого течения, приведем кратко известные результаты для задачи о взаимодействии вихрей на плоскости. Простейший пример движения двух вихрей рассмотрен Гельмгольцем [23]. Г. Кирхгоф [27] установил гамильтоновость уравнений движения N точечных вихрей, а также нашел четыре первых интеграла этой системы, которые связаны с независимостью гамильтониана от времени и его инвариантностью относительно параллельного переноса и поворота системы координат. Интегрируемость задачи трех вихрей отметил А. Пуанкаре [32] (существуют три первых интеграла, находящихся в инволюции). В работе [18] система точечных вихрей рассматривалась в качестве модели двумерной турбулентности. Там же получено решение задачи о взаимодействии трех одинаковых вихрей. Авторы работы [19] на основе численных расчетов устанавливают стохастические свойства системы четырех вихрей и тем самым показывают, что двумерное течение идеальной жидкости в общем случае не является вполне интегрируемой системой. Как уже было отмечено, аналитическое доказательство неинтегрируемости системы четырех точечных вихрей на плоскости дано в работах Зиглина [9, 33]. Отметим также работы [20] и [22]. В [20] проинтегрирована в эллиптических функциях система трех одинаковых вихрей и показана хаотизация движения четырех вихрей равной интенсивности. В [22] рассматриваются интегрируемые случаи движения четырех вихрей. [c.376]

Как мы видели, если rank(rottt) постоянен и равен 2к, то конфигурационное многообразие М" расслоено (и — 2й)-мерными вихревыми многообразиями N. Отождествляя точки, лежащие на одних и тех же связных компонентах вихревых многообразий, приходим к 2й-мерному фактор-пространству M/N. Обобщенная теорема Гельмгольца—Томсона позволяет корректно определить на M/N фактор-систему, которая также имеет вид уравнений Ламба с невырожденной матрицей ротора (уравнения (4.11) главы II). [c.207]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...