Вихревое многообразие

Теорема Пуанкаре (теорема 12 7) дает критерий инвариантности потенциального и-мерного многообразия (и — число степеней свободы), однозначно проектирующегося на конфигурационное пространство потенциал соответствующего поля импульсов удовлетворяет уравнению Гамильтона—Якоби. Мы укажем сейчас условия инвариантности и-мерных потенциальных (вихревых) многообразий. [c.83]

Если rot м = О, то соответствующее инвариантное многообразие S мы назвали потенциальным или лагранжевым. Инвариантные многообразия, для которых rot и ф О, будем называть вихревыми. Наша цель — изучение вихревых многообразий. [c.86]

Таким образом, дифференциал фазового потока rfg переводит распределение вихревых векторов при i = О в распределение вихревых векторов, заданных в момент времени t. Пусть Wo — вихревое многообразие в начальный момент и Wt = Wo). Поскольку векторы w(0) касаются поверхности Wo, то их образы w t) будут касаться Wt- Следовательно, Wt — вихревое многообразие в момент t. Ш [c.125]

Теорема 6. В стационарном случае функция h постоянна на интегральных кривых поля V и на вихревых многообразиях. [c.125]

Пусть теперь ги — произвольное векторное поле, составленное из вихревых векторов, которые касаются связного вихревого многообразия . Так как = О, то из (4.5) следует тождество [c.126]

Следовательно, эти поверхности являются искомыми вихревыми многообразиями. [c.127]

Равенства (4.8) дают нам обобщение второй части теоремы Бернулли функция h + dS/dt постоянна на вихревых многообразиях. [c.128]

По теореме Гельмгольца—Томсона (теорема 5) фазовый поток системы (1.2) переводит вихревые многообразия на М в вихревые многообразия. Следовательно, корректно определено действие g на базе N. Дифференцируя отображение [c.128]

Ясно, что дифференциал отображения тг переводит поле v в поле V. Это — следствие теоремы Гельмгольца—Томсона. Образ произвольного векторного поля на М при отображении dw вообще не определен он зависит от выбора точки на вихревом многообразии. Ясно также. [c.128]

Оказывается, система уравнений (4.9) на базе расслоения N имеет вид уравнений Ламба с невырожденной матрицей ротора. Чтобы это показать, зададим вихревые многообразия как совместные поверхности уровня 2к независимых функций [c.129]

Отметим, что равенства (4.12) представляют локальное обобщение теоремы Бернулли при каждом фиксированном значении 1 функция Н + д8/дЬ постоянна на вихревых многообразиях. Этому наблюдению можно придать глобальный характер, если предположить, что 2-форма 9, = (1ш стационарная (не зависит явно от 1). Если конфигурационное многообразие М односвязно, то найдется такая функция 8 х,1) на М, что ш = ш + (18, где 1-форма ш не зависит от Уравнение Ламба принимает вид [c.131]

В этом случае вихревые многообразия стационарны и на них функция Ь, принимает значения, которые могут зависеть лишь от времени. Из (4.13) вытекает равенство [c.131]

Таким образом, если Q wi t), W2 t)) обращается в нуль при i = О, то эта функция тождественный нуль для всех значений t. Следовательно, вихревые векторы замкнутой 2-формы fi вморожены в поток системы (6.5). Отсюда, в свою очередь, вытекает обобщенная теорема Гельмгольца—Томсона поток системы дифференциальных уравнений (6.5) переводит вихревые многообразия в вихревые многообразия. [c.144]

Из (6.15) и (6.17) получаем обобщенную теорему Бернулли при фиксированных значениях 1 функция ае постоянна на вихревых многообразиях. Следовательно, уравнения (6.16) представляют собой замкнутую систему обыкновенных дифференциальных уравнений, обобщающую канонические уравнения Гамильтона. Поскольку вихревые многообразия нумеруются координатами хх,..., Х2к, то отсюда снова получаем теорему Гельмгольца—Томсона. [c.145]

Функции Казимира и вихревые многообразия [c.175]

Поскольку поля wi,..., Wk левоинвариантные, то эти векторы линейно независимы во всех точках группы G. Так как они коммутируют, то (по теореме Фробениуса) их линейные комбинации порождают интегрируемое fe-мерное распределение касательных векторов на G. Интегральные fe-мерные многообразия этого распределения будут как раз вихревыми многообразиями. [c.180]

