Вихревой вектор

На основании уравнения (25) первый корень дает р = 0, = 0 и соответствует незначительному постоянному перемещению в пространстве оси вихревого вектора жидкости. Второй корень соответствует свободной эйлеровой нутации оболочки, не зависящей в этом случае от наличия жидкости. Равным образом и вынужденные колебания оболочки также не зависят от жидкости. [c.915]

Движение жидкости, лишенной трения, с вращением частиц. Вихревые нити. Для изучения движений однородной, лишенной трения жидкости с вращением частиц воспользуемся опять теоремой Томсона о постоянстве циркуляции по замкнутому жидкому контуру. Из этой теоремы и из геометрических свойств ротации скорости (называемой также вихревым вектором) можно вывести известные теоремы Гельмгольца о вихревых движениях. Эти теоремы, касающиеся весьма важных геометрических и механических соотношений, имеющих место при движении жидкости с вращением частиц, были выведены самим Гельмгольцем несколько иным путем, а именно — на основе электродинамических представлений . Однако следствия, вытекающие из этих теорем, получаются простыми только в том случае, когда частицы жидкости, находящиеся во вращении, занимают область в виде нити, и вне этой области движение происходит без вращения частиц. В таком случае говорят о вихревых нитях. Важнейшие теоремы о вихревых нитях можно вывести из свойств окружающего их потенциального течения, не углубляясь при этом в детали движения жидкости с вращением частиц. Таким образом, мы должны вернуться [c.107]

Вихревые линии. Возможно также рассмотреть линии, которые в каждой точке пространства имеют в качестве касательных вихревые вектора. Их дифференциальные уравнения будут иметь вид [c.20]

Предположим, что нам известны величина и направление вихревого вектора. Разделим этот вектор на 2тг и будем считать, что полученный таким образом вектор представляет собой электрический ток. Полученная таким образом система токов создает магнитное поле, вектор которого, кроме того, задает скорость частиц жидкости в той же точке. Таким образом, силовые линии магнитного поля аналогичны линиям тока гидродинамических течений. [c.46]

Это соотношение показывает, что вектор (Д , Ат], А() должен находиться в плоскости элемента ёи). Если он является касательным к поверхности 7 = О за время (И, то мы также получаем / = 0. Посколь-ку = О, то вихревая поверхность не должна изменяться. Если мы хотим, чтобы вихревые линии сохранились, то необходимо, чтобы некоторый элемент этих линий вектора А , Аг], АС,) постоянно оставался касательным к вихревому вектору. Для этого необходимо, чтобы плоскость элемента йи содержала сразу два введенных вектора, и поскольку это должно иметь место для каждого элемента ( ш, проходящего через вихрь, то необходимо, чтобы эти два вектора совпадали по направлению, другими словами, чтобы выполнялось равенство [c.151]

Вихревые векторы - собственные векторы матрицы А с нулевым собственным. значением. [c.70]

Покажем, что если точка Хо G N не является критической точкой функции В, то векторы v(xo) О и w xq) ф О линейно независимы. Действительно, если они зависимы, то v — вихревой вектор. Но тогда для любого вектора а имеем [дВ/дх)а= —[roi uxv)a = 0. Следовательно, dB[xo) = О, что и требовалось доказать. [c.71]

Чтобы пояснить происхождение названия вихревой вектор , обсудим простой пример. Пусть а = (м, V, т) — гладкое векторное поле в трехмерном ориентированном евклидовом пространстве = х,у,г . Полю а поставим в соответствие 1-форму [c.61]

Пусть i z) — ненулевое гладкое векторное поле в Р, составленное из вихревых векторов формы ф. Интегральные кривые этого поля (они не зависят, разумеется, от длины векторов ) назовем вихревыми линиями. Из вида матрицы (5.17) следует, что если = (x ,y ,t ) — [c.62]

В соответствии с терминологией, принятой в 5 гл. I, вектор V — вихревой вектор для замкнутой 2-формы ф. Если — форма энергии-импульса в расширенном фазовом пространстве, то равенство (2.3) представляет вихревой принцип гамильтоновой механики (см. 5). [c.110]

