Дифференциальные уравнения движения точки и их интегрирование

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ И ИХ ИНТЕГРИРОВАНИЕ [c.249]

Введение. Приступая к принципу Даламбера, мы покидаем область статики и попадаем в область динамики. Здесь задачи гораздо более сложны и их решение требует более совершенных методов. В то время как задачи статики для систем с конечным числом степеней свободы приводят к алгебраическим уравнениям, которые могут быть решены при помощи исключения переменных и подстановок, задачи динамики приводят к дифференциальным уравнениям. Настоящая книга посвящена главным образом формулировке и интерпретации основных дифференциальных уравнений движения, а не их окончательному интегрированию. Принцип Даламбера, который мы обсудим в настоящей главе, непосредственно ничего не дает для целей интегрирования. Однако он является важной вехой в истории теоретической механики, так как он дает интерпретацию силе инерции, а это существенно для дальнейшего развития вариационных методов. [c.112]

Применение методов аналитической механики к решению нетривиальных задач требует уже при составлении уравнений подробных сведений по вопросам, на которых, как правило, останавливаются весьма кратко. В связи с этим в книге значительное внимание уделено способам введения обобщенных координат, теории конечных поворотов, методам вычисления кинетической энергии и энергии ускорений, потенциальной энергии сил различной природы, рассмотрению сил сопротивления. После этих вводных глав, имеющих в известной степени и самостоятельное значение, рассмотрены методы составления дифференциальных уравнений движения голономных и неголономных систем в различных формах, причем обсуждаются вопросы их взаимной связи подробно рассмотрены вопросы определения реакций связей и некоторые задачи аналитической статики. Мы считали полезным привести геометрическое рассмотрение движения материальной системы, как движение изображающей точки в римановом пространстве этот материал нашел, далее, применение в задачах теории возмущений. Специальная глава отведена динамике относительного движения, к которому приводятся многочисленные прикладные задачи. Далее рассмотрены канонические уравнения, канонические преобразования и вопросы интегрирования. Значительное место уделено теории возмущений и ее разнообразным применениям. Последняя глава посвящена принципу Гамильтона—Остроградского, принципу наименьшего действия Лагранжа и теории возмущений траекторий. [c.9]

Решение второй задачи динамики. Начальные условия. Постоянные интегрирования и их определение по начальным условиям. Примеры интегрирования дифференциальных уравнений движения точки в случаях силы, зависящей от времени, от положения (координат) точки и от ее скорости. [c.8]

Второй этап его деятельности (условно 1693-1719 гг.) связан с разработкой теории центральных сил, дифференциально-геометрического метода построения дифференциальных уравнений движения тел (точнее — точек) и их интегрирования. В качестве прямоугольных осей координат часто использовались касательная и нормаль. Возможно, именно это и навело Д. Бернулли и Эйлера на мысль записать дифференциальные уравнения движения точки аналогичным образом. [c.204]

Колебательные движения механических систем удобно описывать уравнениями Лагранжа в обобщенных координатах. При составлении уравнений мы будем отсчитывать обобщенные координаты всегда от положения устойчивого равновесия, относительно которого и происходят колебания механических систем. В большинстве случаев эти уравнения нелинейны и их интегрирование связано с большими трудностями. Однако при решении многих технических задач оказывается возможным в этих уравнениях отбрасывать квадраты и более высокие степени координат и скоростей. Такая операция называется линеаризацией уравнений. Линеаризованные уравнения не могут, конечно, в точности отобразить движения системы и дают несколько искаженную картину явления. Искажения тем менее существенны, чем меньше отброшенные члены уравнений в сравнении с оставшимися. Если значения координат и скоростей во все время движения остаются очень малыми, то их квадратами и высшими степенями вполне можно пренебречь, подобно тому, как в дифференциальном исчислении пренебрегают бесконечно малыми высших порядков. Таким образом, мы пришли к заключению, что колебания, описываемые линеаризованными уравнениями при сделанном выборе начала отсчета, должны быть только малыми колебаниями около положения равновесия. [c.435]

Применение первого метода связано со значительными трудностями, возникающими вследствие специфического характера взаимодействия частиц жидкой или газовой среды между собой. Если при движении твердого тела расстояние между двумя любыми точками тела сохраняется неизменным, то при движении жидкости (газа) из-за легко-подвижности частиц расстояние между ними все время изменяется, что и приводит к усложнению исходных дифференциальных уравнений и их интегрирования. Поэтому в настоящем прикладном курсе главным образом применяется второй метод — метод гидравлики. [c.7]

Характерным для системы изложения аналитической механики является то, что в ее основу кладутся общие принципы (дифференциальные или интегральные) и уже из этих принципов аналитическим путем получаются основные дифференциальные уравнения движения. Изложение общих принципов механики, вывод из них основных дифференциальных уравнений движения, исследование самих уравнений и методов их интегрирования — все это составляет основное содержание аналитической механики. [c.8]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