Если группа G компактна (как для волчка Эйлера), то вихревые многообразия — замкнутые поверхности. Это — аналог свойства замкнутости вихревых линий в случае вращающегося волчка. Поскольку fe-мерные вихревые многообразия компактны и допускают к независимых коммутирующих касательных полей, то они будут fe-мерными торами. Тор, содержащий единицу группы, будет подгруппой группы G он называется максимальным тором группы G. Максимальные торы играют ключевую роль в классификации компактных групп Ли (см., например, [1]). [c.180]

Свойство компактности вихревых многообразий позволяет осуществить в целом факторизацию группы С по вихревым многообразиям. После факторизации система уравнений х = у х,с) становится гамильтоновой на фактор-пространстве четной размерности п — к. Обсуждение различных аспектов понижения порядка систем с симметриями можно найти в книге [10]. [c.181]

Нам осталось показать, что при выполнении условий (а), Ь) и (с) вихревые многообразия находятся с помощью квадратур. Тогда переход к фактор-системе можно осуществить конструктивно. [c.211]

По определению вихревых многообразий, функции ipi удовлетворяют уравнениям [c.213]

Система (3.7) порождает класс нестационарных вихревых течений газа. Эти реше ния представляют интерес в следующем соотношении. В газовой динамике опре деленную роль играет класс течений с вырожденным годографом скоростей, когда четырехмерной области определения течения в физическом пространстве Ж2, жз, t соответствует в пространстве щ, U2, щ, в многообразие меньшей размерности. Яс но, что решения (3.9) имеют вырожденный годограф, так как ui и в функционально зависимы. Подсчитывая детерминант [c.175]

В теории крыла конечного размаха (эта теория еще не является математически строгой) подъемная сила появляется при введении в поток так называемой вихревой пелены , которая представляет собой поверхность разрыва первого рода касательных к вихревой пелене компонент скорости, т. е. является тангенциальным разрывом она состоит из линий тока, различных на разных сторонах поверхности разрыва давления по обе стороны разрыва одинаковы. В отличие от случая плоского течения, в котором поле скорости и при циркуляционном обтекании непрерывно, вихревая пелена имеет четкий физический смысл как поверхность сильного разрыва вектора скорости ее положение в пространстве, зависящее также от строения множества точек прикрепления к обтекаемому телу, влияет на поле скорости. Иначе говоря, вихревая пелена, если она существует, в общем случае является свободной поверхностью — ориентируемым двумерным многообразием, определяемым линией прикрепления к телу и условиями dif/dn = О, + Т 2г] = О5 где квадратные скобки обозначают скачок, Ухт У2т — две компоненты тангенциальной скорости. [c.171]

Параметры а к п следует-определять опытным путем на вихревой установке, имитирующей гидродинамические условия взаимодействия струй с потоком на дырчатом участке распределителей и сборников круглого сечения. Необходимо отметить, что конструктивные возможности проведения этого довольно сложного эксперимента на лабораторной вихревой установке весьма ограничены и не могут в полной мере охватить все многообразие расчетных случаев или натурных условий распределения и сбора воды дырчатыми трубами. В связи с этим представляет интерес теоретический переход от модели к натуре исходя из общей закономерности образования дополнительных потерь напора на преодоление вихревых сопротивлений, обусловленных взаимодействием струй с потоком на дырчатом участке распределителя или сборника круглого сечения. [c.23]

Выше были рассмотрены уравнения движения твердого тела в жидкости, теперь перейдем к рассмотрению другого класса задач, связанных с движением твердого тела, содержащего полости, заполненные идеальной несжимаемой жидкостью, вокруг неподвижной точки. При этом наиболее интересен случай, когда жидкость совершает движение, обладающее однородной завихренностью [125, 129, 256]. В этом случае также отделяется шестимерная система уравнений, описывающих изменение кинетического момента М тела и завихренности жидкости Случай потенциального течения жидкости в односвязной полости приводит лишь к изменению моментов инерции твердого тела и определяет инвариантное многообразие = 0. Для потенциального течения в многосвязной полости получаются уравнения движения твердого тело с гиростатом, этот случай подробно изучался Н. Е. Жуковским [78]. Тело с гиростатом называется эквивалентным по Жуковскому. Можно показать, что однородное вихревое движение жидкости возможно лишь в эллипсоидальной полости [129]. [c.270]

