Фактор-пространство

Другими словами, росток диффеоморфизма в неподвижной точке является ростком преобразования фазового потока за время 1 единственного С -гладкого векторного поля. Оба возникающие вблизи неподвижных точек поля разносятся диффеоморфизмом на весь интервал между особыми точками. Фактор-пространство этого интервала по действию диффеоморфизма диффеоморфно окружности. На этой окружности возникают два векторных поля без особых точек, для которых окружность — цикл с периодом 1. Поэтому на окружности возникают две карты, определенные однозначно с точностью до сдвига времена движения, соответствующие каждому из полей. Функция пе- [c.75]

Пример. Рассмотрим тройку = (С, Н, О/Н). Здесь О — группа Ли, Л — замкнутая подгруппа, 01Н — фактор-пространство. Можно показать, что является Р. с базой ОШ, слоем Н и пространством Р. С, [c.284]

Фактор-пространство всего пространства допустимых траекторий по данному отношению эквивалентности будем обозначать через ГТ. [c.176]

Задача Кеплера была решена уже очень давно. Среди современных понятий, которые можно ввести в методах решения, нам кажется наиболее полезным понятие фактор-пространства. По сути своей редукция — это ни что иное, как последовательность ограничений и переходов к фактор-пространству. Если помнить об этом, то мы увидим всего лишь один и тот же процесс там, где другие видят много. [c.6]

Мы предпочитаем этому классическому представлению объяснение в терминах перехода к фактор-пространству, когда не надо получать угол в, чтобы потом пренебречь им. Представим себе в пространстве (ж, у,ж, у) орбиты действия группы изометрий (i), которые не следует смешивать с орбитами движения, которое мы пытаемся описать. За исключением вырожденных случаев, это пары окружностей в пространстве поскольку группа плоских изометрий — это пара разъединенных окружностей (одна из них содержит вращения, другая — отражения). Проверяем, что С положительно на одной окружности и отрицательно на другой и что вырожденные случаи в точности характеризуются уравнением С = 0. Чтобы придать смысл системе (2.4), теперь достаточно рассмотреть, каким образом тройка I,J,K) задает одну из таких орбит. Итак, система описывает движение в некотором новом пространстве, трехмерном, чьи точки — это пары вышеупомянутых окружностей. Это и есть фактор-пространство. [c.10]

Вопрос 1.3 представляет нам пятимерное пространство, заполненное кривыми — решениями системы Пфаффа. Уже ничто не обязывает нас считать, что эти кривые параметризованы временем t. Можно полагать, что на это пространство действуют две группы симметрии переносы i i + At и враш,ения в в + Ав. Тогда редукция состоит из двух переходов к фактор-пространству сначала мы пренебрегаем переменной t, затем в. Итак, симметрия превосходно обоснована. [c.16]

Тогда отображение момента есть просто Н К К, многообразие нулевого уровня момента есть сфера а фактор-пространство — комплексное проективное пространство СР . [c.343]

НИЛ x t) = о (напомним, что в силу нечетности Q(0,i) = 0). Это позволяет считать vt) полярными координатами на некоторой плоскости Ф. (Более аккуратно следовало бы описать Ф как фактор-пространство, получаемое из секущей поверхности х = О при помощи некоторых отождествлений, учитывающих указанные симметрии уравнения подробнее мы на этом не останавливаемся.) [c.76]

Это свойство замкнутости сохраняется также, когда dim Ну = > О, и стационарная подгруппа Ну нетривиальна. В этом случае орбита 0 v) имеет размерность к — , и вектор v эффективно определяется п — к — ) скалярными параметрами. С другой стороны, если Ау — алгебра Ли группы Ну, то T b)v = О для любого Ь е Ау. Поэтому отвечающий стационарному режиму вектор а определяется к — = dim А/А ,, (А/Ау — фактор-пространство) параметрами. Снова получается, что общее число неизвестных есть п, и таков же порядок системы (2.15). [c.250]

Свойство компактности вихревых многообразий позволяет осуществить в целом факторизацию группы С по вихревым многообразиям. После факторизации система уравнений х = у х,с) становится гамильтоновой на фактор-пространстве четной размерности п — к. Обсуждение различных аспектов понижения порядка систем с симметриями можно найти в книге [10]. [c.181]

Норма в Я "+ /2(у), как обычно в фактор-пространстве, задается равенством [c.10]