Когда исходные данные, служащие для образования уравнений движения системы, т. е. определение системы и функция сил, не зависят ни от направления осей координат, предполагаемых ортогональными, ни от положения их начала, то дифференциальные уравнения движения не содержат величин, относящихся к направлению осей, и не изменяются, когда рассматривается прямолинейное и равномерное движение начала. Из этого мы заключаем, что среди величин, введенных при интегрировании этих уравнений, содержится девять величин, относящихся к направлению осей координат, положению в данный момент их начала и прямолинейному и равномерному движению этого начала. Этого заключения нельзя сделать при криволинейном или неравномерном движении, так как тогда вследствие сил инерции вид дифференциальных уравнений будет зависеть от характера этого движения. [c.387]

Исходя из своего общего уравнения динамики, Лагранж вывел дифференциальные уравнения движения в двух видах, соответствующих двум видам уравнений статики. Это знаменитые уравнения движения Лагранжа первого и второго рода. Уравнения движения второго рода замечательны тем, что для систем, при движении которых не изменяется их полная механическая энергия (консервативные системы), эти уравнения можно составить, зная общее выражение только двух величин кинетической энергии системы и ее потенциальной энергии. Число этих уравнений минимально, оно равно числу степеней свободы системы. Вместе с тем уравнения Лагранжа весьма общи их можно использовать для разных физических систем, если состояние таких систем характеризуется значениями их кинетической и потенциальной энергии. Кроме того, уравнения движения в форме Лагранжа второго рода имеют определенную структуру с математической точки зрения. Поэтому задача их решения (интегрирования) в общем виде является достаточно определенной, чтобы исследовать ее чисто математически. Знаменитый физик Максвелл имел все основания писать в своем Трактате об электричестве и магнетизме , касаясь значения Аналитической механики Лагранжа [c.204]

Так как система (1= -) состоит из трех дифференциальных уравнений второго порядка, то при ее интегрировании появляются шесть произвольных постоянных С[, Съ Сд, С4, Сц и Со- Для их определения в условии задачи должны быть дополнительные данные, называемые начальными условиями движения. [c.28]

Математическое описание движения жидкой среды общими дифференциальными уравнениями, учитывающими все физические свойства, присущие этой среде, является сложной задачей. Если даже ограничиться учетом только текучести, вязкости и сжимаемости, то и тогда уравнения движения, выражя ющие основные законы механики, оказываются настолько сл-.к ными, что пока не удалось разработать общих аналитических методов их решения. Применение численных методов интегрирования таких уравнений на базе современных ЭВМ также связано со значительными трудностями. Поэтому в гидромеханике широко используют различные упрощенные модели среды и отдельных явлений. [c.21]

По поводу различных задач, относящихся к движению системы материальных точек и рассмотренных до сего времени, можно сделать одно важное и интересное замечание Во всех случаях, когда силы являются функциями только координат движущихся точек и когда задачу удалось свести к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка с двумя переменными, оказывается также возможным свести эту задачу к квадратурам. Мне удалось превратить это замечание в общее положение, которое, как мне кажется, дает новый принцип механики. Этот принцип, так же как и другие общие принципы механики, дает возможность получить интеграл, но с той разницей, что другие принципы дают только первые интегралы дифференциальных уравнений динамики, тогда как новый принцип приводит к последнему интегралу. Этот принцип обладает общностью, более высокой, нежели другие принципы, потому что он применим к случаям, когда аналитические выражения сил, а также уравнения, выражающие структуру системы, содержат координаты движущихся точек в любой форме. С другой стороны, принципы сохранения живых сил, сохранения площадей и сохранения центра тяжести во многих отнощениях имеют преимущество перед новым принципом. Прежде всего, эти принципы дают конечное уравнение между координатами движущихся точек и составляющими их скоростей, тогда как интеграл, получаемый на основании нового принципа, требует еще квадратур. Во-вторых, применение нового принципа предполагает, что уже найдены все интегралы, кроме одного, предположение, которое осуществляется лишь в очень небольшом количестве задач. Но это обстоятельство не может уменьшить- ценности нового принципа, в чем, я надеюсь, убедит применение его к нескольким примерам. [c.294]

Таким образом, уравнения Лагранжа представляют собой систему к дифференциальных уравнений второго порядка с к неизвестными функциями времени qi t), / = 1, к уравнения однотипны, число их равно числу степеней свободы материальной системы и из них исключены реакции связей следовательно, задача о нахождении движения всех точек несвободной материальной системы свелась к чисто математической задаче интегрирования системы дифференциальных уравнений (14.19). [c.402]

