Бесконечно малые вариации

Поскольку система равновесная, ее энтропия согласно второму закону имеет максимальное значение,, поэтому любые бесконечно малые вариации состояния за счет внутренних переменных /( ) не меняют энтропии системы, и (6.10) можно записать в виде [c.52]

Вернемся к общему случаю системы с к степенями свободы. Так как, по предположению, перемещение системы определяется бесконечно малыми вариациями Ьq , Ьд. ....Ьд , то вариации 0J , 8 у,, [c.228]

Вариационное исчисление. Математическая задача минимизации некоторого интеграла связана с особой ветвью математики, называемой вариационным исчислением . Из математической теории следует, что окончательный результат можно получить, не рассматривая бесконечного множества возможных пробных траекторий. Свой математический эксперимент мы можем ограничить такими траекториями, которые бесконечно близки к действительной траектории. Пробная траектория, отличающаяся от действительной произвольным образом, но на бесконечно малую величину, называется вариацией действительной траектории. Вариационное исчисление исследует изменения значения интеграла, вызванные подобными бесконечно малыми вариациями траектории. [c.18]

Резюме. Принцип виртуальных перемещений требует, чтобы в состоянии равновесия равнялась нулю работа приложенных сил при любой бесконечно малой вариации конфигурации системы, при которой не нарушаются наложенные кинематические связи. Для моно-генных сил это приводит к следующему условию в состоянии равновесия потенциальная энергия должна иметь стационарное значение по отношению ко всем кинематически возможным вариациям. [c.100]

Рассмотрим теперь бесконечно малую вариацию функции G, вызванную произвольными бесконечно малыми вариациями Vi. Из. (6.1.3) и (6.1.4) получим [c.191]

Проинтегрированные члены на обоих концах промежутка интеграции обращаются в нуль. Так как Зх, Sy, oz независимы, то мы имеем следующие условия того, что величина 3/ для всех бесконечно малых вариаций траектории должна обращаться в нуль [c.288]

Чтобы получить уравнение движения в момент ti + О, достаточно, как обычно, применить бесконечно малые вариации тогда уравнение (14.8.12) примет вид [c.256]

Причина неодинакового значения обоих принципов состоит в том, что принцип сохранения энергии, примененный к конкретному случаю, дает одно-единственное уравнение, тогда как для полного изучения движения необходимо столько уравнений, сколько имеется независимых координат, следовательно, для движения свободной точки три, а для движения сферического маятника два уравнения. Принцип же наименьшего действия в каждом случае дает как раз столько уравнений, сколько имеется независимых координат. Принцип наименьшего действия способен охватить большое количество уравнений в одном-единственном положении, потому что он в противоположность принципу сохранения энергии является вариационным принципом. Из бесчисленного количества движений, возможных в рамках наложенных условий, принцип наименьшего действия с помощью простого отличительного признака выхватывает совершенно определенное движение и характеризует его как действительно имеющее место в природе. Этот признак заключается в том, что при переходе от действительного движения к любому бесконечно близкому возможному движению, точнее, при каждой, совместимой с наложенными условиями, бесконечно малой вариации действительного движения, характерная для вариации определенная величина обращается в нуль. Из этого условия следует, как и при всякой проблеме максимума или минимума, особое уравнение для каждой независимой координаты. [c.581]

При бесконечно малом варьировании переменных действия Jp соответственно изменится контур Г (/). Коэффициенты Пр в выражении (100.5), будучи целыми числами, не изменяются при этой бесконечно малой вариации получаем поэтому [c.353]

В первом (втором) принципе утверждается, что если система находится в состоянии, удовлетворяющем условиям равновесия (совместности деформаций), то сумма возможных работ всех внешних и внутренних сил (статически возможных бесконечно малых вариаций внешних и внутренних сил) на всяких кинематически возможных бесконечно малых вариациях перемещений (перемещениях, вызванных самими силами) равна нулю. [c.494]

Д5) >0, т. е. А )5<0, в то время как для бесконечно малых вариаций вообще [c.222]

Формула (1.50) выражает принцип дополнительной виртуальной работы. Этот вариационный принцип справедлив для произвольных бесконечно малых вариаций напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и заданным граничным условиям в напряжениях. Как видно, принцип дополнительной виртуальной работы имеет форму, двойственную к вариационному принципу виртуальной работы (1.32). [c.35]

Допустим, что материал несжимаем тогда U=0, н мы приходим к выводу действительные смещения точек несжимаемой среды в состоянии текучести таковы, что бесконечно малые "вариации напряжений, лежащие внутри фазы текучести, не производят на этих смещениях никакой дополнительной работы. [c.77]