Если Г имеет две образующие, то она может быть описана как двумерная решетка Л С С, то есть является аддитивной группой, порожденной двумя комплексными числами, которые линейно независимы над М. (Два таких образующих, как 1 и /2, линейно зависимы над М и не порождают дискретную группу.) Фактор-пространство Т = С/Л называется тором. [c.27]

Утверждается, что g должна быть постоянной, скажем g(z) = с для всех 2 . В самом деле, g индуцирует отображение из Т в фактор-пространство С/(/3 — ат)Ъ, которое в зависимости от того, равно ли нулю (/3 — ат) или нет, является либо плоскостью С, либо бесконечным цилиндром. В любом случае это фактор-пространство является некомпактной римановой поверхностью, в то время как Т — компакт. Согласно принципу максимума модуля, это отображение должно быть [c.85]

Построим фактор-пространство Т = U p )/f, отождествляя р с f p) в тех случаях, когда обе эти точки принадлежат U. Покажи- [c.110]

Далее можно описать геометрию в окрестности параболической неподвижной точки следующим образом. Как и в (10 1), рассмотрим локальное аналитическое отображение с неподвижной точкой, имеющей мультипликатор А = 1. Пусть 5 либо один из п притягивающих, либо один из п отталкивающих лепестков, как в теореме 10.5. Построим фактор-пространство 5 //, отождествляя г с /(г), если оба г и /(г) принадлежат (Это означает, что г отождествляется с /(г) для каждого г 6 5 в случае притягивающего лепестка и для каждого г6 (ёР) в случае отталкивающего лепестка.) [c.138]

Рис. 39. Слева диск с тремя фундаментальными областями вращения на 120 градусов и обозначенным направлением вращения в то-плоскости, справа — фактор-пространство с указанной метрикой

Пусть Р (1) = — пространство всех таких отображений. Покажите, что действие группы Z d — ) корней й — 1)-й степени из единицы на Р й) является линейным сопряжением, меняющим /(2 ) на /(и )/ , и что фактор-пространство P d)/Z d — 1) совпадает с пространством модулей полиномов степени с с точностью до линейного сопряжения. Покажите, что если с 4, то это пространство модулей не может быть многообразием. [c.302]

Главным фактором, определяющим потерю энергии при течении жидкости через шаровой слой, он считал форму пространства между шарами. На рис. 2.1 показаны модели ячейки [c.42]

Важным фактором, управляя которым, можно добиться выполнения условий сходимости метода Ньютона, является близость точки начального приближения Vo к точке корня V. Это обстоятельство привело к появлению метода, повышающего вероятность сходимости метода Ньютона и называемого методом продолжения решения по параметру. В этом методе в решаемой системе уравнений выделяют параметр, влияющий на положение точки корня в пространстве фазовых переменных. Например, при анализе электронной схемы таким параметром может быть напряжение источника питания. Система (5.1) решается методом Ньютона многократно при ступенчатом изменении параметра. Пусть параметр Е выбран так, что при - 0 имеем V - 0. Тогда при первом решении выбираем Vq=0 и находим значение корня V, , соответствующее начальному значению параметра Е. Далее увеличиваем Е и решаем систему уравнений при начальном приближении Vo=Vj [c.228]

Подгруппа K z наз. и н в а р и а и т н о й подгруппой (или нормальным делителе м), если для любого g G имеет место gKg =K (т. е. gkg- - K, коль скоро к К). В случае инвариантной подгруппы правые смежные классы совпадают с левыми, Kg gK. В этом случае умножение на Г. естеств. образом определяет умножение смежных классов gK) g К)= l"g )K, так что фактор-пространство Gi К нревращается в Г. Эта Г. наз. ф а к т о р-г р у п п о й G по К. Напр., в группе Пуанкаре Р выделяют две подгруппы Г. трансляций Т и Лоренца группу L. Подгруппа Т инвариантна и Р. Фактор группа Р/Т изоморфна L (об изо.морфизме см. ниже). Примером инвариантной подгруппы является центр г р у п п ы G, т. е. множество элементов, каждый из к-рых коммутирует со всеми остальными элементами Г. [c.541]