Гаспар Монж, создатель метода интегрирования дифференциальных уравнений, основанного на применении теории характеристик, в своих исследованиях всегда имел в виду практическую пользу. Инженеры, когда хотят употребить в дело некоторую поверхность, больше заинтересованы в ясном представлении о происхождении поверхности, чем в ее алгебраическом выражении. Монж это прекрасно понимал и поэтому в своей теории поверхностей в первую очередь искал такие уравнения поверхностей, в которых бы с наибольшей определенностью выражалось их происхождение. Как известно, движением точки можно представить любое пространство одного измерения движением линии —любое пространство двух измерений и, наконец, движением поверхности — любое пространство трех измерений и т. д. Именно эта идея была положена в основу его учения о поверхностях. [c.181]

В большинстве задач параметры, описывающие поведение дан-НОЙ системы, связаны между собой дифференциальными уравнениями или неголономными связями движение системы исследуется при помощи интегрирования этих уравнений с привлечением необходимого количества начальных условий. Во многих случаях число независимых переменных оказывается больше, чем число связей, и описать правильно движение невозможно, если не будет назначена какая-то программа изменения группы переменных, символизирующих дополнительные степени свободы системы. Такие переменные соответственно именуются управляемыми переменными . В большинстве случаев их можно опознать по тому признаку, что их дифференциальные коэффициенты, или производные по времени, если время считается независимым переменным, не входят в уравнения связи. В авиационной технике управляемыми переменными являются именно те параметры, которые подвергаются воздействию со стороны летчика в ракетной технике —это те параметры, которые управляются командными сигналами. [c.746]

Восходящее движение. Сохраняя направление оси Ох по вертикали вниз и выбор начала координат О в начальном положении движущейся точки, будем иметь при подъеме Их < О и Dx = %x , так что в уравнении (5) следует взять нижний знак это приведет к интегрированию дифференциального у )авнения [c.43]

С математической точки зрения решить вопрос о движении материальной точки — это значит определить траекторию (путь) этой точки и, кроме того, указать, какую скорость приобретает она в каждой точке своей траектории. Решение этой задачи осуш,ествляется путем построения дифференциальных уравнений движения изучаемой материальной точки и их интегрирования результатом последней операции и является определение искомой траектории. Заметим, что решение дифференциальных уравнений, иначе выражаясь — их интегри-эование, есть задача не элементарная и, в обгцем виде, выходягцая за пределы возможности современного математического анализа. Только некоторые вполне определенные классы дифференциальных уравнений допускают точное или хотя бы приближенное решение. [c.105]

Если t обобщенных координат будут циклическими, то из i первых интегралов (61.42) можно определить i обобщенных скоростей qh k=, . .., i) и подставип, их в функцию Лагранжа. Тогда функция L зависит от 5—i переменных qu и, следовательно, общее число дифференциальных уравнений движения уменьшается, что упрощает задачу интегрирования этих уравнений. [c.88]

Рассмотрим сначала случай, в котором силы определяются только координатами. Являются ли силы консервативными мли нет, — несущественно. Благодаря тому, что дифференциальные уравнения движения не содержат времени t в конечной форме, если мы исключим dt из этих уравнений, мы получим 2п 1 уравнение вг ,. ..,Г2 и их дифференциалах, интегрирование которых введет 2/г —1 произвольную постоянную последние мы обозначим через Ь, . , h. Если мы сможем осуществить это интегрирование, то остающаяся постоянная а пойдет при последнем интегрировании (именно, при интегриро- [c.37]

При движении точки в пространстве мы имеем три дифференциальных уравнения второго порядка, их интегрирование вводит шесть произвольных постоянных, для определения которых имеем шесть начальных данных Хо, у , г , хо, у о, г о. При движении точки в плоскости ху имеем два дифференциальных уравнения движения й, следовательно, четыре произвольные постоянные для их определения служат четыре начальные данные х , Уо, х о, уо- Наконец, при прямолинейном движении точки имеем две произвольные постоянные и две начальные данные. Таким образом, число произвольных постоянных всегда равно ч ислу начальных данных поступая так, как было показано в изложенном примере, мы всегда можем определить все произвольные постоянные, полученные при интегрировании дифференциальных уравнений движения ). [c.29]

Из предыдущего изложения можно сделать заключение, что необходимой предпосылкой для вывода критериев подобия является наличие аналитической зависимости между физическими величинами, характеризующими данное явление (например, уравнение движения). Если уравнение дано в дифференциальной форме, то нахождение критериев подобия не связано с его интегрированием. Например, критерии Nu и Ne были получены непосредственно из дифферспциальных уравне1щ й без их интегрирования. Особую ценность приобретает возможность получе1И1я критериев из дифференциальных уравнений, когда последние не интегрируемы. [c.416]