Итак, пусть всюду Е, Н) = О и Е + ф 0. Тогда замкнутая 2-форма F имеет два вихревых вектора. Их пространственные и временные компоненты равны соответственно [c.111]

Зафиксируем момент времени t. Вихревым вектором в точке ж М" мы назвали касательный вектор w Т М, такой, что [c.123]

В матричных обозначениях это равенство имеет вид (rot u)w = О (вихревой вектор — это собственный вектор кососимметрической матрицы ротора с нулевым собственным значением). [c.123]

Предложение 6. Распределение Па, вихревых векторов интегрируемо. [c.123]

Пусть и)1 и и)2 — два векторных поля на М, составленные из вихревых векторов. Если распределение II интегрируемо, то поля гих и адг касаются интегральных многообразий . Следовательно, их коммутатор [ад1, Ш2] также касается то есть будет вихревым полем. Это необходимое условие интегрируемости распределения плоскостей П является также и достаточным (см., например, [61]). [c.124]

Замечание. При доказательстве интегрируемости распределения вихревых векторов использовалось лишь свойство замкнутости формы О. [c.124]

Пусть теперь wi(0) — вихревой вектор. Тогда fi(wi(0), ) = 0. Следовательно, согласно (4.4), fi(wi(i),-) = 0. Значит, wi t) будет вихревым вектором при всех значениях t. [c.125]

Таким образом, дифференциал фазового потока rfg переводит распределение вихревых векторов при i = О в распределение вихревых векторов, заданных в момент времени t. Пусть Wo — вихревое многообразие в начальный момент и Wt = Wo). Поскольку векторы w(0) касаются поверхности Wo, то их образы w t) будут касаться Wt- Следовательно, Wt — вихревое многообразие в момент t. Ш [c.125]

Пусть теперь ги — произвольное векторное поле, составленное из вихревых векторов, которые касаются связного вихревого многообразия . Так как = О, то из (4.5) следует тождество [c.126]

Примем их за первые 2к локальных координат и сохраним за новыми переменными прежние обозначения Ж1,..., ж . В новых координатах уравнения (1.1) будут иметь тот же вид, а вихревые векторы — линейные комбинации векторов [c.129]

Пусть т х,1) — гладкое векторное поле на М, состоящее из вихревых векторов. Справедливо [c.132]

Так как г ф = О и Ьцф = гц(1ф +(Нцф = О, то [ад,й] — вихревой вектор, компоненты которого равны [c.132]

Если. .., — базис вихревых векторов, то. .., [c.133]

V — базис вихревых векторов в расширенном пространстве. Следовательно, [c.133]

Поскольку -компонента поля Ъ равна 1, то, согласно (5.1), // = 0. Следовательно, 9ад/9 -Ь[ад, г>] — вихревой вектор при всех значениях I. [c.133]

Рассмотрим важный частный случай, когда п нечетно и 2-форма О неособая при всех значениях 1. Тогда в каждой точке х е М вихревые векторы образуют одномерное подпространство. Справедлива локальная [c.133]

Таким образом, если Q wi t), W2 t)) обращается в нуль при i = О, то эта функция тождественный нуль для всех значений t. Следовательно, вихревые векторы замкнутой 2-формы fi вморожены в поток системы (6.5). Отсюда, в свою очередь, вытекает обобщенная теорема Гельмгольца—Томсона поток системы дифференциальных уравнений (6.5) переводит вихревые многообразия в вихревые многообразия. [c.144]

В меньшей степени изучен характер распределения в камере энергоразделения вихревых труб радиальной компоненты вектора скорости V( V , V , К ). [c.106]

Вектор W ф О называется вихревым, если rot и х w = 0. При нечетном п вихревые векторы всегда существуют. Поле и назовем неособым, если ранг матрицы rot и равен п — 1. При п = 3 критерием неособости поля и является условие rot и 0. [c.68]