Число p играет роль радиуса кривизны пространства де Ситтера, Пространство обладает группой движений, к-рая кроме сдвигов (трансляций) включает нсевдоорто-гональные преобразования они сами по себе образуют грунну 0(4, 1), причём преобразования из этой группы переводят псевдосферу S в себя и сохраняют метрику на ней, т. е, являются движениями пространства S. Группу 0(4,1) наз. Д- С, г. Иногда под Д. С. г. понимают подгруппу 50(4, 1), к-рая выделяется требованием, чтобы все входящие в неё линейные преобразования (матрицы) обладали единичным детерминантом. Пространство де Ситтера можно отождествить с фактор-пространством Д. С. г. по подгруппе Лоренца (см. Лоренца группа), S = SO A, )ISO (3,1), Иногда рассматривают пространство де Ситтера 2-го рода (или антидоситтеровское пространство). [c.583]

Подмножество B z.A в Л, а. наз, подалгеброй Л и, если оно само является Л. а. относительно тех же операций. Это значит, что В — линейное подпространство, и операция коммутирования не выводит из В. Последнее можно записать символически [В, В]< В. Если для подпространства Дс/1 выполняется более сильное условие [А, В]< В, то В наз. идеалом в Л. Если В — идеал, то фактор-пространство. 4/5, элементами к-рого являются классы X+S (т. е. множества элементов вида Х + У, где У пробегает все В), само является Л. а. Операции в этой фактор- [c.583]

Процесс редукции в предыдущем параграфе состоит только из ограничений, которые на языке аналитики означают исключени. Процесс, описанный в следующем параграфе носит более общий характер требуется вводить ограничения и переходить к фактор-пространству, что на языке аналитики означает введение инвариантных переменных. [c.8]

Добавление 3. Когомологии и гомологии. Все А -формы на М образуют линейное пространство, замкнутые Л-формы — его подпространство, а дифференциалы к — 1-форм — подпро-страаство пространства замкнутых форм. Фактор-пространство [c.173]

Назовем степенью неквазиоднородности ростка / размерность фактор-пространства [c.431]

Определение П 1.16. Рассмотрим топологическое пространство (X, Т) и предположим, что имеется некоторое отношение эквивалентности . определенное на X. Тогда определена естественная проекция тг на множество X классов эквивалентности. Фактор-пространством Х/ = (X, 5)называется топологическое пространство, определяемое следу-ющим збразом множество ОСХ объявляется открытым, если множество тг (0) открыто, т. е. X рассматривается со слабейшей топологией, в которой проекция тг непрерывна. [c.694]

Мы встретимся с важным классом факторпространств при рассмотрении представления группы G гомеоморфизмами пространства X с замкнутыми орбитами. В этом случае, отождествляя все точки одной орбиты, можно получить факторпространство, которое обозначается X/G л называется фактором пространства X по G. Для случая, когда Х = S и G — циклическая группа поворотов на рациональный угол, мы получаем XjG X. Если X =R и G — группа параллельных переносов на векторы, параллельные оси х, то X/G R. Тор получается из R при отождествлении точек по модулю Z", т. е. две точки отождествляются, если их разность находится в Z". Равным образом, тор получается отождествлением пар противоположных сторон единичного квадрата (или любого прямоугольника) с сохранением ориентации. Конус над пространством X — пространство, полученное отождествлением всех точек вида (х, 1) в прос анстве (X х [О, 1], топология произведения). Сфера получается при отождествлении всех точек границы замкнутого шара. [c.695]

Упомянутая теория когомологий для компактных многообразий — теория когомологий де Рама к-я группа когомологий определяется как фактор пространства замкнутых А-форм по пространству точных -форм. По лемме Пуанкаре он представляет собой конечномерное векторное пространство. Оно находится в естественной двойствениости с -й группой гомологий многообразия с вещественными коэффициентами (см. П 7). Совокупность когомологий обладает также естественной мультипликативной структурой, индуцированной внешним произведением. [c.709]

Пусть (М, N, рг, S, G)—расслоение с пространством расслоения М, базой jV, проекцией рг M- -N (ранг дифференциала рг, во всех точках М равен dimA ), слоем S и структурной группой G. Группа G свободно и транзнтивно действует слева на слое 5. Это действие можно продолжить до левого действия G на М при этом все орбиты G будут диффеоморфны 5. В случае главного расслоения многообразие 5 диффеоморфно пространству группы G. Базу N можно рассматривать как фактор-пространство многообразия М по отношению эквивалентности, заданному действием группы G. Векторы Vx, X( S, касательные к орбитам группы G, вертикальны pr (i ) =0. [c.100]

