Уравнение Клейна - Гордона

Уравнение Клейна-Гордона. Релятивистское соотношение, связываю- [c.383]

Уравнение (71.18) совпадает с уравнением сохранения заряда в электродинамике, если под j понимать плотность тока, а под р-плотность заряда. Отсюда можно заключить, что выражения для плотности заряда и плотности тока для уравнения Клейна-Гордона даются формулами (71.16) и (71.17). [c.384]

По физическому смыслу концентрации частиц ясно, что она должна быть неотрицательной величиной. Между тем уравнение Клейна-Гордона является уравнением второго порядка по времени и, следовательно, Ч и д Т/51 в некоторой точке могут быть заданы независимо. Это значит, что N может быть и отрицательной. Следовательно, выражение (71.21) [c.385]

Уравнение Дирака. Трудность с отрицательной концентрацией частиц и неприменимость уравнения Клейна-Гордона к частицам со спином 1/2 заставляет искать другое уравнение, которое было бы пригодно для электрона, Такое уравнение было получено Дираком. [c.385]

Чтобы его получить, естественно воспользоваться приемом, с помощью которого было получено уравнение Клейна-Гордона, но при этом учесть только что изложенные выводы. Исходим из релятивистского соотношения между полной энергией и импульсом (71.11), которое удобно записать в виде [c.386]

Ч, + Т Ч-2 + % 4 3 + ЧЧ Это неотрицательная величина. Значит, трудность с отрицательной энергией, свойственная уравнению Клейна-Гордона, преодолена. [c.389]

Эта величина примерно в три раза превосходит величину, полученную для расщепления соответствующей линии излучения атома водорода из эксперимента. Причиной этого расхождения является наличие у электрона спина, который не учитывается уравнением Клейна-Гордона. Тон- [c.394]

Мы рассмотрели случай Za < 1/2, когда Г в уравнении (72.11) положительно. Если же Za > то / не может быть выбрано положительным и решение релятивистского уравнения принципиально отличается от решения нерелятивистского уравнения. Как показывает анализ, в этом случае происходит падение частицы на ядро и отсутствует стационарное решение. Таким образом, по уравнению Клейна-Гордона, устойчивые состояния движения частицы в кулоновском поле ядра возможны лишь для ядер, у которых Z < 137/2. [c.395]

Этому дисперсионному соотношению соответствует линейное телеграфное уравнение, которое иногда называют уравнением Клейна — Гордона [c.14]

Таким образом, задача (3.65) свелась к отысканию решений уравнения Клейна-Гордона (3.71) с переменным коэффициентом, удовлетворяющих краевым условиям на неподвижных границах. В отличие от исходной задачи, последняя может быть точно решена методом разделения переменных для некоторых частных законов движения границ, при которых потенциал имеет вид [3.30, 3.45 [c.122]

Волновое уравнение Клейна — Гордона. Уравнение (63) — знаменитое уравнение. Оно превращается в классическое волновое уравнение, когда сОд равно нулю. Его иногда называют волновым уравнением Клейна—Гордона . (Оно справедливо для волн де Бройля в случае релятивистских свободных частиц. См. Д. 2.) [c.131]

Пример 3. Электромагнитные волны в ионосфере. Используя дисперсионное соотношение (12) и уравнения (16), мы получаем трехмерное уравнение Клейна —Гордона [c.304]

Уравнение (9) называется уравнением Клейна — Гордона. Обратите внимание, что если мы положим от=0, то получим классическое волновое уравнение для недиспергирующих волн, распространяющихся со скоростью с. о соответствует тому, что фотон имеет нулевую массу покоя. [c.489]

Легко видеть, что (4.29) получается из (4.23), если sin (f a/2) к, ka /А, т. е. при ка С 1. Итак, когда мы говорим о малости а по сравнению с характерным пространственным периодом волнового движения, мы говорим о малости ка и, следовательно, о малости а по сравнению с длиной волны, поскольку к = 27г/Л ка длинных волн наши допущения справедливы, и цепочку маятников можно рассматривать как среду, описываемую уравнением Клейна-Гордона. Однако все приближения нарушаются, когда Л и а, т. е. длина волны в структуре соизмерима с ее периодом. Таким образом, преобразования дисперсионных уравнений 4.1 для цепочек из одинаковых частиц при условии fea С 1 означают переход от упорядоченных структур к одномерной сплошной среде. [c.71]