В неособом случае вихревые векторы в каждый момент времени образуют гладкое поле направлений на N. Интегральные кривые этого поля называются вихревыми линиями. Оказывается, фазовый поток уравнения (2.5) переводит вихревые линии в вихревые линии. Это утверждение — следствие теоремы Томсона из п. 3. Оно обобщает известный результат Гельмгольца о вмороженнос-ти вихревых линий в динамике идеальной жидкости. [c.69]

Теорема Бернулли обобщается на случай, когда поле и является особым ранг матрицы rot и (или, более общо, ранг матрицы А из уравнения (2.12)) падает более чем на единицу. Вихревые векторы в каждой точке х Е N образуют линейное подпространство Wx С С TxN. В случае постоянства ранга матрицы rot и (или А) размерность Wx не зависит от х. Таким образом, имеется распределение касательных пространств. Ввиду (2.13), согласно теореме Фробениуса, это распределение интегрируемо. Следовательно, конфигу- [c.71]

Вакономная механика 27 Ветвление решений 328 Вихревой вектор 68 [c.427]

Любая 2-форма в нечетномерном пространстве вырождена для любой точки г Е Р найдется ненулевой вектор ТгР, такой, что ф , Г)) = 0 при всех г) Т Р. Вектор будем называть вихревым вектором. Ясно, что вихревые векторы — это собственные векторы матрицы А с нулевым собственным значением. [c.61]

В силу формулы (5.19), вектор rota (вихрь поля а) является вихревым вектором для 2-формы ф. Эти замечания служат мотивировкой для выбранной нами терминологии в многомерном случае. [c.62]

Форма ф называется неособой, если для всех z Е Р вихревой вектор i z) единственный с точностью до постоянного (ненулевого) множителя. Так, например, условием неособости 2-формы (5.17) является неравенство rota ф 0. Поскольку ранг матрицы (5.17) равен 2и, то форма (5.16) неособая. [c.62]

Пусть п четно и 2-форма ф является неособой. Тогда вектор v определен однозначно с точностью до ненулевого множителя. В общем случае у формы ф имеются другие линейно независимые вихревые векторы. Среди них — векторы w, имеющие в координатах x,t компоненты w,0, где w — вихревой вектор 2-формы Q = du в п-мерном пространстве М. Число независимых вихревых векторов w равно п — rank(rottt). Эти векторы играют в нашей теории ключевую роль. Ясно, что векторы вида v + w также будут вихревыми для формы ф. [c.110]

Согласно (4.1), все вихревые векторы в точке х образуют линейное подпространство Пж С Т М. Пусть га = dimlla . Ясно, что [c.123]

Интегральные многообразия распределения вихревых векторов будем называть вихревыми многообразиями. Они являются естественным обобщением вихревых линий из гидродинамики. Подчеркнем, что в общем случае вихревые многообразия будут разными в различиные моменты времени. [c.124]

Поскольку и-форма т невырождена, то поле w определяется этой формулой однозначно. Поле w = rotw называется обобщенным ротором векторного поля v (см. например, [17]). Его абсолютная дивергенция, конечно, равна нулю. Так как класс 2-формы fi равен 2fe = и - 1, то W — вихревой вектор при всех значениях х и t. [c.137]

Прежде всего надо показать, что системы уравнений (4.16)-(4.17) имеют решения. Действительно, [vi,vj] = О, а коммутаторы [vi,Wj] линейно выражаются через вихревые векторы w. Это вытекает из предложения 1 5 главы II с учетом замечания, что уравнение Ламба (3.10) не содержит производной от ковекторного поля и по независимой переменной, играющей роль времени. [c.213]

Поскольку кинетическая энергия (9) представляет собой невырожденную квадратичную форму, то бесконечная серия интегралов (8) позволяет в принципе найти скорость течения v как функцию на группе SDiff М. Таким образом, на SDiff М естественным образом возникает бесконечномерная динамическая система, фазовый поток которой схож по своим свойствам со стационарным течением невязкой жидкости. Было бы интересным изучить эту систему с гидродинамической точки зрения, изложенной в гл. III (вихревые векторы и многообразия, поверхности Бернулли, инвариантные меры...). Такой подход можно назвать вторичной гидродинамикой. [c.222]

