Интегралы первые независимые

Теорема 9.3.2 и ее следствие 9.3.4 дают простое правило, позволяющее из двух известных первых интегралов получить при помощи алгебраических операций и дифференцирования третий интеграл, четвертый и т.д. Однако при этом не все получающиеся интегралы будут независимыми, так как независимых функций от 2п переменных может быть не более чем 2п. Иногда может получиться функция от исходных первых интегралов, а иногда числовое тождество. [c.640]

Действительно, число независимых постоянных интегрирования равно числу независимых первых интегралов или удвоенному числу независимых вторых интегралов уравнений движения. Но кинематические уравнения движения должны удовлетворять уравнениям геометрических и кинематических связей, не зависящим от постоянных интегрирования. Уравнения геометрических связей можно рассматривать как вторые интегралы уравнений Лагранжа первого рода с исключенными множителями kj и рз, а уравнения кинематических связей, соответственно, как их первые интегралы. Итак, среди интегралов рассматриваемой системы уравнений есть к вторых интегралов и I первых, независимых от постоянных интегрирования. Следовательно, число независимых постоянных интегрирования равно 6/г — 2/г — I. [c.34]

Основываясь на геометрическом смысле констант с я Су легко можно было бы показать, что других зависимостей между ними не существует. Если, вместо интегралов (18.27), иметь в виду эквивалентные им скалярные интегралы (18.19) и (18.21), то можно высказать следующее положение между шестью первыми интегралами (18.1,9) и (18.21) существует одна зависимость (18,28), Следовательно, законы изменения количества движения и кинетического момента могут дать пять независимых первых интегралов. Шестой независимый интеграл, как мы увидим, даёт в некоторых случаях закон изменения кинетической энергии. [c.162]

Интегралы первые 139 их применение к уменьшению числа переменных 474 зависимость между ними 162 --независимые 162, 204 [c.649]

К настоящему времени в динамике известно довольно много интегрируемых задач. Решение всех таких задач, имеющих п степеней свободы, основано на существовании п первых независимых интегралов в инволюции. В этих случаях согласно теореме Лиувилля [2] уравнения движения решаются в квадратурах. Можно показать Щ, что существование полного набора интегралов в инволюции влечет следующую картину поведения траекторий в 2п-мерном фазовом пространстве. Все фазовое пространство разбивается на области, расслоенные совместными уровнями первых интегралов на замкнутые п-мерные инвариантные многообразия. Если эти многообразия компактны, то они суть п-мерные торы, несущие на себе квазипериодические движения. [c.35]

Оказывается, интегрируемые биллиарды — редкое исключение среди всего множества биллиардов. Причина кроется в сложном поведении фазовых траекторий типичных биллиардных систем в-общем случае траектории не уклады-ваются на поверхности уровня интегралов, независимых от интеграла энергии. Для того чтобы дать строгие доказательства неинтегрируемости, надо прежде всего выделить классы функций в фазовом пространстве, среди которых разыскиваются первые интегралы. Мы выделяем два естественных класса первых интегралов. Первый составляют аналитические интегралы, а второй. — полиномы от скоростей с гладкими (или даже непрерывными) коэффициентами. Отметим, что во всех известных проинтегрированных биллиардных задачах дополнительные интегралы лежат в пересечении этих классов функций. [c.120]

Задача интегрирования системы обыкновенных дифференциальных уравнений порядка 2л в случае общего положения эквивалентна задаче об отыскании 2л независимых первых интегралов. Если уравнения являются системой канонических уравнений Гамильтона, то достаточно знать л первых независимых интегралов в инволюции, чтобы. найти ее общее решение. [c.181]

Среди этих т интегралов могут быть и зависимые, т. е. некоторые из равенств, входящих в систему (27), могут оказаться следствиями остальных. Такие зависимые первые интегралы не могут быть использованы для упрощения уравнений движения, и нас интересуют лишь системы независимых первых интегралов (27). Если т=--2п и если все равенства, входящие в систему (27), независимы, то система первых интегралов называется полной. В силу независимости функций, входящих в эту систему, полная система из т = 2п первых интегралов может быть разрешена относительно аргументов — ими являются координаты и обобщенные импульсы —и представлена в виде [c.266]