Интегральные многообразия распределения вихревых векторов будем называть вихревыми многообразиями. Они являются естественным обобщением вихревых линий из гидродинамики. Подчеркнем, что в общем случае вихревые многообразия будут разными в различиные моменты времени. [c.124]

Задача нахождения вихревых многообразий существенно упрощается, если ковекторное поле и х, Ь) удается представить в виде суммы [c.126]

Согласно предложению 6, если 2-форма fi имеет постоянный ранг, то все и-мерное многообразие М расслоено на (и — 2й)-мерные 2к = rankfi) вихревые многообразия Wx- Введем на М отношение эквивалентности, отождествив точки, лежащие в одной связной компоненте вихревых многообразий. Это отношение позволяет определить фактор-пространство [c.128]

Как мы видели, если rank(rottt) постоянен и равен 2к, то конфигурационное многообразие М" расслоено (и — 2й)-мерными вихревыми многообразиями N. Отождествляя точки, лежащие на одних и тех же связных компонентах вихревых многообразий, приходим к 2й-мерному фактор-пространству M/N. Обобщенная теорема Гельмгольца—Томсона позволяет корректно определить на M/N фактор-систему, которая также имеет вид уравнений Ламба с невырожденной матрицей ротора (уравнения (4.11) главы II). [c.207]

Этот результат имеет два аспекта. Во-первых, утверждается, что можно явно найти вихревые многообразия матрицы rottt, где u x,t, ) — полный интеграл исходного уравнения Ламба, и тем самым в явном виде представить уравнения фактор-системы. Во-вторых, утверждается, что дифференциальные уравнения фактор-системы можно явно проинтегрировать с помощью квадратур. [c.208]

Найдем теперь (и —2й)-мерные вихревые многообразия rottt, точнее, пересечение этих многообразий с (и - й)-мерными поверхностями М/з. Они fe-мерные и поэтому задаются на М/з уравнениями [c.212]

Идея доказательства существования решений системы уравнений в частных производных первого порядка (4.16) и (4.17) состоит в следующем. Введем на новые локальные координаты у, z, такие, что вихревые многогобразия задаются соотношениями у = onst. Переменные г — координаты на вихревых многообразиях. В новых переменных операторы дифференцирования вдоль вихревых полей имеют вид [c.213]

Эти геометричес101е параметры используют при анализе практически всех вихревых труб различных конструкций и форм камеры энергоразделения. Они не являются исчерпывающими, так как многообразие созданных конструкций потребовало введения дополнительных относительных геометрических параметров, от- [c.67]

Многообразие характерных особенностей интенсивно закрученных потоков определяет достаточно широкий спектр их технических приложений. Обладая специфическим свойством энергоразделения, имея простую и надежную конструкцию, несложную регулировку, будучи достаточно компактными, вихревые трубы весьма успешно применяются в промышленности для решения самых разнообразных задач. Это позволяет, обобщая накопленный опыт, вьшелить несколько характерных классов промышленных вихревых энергоразделителей [c.217]

Из (3.9) следует, что многообразием уровня всех газодинамических величин явля ются прямые линии в пространстве xi, Ж2, жз, I, Действительно, из (3.9) получаем, что такое многообразие определяется пересечением трех гиперплоскостей ( = onst — уравнение одной из них). При этом прямые линии уровня при условиях G 0, I 0, вообще говоря, не проходят через одну фиксированную точку пространства xi, Ж2, жз, t, т. е. течение не является коническим. Таким образом, построенное решение является неконической вихревой тройной волной с прямолинейными образующими. [c.175]

Как продемонстрировано во Введении, концентрированные вихри наблюдаются в самых разнообразных устройствах и при самых различных условиях. В экспериментальном плане их удобнее всего изучать в вихревы> камерах с регулируемыми геометрическими и режимными параметрами. Всякая вихревая камера состоит из собствсшю рабочего объема и закручивающего устройства. Ио часто закрутка потока осуществляется непосрсдственпс в рабочем объеме. Из всего многообразия закручивающих устройств выдели наиболее типичные конструкции, часть из которых применялась в экспери мептах, цитируемых в данной главе. Эти устройства можно разбить на дв основных класса - тангенциальные (рис. 1Ла-д, 7.2) и аксиальные (рис. 1. е вихрегенераторы. Но существуют и комбинированные схемы. [c.389]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...