Здесь Т" ,. .., и , W, — бесконечно малые вариации параметров напряженно-деформированного состояния оболочки, соответствующие переходу от первого положения ее равновесия ко второму. Каждая из систем величин (3.3.1) и [c.60]

Когда применяется процедура, подобная той, которая используется при расчетах дискретных энергетических уровней, то при выполнении конкретных вычислений очень удобно иметь формулу, стационарную по отношению к бесконечно малым вариациям волновой функции в окрестности точной ее формы. Тогда можно ожидать, что окончательные результаты будут в малой степени чувствительны к точному виду волновой функции, так что использование достаточно разумной пробной функции приведет к хорошему приближению. [c.297]

Бесконечно малые вариации [c.566]

Бесконечно малые вариации 566 Борновский ряд 223, 250, 264 [c.597]

Если П(Д) имеет стационарную точку, то, по определению, на касательной плоскости в указанной точке выполняется условие, согласно которому любая бесконечно малая вариация координат IA, не вызовет в первом приближении изменения функционала. Это требование является первым необходимым условием, выраженным для непрерывного случая формулой (6.21) и записываемым здесь в виде [c.167]

Пусть система зависит от параметров Ai, А2,.... Будем говорить, что система находится на границе глобальной неустойчивости, если нри данном значении параметров Ai, А2,... она устойчива, но сугцествуют такие бесконечно малые вариации параметров, которые делают ее глобально неустойчивой. [c.130]

Вторая вариация 6 1 будет вычисляться вначале для интеграла в (4.1) при фиксированном верхнем пределе. Выберем на экстремали некоторую точку и. Вместо экстремали рассмотрим какую-либо линию ии. Величина интеграла в (4.1) будет меняться в зависимости от выбора линии иг. Действительно, в качестве свободной выбрана функция а у), функции /3(1/), Ф у), А2(у), Хз(у) связаны сука уравнениями (2.15), (2.11), (2.30), (2.29) и, следовательно, подынтегральное выражение в (4.1) зависит от пути а у), соединяющего исходную точку и с интересующей нас точкой V. Особыми точками подынтегрального выражения могут быть точки, в которых 81п(1 - а) = о, как это следует из выражений для Фа, Фд, Ф , приведенных в (2.28)-(2.30). Существенно, однако, что в малых окрестностях регулярных точек экстремали, которые не пересекаются самой исследуемой экстремалью, подынтегральное выражение в (4.1) не меняет знака. В противном случае рассматриваемые окрестности экстремали пересекались бы новыми линиями, на которых первая вариация 61 обращается в нуль. Таким образом, достаточно каким-либо одним путем определить знак второй вариации I. Выберем следующий путь. В окрестности регулярной точки и построим бесконечно малый элемент характеристики ии, не совпадающий с экстремалью. Пусть этот элемент таков, что величины 6а и у на нем имеют один порядок малости. Здесь под 6а подразумевается разность между а на иг и а на экстремали при фиксированном значении у. [c.109]

Бесконечно малое изменение функции, происходящее вследствие изменения аргумента, выражается дифференциалом этой функции если же изменение функции происходит вследствие изменения вида самой функции, то такое изменение называется вариацией функции [c.278]

Полный дифференциал любой функции состояния согласно выводам 2 должен содержать хотя бы один частный дифференциал внутренней переменной, например температуры. Выражение (5.7) не удовлетворяет этому требованию, следовательно, оно не является полным. дифференциалом (нарушено условие (4.8)), что означает зависимость работы в термодинамике от способа изменения переменных в процессе ее совершения, т. е. работа — функция процесса, а не состояния. Это же следует и непосредственно из определения (5.2). Действительно, термическое уравнение состояния, например (2.1), указывает на зависимость X,- не только от у/, но и от Т. Поэтому при разных температурах под интегралом в (5.2) стоят по существу разные функции Х(у), т. е. работа W — функционал. (Этим. объясняется знак вариации б, используемый часто для обозначения бесконечно малых и Q.) [c.44]