Вернемся к уравнению Клейна-Гордона, которое описывает распространение одномерных волн в среде с дисперсией, в частности в цепочке маятников с собственными частотами расположенных на расстояниях а С А (дисперсионная кривая — сплошная кривая на рис. 4.12 6). Мы уже говорили, что при о о —О дисперсия исчезает длина нитей маятников так велика, что у них нет собственного периода колебаний, цепочка превращается в данном случае в упругую струну. Дисперсия исчезла, когда исчез собственный временной масштаб, характеризующий среду. Когда каждый маятник имеет собственный период Т = 27г/ о среда из маятников не будет воспринимать частоту меньше собственной. На этой критической частоте все маятники будут колебаться синфазно волн нет, существуют только колебания. Если теперь обратиться к уравнениям (4.21) и (4.23), в которых соотношение между а и Л может быть любым, то нетрудно видеть, что дисперсия в системе сохраняется даже при Шо 0. Действительно, в этом случае мы приходим к цепочке из шариков, связанных пружинками. В этой среде дисперсия существенна, пока а не мало по сравнению с Л. Таким образом, в решетке из шариков дисперсия определяется собственным пространственным масштабом — периодом решетки . С этим же связана дисперсия в решетке из равноудаленных частиц разной массы (см. (4.16)). Что касается цепочки из связанных маятников, когда Шо ф О и расстояние а сравнимо с Л, то дисперсия определяется и временным, и пространственным масштабами. Аналогично характеризуется дисперсия и для цепочки из магнитных стрелок, где наряду с периодом а фигурирует частота шн, связанная с существованием внешнего магнитного поля (см. (4.26)). Таким образом, можно сказать, что существование дисперсии в среде связано с наличием в ней собственных, независимых от параметров волны пространственных или временных масштабов. [c.73]

При выводе уравнения переноса энергии поступим, как и при выводе уравнения эволюции волнового вектора (см. гл. 8) откажемся от использования интеграла Фурье. Будем исходить из уравнения Клейна-Гордона с постоянными коэффициентами [3] [c.190]

Полученные соотношения типа (9.14) и (9.17) легко распространить на многомерные задачи. Такое обобщение для уравнения Клейна-Гордона и уравнения ии — = (РУ ии приведено в [3]. Уравнение, характеризующее перенос усредненной плотности энергии волновым пакетом в средах с заданной дисперсией, имеет вид [c.193]

Среди моделей, в которых учитывается взаимодействие встречных волн, одной из наиболее распространенных служит модель, описываемая уравнением Клейна-Гордона (для сред с дисперсией в области низких частот) [c.370]

Это уравнение называют уравнением Клейна - Гордона. К сожалению, уравнение (88) не совсем то, что нам нужно. Хотя оно лоренц-инвариантно (ро — — это квадрат 4-вектора), оно [c.159]

Подстановка в уравнение (25.20) выражений, комплексно сопряженных выражениям (25.9) и (25.10), дает уравнение Клейна — Гордона [c.137]

Уравнение (25.19) при этом переходит в уравнение Клейна— Гордона для комплексно сопряженной функции. [c.137]

Мы видим таким образом, что для уравнения Клейна—Гордона всегда (о(к) 1 1ск], т. е. нормаль к поверхности волнового фронта всегда времени- подобна, следовательно, сам волновой фронт образует пространственно-подоб-лую гиперповерхность, а фазовая скорость волны [c.197]

Все перечисленные свойства решений уравнения Клейна — Гордона суше-ственно зависят от того, что мы приписали единственной входящей в лагранжиан скалярного поля постоянной определенный знак, записав ее в виде > 0. При другом выборе знака интерпретация решений вступила бы в конфликт с требованиями причинности. [c.198]