Рассмотренный пример циклических координат характерен для способа использования первых интегралов с целью понижения порядка рассматриваемой системы дифференциальных уравнений. Общий метод механики в таких случаях как раз и состоит в том, чтобы, используя наличие первых интегралов, отщепить часть уравнений системы и затем использовать независимые квадратуры. [c.271]

Наоборот, определив каким-либо путем шесть независимых между собой первых интегралов, мы можем получить из них общее решение уравнений движения в виде (8). Отыскание первых интегралов имеет еще то важное значение, что для решения ряда конкретных задач механики оказывается достаточным найти только некоторые из этих интегралов (иногда даже один), что существенно упрощает процесс решения. [c.324]

Из-за независимости друг от друга координат и импульсов всех точек скобки Пуассона исследуемого набора первых интегралов будут суммами скобок Пуассона членов, соответствующих каждой отдельной точке. Скобки Пуассона, взятые от первых интегралов, дадут соотношения, аналогичные полученным для отдельных точек. Следовательно, с помощью скобок Пуассона, например, по трем первым интегралам [c.641]

Если известны к независимых первых интегралов у, ..., ук, то с помощью преобразования к координатам у, ..., ук, Хк+, ..., Хт исходная система дифференциальных уравнений может быть приведена к следующей [c.675]

Теорема 9.6.2. Пусть известны к независимых первых интегралов У1,..., Ук, в также множитель Якоби М. Тогда множитель Якоби N для системы т—к дифференциальных уравнений, к которой приводится исходная система, имеет вид [c.675]

Таким образом, знание множителя Якоби и т - 2 независимых первых интегралов автономной системы дифференциальных уравнений позволяет свести к квадратурам задачу определения ее траекторий. [c.677]

Теорема 9.7.9. (Теорема Лиувилля об интегралах в инволюции). Пусть имеется п независимых, находящихся в инволюции первых интегралов /ь...,/ системы уравнений Гамильтона. Тогда существует каноническое преобразование, приводящее уравнения движ.ения к форме [c.694]

Показать, что в задаче исследования движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки достаточно найти 4 независимых первых интеграла, чтобы определить траектории движения. Перечислить эти интегралы в случаях Эйлера, Лагранжа-Пуассона, Ковалевской. Какие первые интегралы являются общими для всех этих случаев [c.702]

Если из системы (9) удается найти три независимых первых интеграла, то задача интегрирования упрощается, так как вместо интегрирования системы дифференциальных уравнений второго порядка достаточно проинтегрировать систему трех дифференциальных уравнений первого порядка, которую представляют эти первые интегралы. [c.234]

Количество д независимых постоянных интегрирования и вместе с тем количество независимых первых интегралов не превышают шести, так как система уравнений (IV.2) — система шестого порядка. [c.322]

Иа основании вышеизложенного приходим к выводу, что теорема об изменении момента количества движения может дать либо три независимых первых интеграла, либо один. Случай двух первых интегралов приводит к дополнительным ограничениям, которые необходимо наложить на начальные условия, а это в свою очередь показывает, что константы интегрирования С и Су должны быть равны нулю. Поэтому нельзя получить два независимых первых интеграла. [c.393]

Сравнивая соотношение (а) с уравнением (11.380), замечаем, что множитель Якоби для системы уравнений (III. 16) равен единице. Следовательно, проблема интегрирования системы уравнений (III. 16), действительно, сводится к нахождению ее четырех независимых интегралов. Три первых интеграла системы уравнений (III. 16) можно найти непосредственно. [c.414]

Первый интеграл уравнений движения (68) имеет место при достаточно широких предположениях относительно свойств задаваемых сил (консервативность) и характера связей (стационарность) или, несколько более общо, относительно вида функции Лагранжа L (независимость ее от времени). Обратимся теперь к рассмотрению других первых интегралов, существование которых требует более сильных ограничений, накладываемых на выражение кинетического потенциала. [c.400]

Обозначение X f) введено для краткости записи. Очевидно, что если /i, /2,. .., /i (Z s /с — 1) —первые интегралы, то и любая функция F (/], /2,. .., /() тол е будет первым интегралом системы (1). Если известны I независимых первых интегралов [c.266]