Рассмотрим, далее, виртуальные изменения (вариации) состояния нашей системы, под которыми понимают произвольные, но возможные, т. е. допустимые условиями задачи, изменения состояния. В данном случае, поскольку имеется тепловой контакт между частями системы, возможны вариации их внутренних энергий, но невозможны вариации энергии всей (изолированной) системы. Что же касается, например, объемов, то по условиям задачи их вариации невозможны ни у частей, ни у системы в целом. Поскольку система равновесная, невозможны никакие самопроизвольные изменения ее состояния. Следовательно, в отличие от действительно происходящих в системе изменений рассматриваемые виртуальные изменения могут не соответствовать термодинамическим законам и постулатам, которым должны подчиняться все действительно протекающие процессы. Иначе говоря, направление виртуальных изменений может совпадать с направлением любых действительных изменений в неравновесной системе, но обратное утверждение неверное. В рамках термодинамики вариации состояний или термодинамических переменных — это некоторый мысленный эксперимент над интересующей системой, в ходе которого определенные свойства ее считают спонтанно изменившимися по сравнению с их равновесными значениями и, далее, следят, как система реагирует (в соответствии с законами термодинамики) на такие внешние возмущения. Если же учесть микроскопическую картину явления, то становится ясным, что подобные изменения свойств действительно происходят в природе и без каких-либо внешних воздействий на систему с помощью флюктуаций макроскопических величин природа сама непрерывно осуществляет упомянутый эксперимент. Бесконечно малые первого порядка — виртуальные и действительные изменения термодинамических величин — мы будем обозначать символами б и d соответственно. [c.51]

Равновесное состояние термодинамической системы называют устойчивым стабильным), если любое бесконечно малое воздействие на нее вызывает бесконечно малое изменение состояния, а при устранении этого воздействия система возвращается в исходное состояние. Если при бесконечно малом воздействии происходит конечное изменение состояния — это неустойчивое (лабильное) равновесие. Для термодинамических систем неустойчивость равновесия означает его отсутствие, так как малые вариации состояний таких систем происходят самопроизвольно в связи с флюктуациями физических параметров. Возможны и такие случаи, когда стабильное равновесие становится лабильным при конечных возмущениях состояния, т. е. [c.114]

При малом перемещении шар вращается около мгновенной оси, проходящей через точку соприкосновения. Бесконечно малая вариация координаты 6 переместит центр на горизонтальное расстояние доб в плоскости Z (фиг. 32, стр. 80). Компоненты этого перемещения, параллельные осям хну, соответственно будут во6 os ф и аоб sin Незначительное изменение одной координаты не изменит положения центра. Вектор вращения о- около ОС имеет горизонтальную составляющую o fsine, и если такое вращение сообщить около оси, проходящей через точку соприкосновения, то компоненты перемещения, параллельные осям х, у, соответственно будут йЗу sin 6 sin 6 и — ao f sin0 os Следовательно требуемые соотношения будут иметь вид [c.266]

Чтобы оправдать это утверждение, заметим прежде всего, что из 83 = 0 следуют уравнения (ЗГ), потому что 8S обращается в нуль при всяком возможном выборе 8р (и Ьд ), что несомненно оправдывается, в частности, когда вариациям 8р приписываются те значения в виде линейных функций от 8 , Ъд, которые выводятся из уравнений, определяющих обобщенные количества движения. Заметим, далее, что в то время как в обычном понимании вариайия интеграла S геометрически истолковывается как происходящая от бесконечно малого, произвольного изменения изображающей кривой в пространстве Г конфигураций (между теми же крайними конфигурациями), обобщение Гельмгольца относится непосредственно к произвольной бесконечно малой вариации изображающей кривой в фазовом пространстве (между теми же крайними значениями для д, но не необходимо для р). [c.453]

Система находится в состоянии неустойчивого равновесия, есл есть по крайней мере одна бесконечно малая вариация, для которойч [c.222]

Следует напомнить, что б юбозначает изменение того же порядка, что и изменение состояния системы, более высокие порядки не включены. С другой стороны, А обозначает изменение любого порядка, включая более высокие порядки. Шарик в состоянии покоя, расположенный в наивысшей точке желоба седла (рис. 23-4), является примером неустойчивого равновесия. При вйех бесконечно малых вариациях. [c.223]

Если мы ограничимся бесконечно малыми вариациями 8и, ЬVy Ьшу то последний член будет высшего порядка малости формула, выражающ.ая приращение работы деформации, получит вид [c.43]

Если до потери устойчивости в некоторой зоне оболочки состояние является упругим, то при бесконечно малых вариациях оно, вообще говоря, остакется упругим. [c.287]

В предыдущем Изложении (см. т. I, уравнение (а), стр. 303 )) было показано, что если упругая система претерпевает малое перемещение из своего положения равновесия, то соответствующее увеличение потенциальной энергии деформации системы равно работе, совершенной внешними силами на таком перемещении. Когда упругая кривая представлена рядом (а), беск9-нечно малые перемещения можно получить бесконечно малыми вариациями коэффициентов в а , Лд,. .. Если любому коэффициенту дать приращение dOn, то вместо члена ап sin (ител //) мы будем иметь в ряде (а) член [c.46]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...