Согласно предложению 6, если 2-форма fi имеет постоянный ранг, то все и-мерное многообразие М расслоено на (и — 2й)-мерные 2к = rankfi) вихревые многообразия Wx- Введем на М отношение эквивалентности, отождествив точки, лежащие в одной связной компоненте вихревых многообразий. Это отношение позволяет определить фактор-пространство [c.128]

Как мы видели, если rank(rottt) постоянен и равен 2к, то конфигурационное многообразие М" расслоено (и — 2й)-мерными вихревыми многообразиями N. Отождествляя точки, лежащие на одних и тех же связных компонентах вихревых многообразий, приходим к 2й-мерному фактор-пространству M/N. Обобщенная теорема Гельмгольца—Томсона позволяет корректно определить на M/N фактор-систему, которая также имеет вид уравнений Ламба с невырожденной матрицей ротора (уравнения (4.11) главы II). [c.207]

Фактор-пространство 128 Фактор-система 128 Ферма принцип 42 Фигуратриса 48 Фокальная поверхность 41 [c.238]

Другая важная идея состоит в использовашти принадлежащего Ж. Дени и Ж. Л. Лионсу основного результата относительно пространств Соболева, которосй буквально пронизывает математический анализ метода конечных элементов на фактор-пространстве Q)/P/ (Q) полунорма и —норма, экви- [c.115]

Теорема об униформизации для произвольной римановой поверхности. Каждая риманова поверхность Б конформно изоморфна фактор-пространству вида 8/Т, где 8 — односвязная риманова поверхность, изоморфная либо диску В, либо С, либо С, и Г = 7Г1(5 ) — группа конформных автоморфизмов, действующая на 8 свободно и собственно разрывно. [c.26]

Заметим, что эти утверждения очевидным образом несправедливы в негиперболическом случае. Например, если 8 = Т либо риманова сфера С, либо комплексная плоскость С, либо фактор-пространство /Z, либо С/Л, то последовательность отображений г пг Но1(5, 8) переводит компактное множество К = К = 0 в себя и, несмотря па это, не имеет сходящейся последовательности, т. к. последовательность из первы) п оизводпых в нуле расходится. В самом деле, пространство Но1(С, С) всех рациональных отображений локально-компактно, но не компактно, тогда как пространство Но1(С, С) не является даже локально-компактным. (Задача 3-с.) [c.47]

Пример 3. Сфера С. В оставшейся части этого параграфа мы опишем семейство примеров, построенных С.Латтэ незадолго до его смерти от брюшного тифа в 1918 г. Для данной решетки Л С С построим фактор-пространство — тор Т = С/Л, как в 2 или 6. Поэтому Т является и компактной римановой поверхностью, и аддитивной группой Ли. Заметим, что автоморфизм г —г этой поверхности имеет в точности четыре неподвижные точки. Например, если Л = Ж + тЖ является решеткой с базисом, состоящим из 1 и т, где т Ж, то эти четыре неподвижные точки таковы О, 1/2, т/2 и (1 + т)/2 (тоёЛ). [c.90]

Фактор-пространство II/ди, полученное склеиванием всей границы в точку, очевидным образом гомеоморфно двумерной сфере. Поскольку А соответствует в этом фактор-пространстве жордановой кривой, утверждение леммы вытекает из теоремы Жордана. (Ср., например, Манкрес.) [c.209]

Замечание. Согласно Тёрстону, общее понятие орбифолда включает структуру, устроенную локально, как фактор-пространство евклидова пространства по конечной группе. Однако в случае римановой поверхности может возникнуть только циклическая группа, таким образом, может быть использовано упрощенное определение.) [c.287]

Одним из определяющих факторов технологических основ применения станков с ЧПУ является координатное п[)остранство, т. е. область, ограниченная размерами нанбольших координатных перемещений, например XYZ. Вместе с шириной В и длиной i рабочей поверхности стола размеры координат1юю пространства характеризуют наибольшие возможные размеры обрабатываемых заготовок и мест обработки. Кроме того, величины наибольших координатных перемещений в сочетании с дискретностью отсчета характеризуют пределы использования точностных и размерных возможностей устройсгва ЧПУ. [c.219]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...