Из (1) видно, что движение центра масс и вращение стержня независимы (в отличие от движения в неоднородном поле тяжести). Первыми интегралами являются полная энергия стержня, полная энергия центра масс, горизонтальные проекции импульса центра масс и вектор момента импульса стержня. [c.205]

Численные методы решения интегральных уравнений базируются в первую очередь на возможности вычисления самих интегралов, присутствующих в уравнениях, независимо от применяемого способа решения уравнений, идет ли речь о методе последовательных приближений (когда на каждом этапе из- [c.571]

Например, шесть уравнений (4), полученных после разрешения общих интегралов уравнений движения относительно произвольных постоянных, образуют шесть независимых первых интегралов. [c.268]

Наоборот, если известны шесть независимых первых интегралов вида (6), где целое число v равно шести, то из этих уравнений после разрешения относительно х, у, г, х, у, г получится общий интеграл уравнений движения. [c.269]

Положим теперь е = 1 и рассмотрим уравнения Гамильтона с гамильтониЕшом Щ- -Н. Как уже отмечалось в п. 4 1 гл. П, если система с гамильтонианом Но -Ь Н имеет п полиномиальных по импульсам интегралов с независимыми старшими однородными формами, то система с гамильтонианом Но -Ь еН имеет п аналитических по е первых интегралов, независимых при = 0. С [c.200]

Однако очевидно, что полученный так первый интеграл не является независимым —он гюлучается как следствие уже имевшихся ранее т первых интегралов. Поэтому такое размножение первых интегралов уравнений движения лишено смысла. [c.267]

Видим, что функции суть первые интегралы соответствующих им уравнений движения материальной точки. Из сказанного ясно, что определение закона движения точки по заданной силе можно свести к задаче поиска достаточного набора независимых первых инте-грсшов. [c.174]

Для того чтобы полностью узнать закон движения материа-гтьной точки, достаточно найти шесть независимых первых интегралов. Такой набор первых интеграшов назовем полным. Найти полный набор первых интегралов не всегда легко. Однако наличие первых интегралов упрощает исследование. Пусть, например, найдены три первых интеграла [c.176]

Теорема 9.6.3. (Теорема о посл(щдем множителе). Если известны т—1 независимых первых интегралов системы дифференциальных уравнений и множитель Якоби М, то интегрирование этой системы заканчивается квадратурой. [c.676]

Рассмотрим метод Пуассона, позволяло некоторых ющий найти интеграл уравнений дви-свойствах первых г j i интегралов жения по двум известным независимым [c.92]

Случай Лагранжа (случай симметричного гироскопа). Тело имеет ось симметрии, например Oz. В силу сим.метрни J — Jу и эллипсоид инерции для закрепленной точки будет эллипсоидом вращения. Закрепленная точка О и центр масс С расположены на оси симметрии. В этом случае могут быть указаны шесть независимых первых интегралов, из которых углы Эйлера вычисляются в квадратурах. [c.482]

Таким образом, случай Л4зс(Р)=Л1г,(Р)=0 возможен лишь тогда, когда начальные условия заданы согласно (с1). Следовательно, в этом случае мы не получаем двух независимых первых интегралов. [c.393]

Полным интегралом уравнения в частных производных первого порядка называется функция, которая удовлетворяет этому уравнению и имеет в своем еоставе такое количество независимых постоянных интегрирования, которое равно количеству независимых переменных, от которых зависит искомая функция. Полный интеграл уравнения (11.350) имеет следующий вид [c.356]

Пусть /[, /2,. ./(,-) — независимые первые интегралы системы (1) и / — произпольная функция, а У1 /о — какой-либо множитель, удовлетворяющий тождеству ) [c.270]

Таким образом, если для системы (1) известен какой-либо множитель, то ее интегрирование требует нахождения не /с — 1, а лигиь к —2 независимых первых интегралов. Нахождение носледнего недостающего интеграла сводится к квадратуре. [c.272]

Что касается контурных интегралов, мы преобразуем первый из них с тем, чтобы выделить интегрируемую часть d8w/ds и оставить производную от 6w по нормали. Это необходимо, поскольку независимо можно задавать 6w и dfiw/dn, тогда как d8w/ds определяется заданием бш на контуре. Обращаясь к рис. 12.5.1, где показана часть дуги контура с единичными векторами п ж t нормали и касательной соответственно, находим [c.400]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...