Микро- и макроструктур закрученного потока представлякгг особый интерес для понимания физического механизма процессов течения и тепломассообмена. На структуру турбулентного течения существенно влияют особенности радиального распределения осредненных параметров и кривизна обтекаемой газом поверхности. При этом поле турбулентных пульсаций при закрутке всегда трехмерно и имеет особенности, отличающие его от турбулентных характеристик осевых течений [16, 27, 155, 156]. Одно из основных и характерных отличий состоит в том, что в камере энергоразделения вихревой трубы наблюдаются значительные фадиенты осевой составляющей скорости, характеризующие сдвиговые течения. Эти градиенты наиболее велики на границе разделения вихря в области максимальных значений по сечению окружной составляющей вектора скорости. Приосевой вихрь можно рассматривать как осесимметричную струю, протекающую относительно потока с несколько отличной плотностью, и естественно ожидать при этом появления эффектов, наблюдаемых в слоях смешения струй [137, 216, 233], прежде всего, когерентных вихревых структур с детерминированной интенсивностью и динамикой распространения. Экспериментальное исследование турбулентной структуры потоков в вихревой трубе имеет свои специфические сложности, связанные с существенной трехмерностью потока и малыми габаритными размерами объекта исследования, что предъявляет достаточно жесткие требования к экспериментальной аппаратуре. В некоторых случаях перечисленные причины делают невозможным применение традиционных [c.98]

Этот факт имеет достаточно прозрачное физическое объяснение. При неизменных геометрии трубы и степени расширения в ней увеличение ц достигается прикрьггием дросселя, т. е. уменьшением площади проходного сечения для периферийных масс газа, покидающих камеру энергоразделения в виде подогретого потока. Это равносильно увеличению гидравлического сопротивления у квазипотенциального вихря, сопровождающегося ростом степени его раскрутки, увеличением осевого градиента давления, вызывающего рост скорости приосевых масс газа и увеличение расхода охлажденного потока. Наибольшее значение осевая составляющая скорости имеет в сечениях, примыкающих к диафрагме, что соответствует опытным данным [116, 184, 269] и положениям усовершенствованной модели гипотезы взаимодействия вихрей. На критических режимах работы вихревой трубы при сравнительно больших относительных долях охлажденного потока 0,6 < р < 0,8 течение в узком сечении канала отвода охлажденных в трубе масс имеет критическое значение. Осевая составляющая вектора полной скорости (см. рис. 3.2,а), хотя и меньше окружной, но все же соизмерима с ней, поэтому пренебрегать ею, как это принималось в физических гипотезах на ранних этапах развития теоретического объяснения эффекта Ранка, недопустимо. Сопоставление профилей осевой составляющей скорости в различных сечениях камеры энергоразделения (см. рис. 3.2,6) показывает, что их уровень для классической разделительной противоточной вихревой трубы несколько выше для приосевых масс газа. Максимальное превышение по модулю осевой составляющей скорости составляет примерно четырехкратную величину. [c.105]

Таким образом, КВС как области с повышенным энергосодержанием, переходят на периферию, тем самым увеличивая ее энергию. Такой механизм неустойчивости действует только в одном направлении и хорюшо согласуется с возникновением реверса при образовании зоны рециркуляции в области диафрагмы вихревой трубы. В этом случае КВС возникают на фанице рециркулирующего потока. Направление силы Г можно определить по знаку скалярного произведения вектора угловой скорости вращения приосевого вихря Л и вектора угловой скорости вихревого жгута <0, после его разворота. В описанном выше безре-циркуляционном режиме это произведение положительно, что соответствует силе, направленной к периферии. Возникновение зоны рециркуляции приводит к изменению направления начальной завихренности КВС и осевой составляющей скорости, что соответствует зеркальному отражению относительно плоскости, перпендикулярной оси вихревой трубы. Но при зеркальном отражении скалярное произведение не изменяется и, соответственно, не изменяется направление действия силы F. В результате вихревой перенос энергии будет идти из зоны рециркуляции в область потока, выносимого через отверстие диафрагмы, что и приводит в конечном счете к его нагреванию. [c.130]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...