Описывается формальный метод получения релятивистских волновых уравнений, обсужда-Ю1СЯ уравнение Клейна-Гордона и Дирака и свойства их решений. [c.382]

Первые два члена совпадают с соответствующими членами волнового уравнения Да.1амбера, релятивистская инвариантность которого хорошо известна из электродинамики. Релятивистская инвариантность члена ко Р очевидна, поскольку это скаляр к = onst. Уравнение (71.13) называют уравнением Клейна-Гордона. [c.384]

Волновая функция в уравнении Клейна-Гордона имеет лишь одну компоненту, т.е. является скаляром. Если у волновой функции несколько компонент, то у частицы, к которой относится эта волновая функция, кроме степеней свободы, связанных с перемещениями частицы, имеются внутренние степени свободы. Эти внутренние степени свободы представляют ее спин. То, что волновая функция в уравнении Клейна-Гордона имеет лишь одну компоненту, означает отсутствие у частицы внутренних степеней свободы, т.е. спина. Или, иначе, спин частицы, описываемой уравнением Клейна-Гордона, равен нулю. Такие частицы часто называют скалярными. Поскольку спин электрона равен 1/2, уравнение Клейна-Гордона неприменимо для элек-ipoHa. По-видимому, оно пригодно для я-мезонов, спин которых равен нулю. Трудность с отрицательной плотностью частиц при этом преодолевается методами квантовой теории поля. [c.385]

Нахождение динамич. группы симметрии физ. задачи, с одной стороны, эквивалеитно решению Шрёдин-гера уравнения (или Дирака уравнения, Клейна — Гордона уравнения) для данной системы, с др. стороны — позволяет использовать хорошо развитый матем. аппарат теории представлений групп Ли и получать соот- [Ошения типа рекуррентных соотношений для матричных элементов операторов физ. величин, что важно при расчётах физ. эффектов по теории возмущепий (папр., при расчёте Штарка эффекта для атома водорода). [c.625]

Иоле ф (ж) является решением однородного Клейна— Фока — Гордона уравнени.ч, поэтому ф-цпи D [х), [х), D (х) — также решения этого ур-ния. Ф-цни [c.534]

Теперь рассмотрим уравнение (22.70) полностью, т. е. допустим возможность джозефсоновского тока. Без затухания (т. е. при т = 0) это уравнение принято называть уравнением сии-Гор-дон (при замене sin0 на 0 оно соответствует известному уравнению Клейна—Гордона—Фока для элементарных частиц с нулевым спином). Довольно очевидно, что в присутствии разности потенциалов и магнитного поля может возникнуть своеобразный резонанс, т. е. фазовая скорость джозефсоновских волн Оо сов- [c.475]

Обобщения метода Иоста — Кона (или Гельфанда — Левитана и Марченко) на случай связанных уравнений были даны Ньютоном и Иостом [657] и М. Г. Крейном [978] иа случай рассеяния частиц со спином 1/2 на потенциале тензорных сил — Ньютоном 1641], 3. С. Аграновичем и В. А. Марченко [943] (см. также 9 обзора Ньютона [646]) па случай уравнения Клейна — Гордона — Коринальдези [169] на случай уравнения Дирака — Пратсом и Толлом [695] на случай обоих указанных релятивистских уравнений — Верде [873] на случай связанных каналов — Коксом [183] и на случай сепарабельных потенциалов — Болстерли и Маккензи [88]. [c.577]

Это — релятивистское уравнение Гамильтона — Якоби. Через него устанавливается связь с уравнением Клейна —Гордона квантовой механики, описывающим релятивистское данжение сгчщцы при oт yтQtйИи [c.91]

Угловой момент 14 Ультрафиолетовая катастрофа 37 Унитарный С ИЗоморфнзм 204 Уравнение Клейна — Гордона 30 [c.420]

Wie т< ), так как использовались н )елятивис1ские соотношения р, и и Е. Если же взять известное из теории относительности (для свободной частицы) (где m(r%onst— масса шжоя частицы), то, аналогично проделанному выше, получаем уравнение Клейна-Гордона-Фока [c.218]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...