Этим же допущением устраняется одно обстоятельство, также нарушающее аналогию между нагретыми телами и рассмотренной нами теперь системой п материальных точек. Это обстоятельство заключается в том, что состояние нагретых тел для своего полного определения, помимо указания внешней обстановки, требует задания значения только одной переменной (температуры), в то время как на движение рассмотренных систем, наряду с положением п точек и количеством энергии, могут влиять еще и другие постоянные, определяющие начальное движение п точек и появивщиеся в результате интегрирования их дифференциальных уравнений. Однако глубже вникать в это мы здесь не будем. [c.481]

Первый коэффициент вязкости х является основным. Для его определения существует множество различных способов, основанных на применении тех конечных формул, которые могут быть получены в результате интегрирования соответственных дифференциальных уравнений с использованием соотношений (11.18) для частных случаев движения жидкости. О некоторых из этих способов мы будем говорить ниже. Что же касается второго коэффициента вязкости, необходимость учёта которого может возникать только при рассмотрении того движения жидкости или газа, в котором явно проявляется свойство их сжимаемости, то до последнего времени его совершенно не учитЬвали. И только в связи с исследованиями Л. И. Мандельштама и М. А. Леонтовича ) влияния внутренних процессов с большим временем релаксации на распространение звука в жидкости было указано на необходимость учёта второго коэффициента вязкости. В отдельных случаях значение второго коэффициента вязкости может намного превышать значение основного коэффициента вязкости. Но приборов по определению второго коэффициента вязкости пока пе предложено. [c.66]

В результате исследований, посвященных принципу максимума и аналогичным ему критериям классического вариационного исчисления, были разработаны общие приемы построения необходимых признаков оптимальности, по-видимому, вполне достаточные для большинства типичных экстремальных задач о программном управлении. Как правило, в настоящее время решение этого вопроса не вызывает принципиальных затруднений, во всяком случае, если речь идет о минимизации (максимизации) функционалов вида (8.2) и подобных им. При встрече с новым кругом задач этого типа обычно удается учесть дополнительные обстоятельства и составить соответствующие необходимые условия экстремума по широко известным теперь общим рецептам. Однако составление дифференциальных уравнений, выражающих необходимые условия оптимальности, является лишь первым, хотя и чрезвычайно важным этапом в решении конкретных проблем. Следующий этап состоит в интегрировании этих уравнений с учетом краевых условий, которым должно удовлетворять искомое оптимальное движение. Эта краевая задача, связанная с необходимостью привести управляемый объект в заданное состояние, остается до сих пор трудной проблемой. Дело заключается в следующем. Необходимые признаки оптимальности, выражаемые дифференциальными уравнениями Эйлера — Лагранжа для координат Х1 1) и множителей Лагранжа Я-г ( ) (или для имеющих тот л е смысл координат г) г 1) вектора -ф ( ) в случае принципа максимума), определяют внутренние свойства оптимальных движений, описывая их локальное поведение в окрестности каждой точки на данной траектории. В силу этих свойств каждое оптимальное движение развертывается во времени совершенно определенным образом, отталкиваясь от начальных условий х ( о) и ( о)-Начальные данные ( о) обычно задаются по условиям задачи. Величины ( о) ("Фг ( о)) определяют по условиям принципа максимума направление в пространстве х , в котором уходит оптимальное движение х (t) из точки X to). Трудность состоит в выборе величин (Ьо), которые обеспечивают прицеливание оптимального движения как раз в заданное конечное состояние X 1х) (или на заданное многообразие М конечных состояний и т. п.). Эффективное преодоление этой трудности, как правило, тормозится невозможностью получения явной зависимости между величинами х ( 1) и А, ( о) вследствие неинтегрирз емости в замкнутой форме дифференциальных уравнений задачи. Каждая новая серия соответствующих краевых задач, особенно, если речь идет о нелинейных объектах, требует обычно для своего разрешения подбора специальных вычислительных алгоритмов. Лишь для отдельных классов задач выведены некоторые закономерности, облегчающие их конкретное решение. [c.192]

После того как былн выяснены особенности свойства сходимости ряда (6), можно было бы поставить вопрос, имеют ли вообш е получающиеся в теории возмущений ряды действительный математический смысл Если бы для достижения этого захотели бы ограничить средние движения, а значит, также и V, такими значениями, для которых ряд (6) сходится, тогда на практике можно было бы получить этим путем сколь угодно хорошее приближение, так как точки сходимости образуют повсюду плотное множество. Но в действительности на этом пути мы только переместили бы трудности, а не преодолели бы их. По теореме Коши— Пуанкаре известно, что координаты в задаче трех тел суть аналитические функции постоянных интегрирования, и едва ли можно объяснить, как можно использовать решение дифференциальных уравнений, которые не обладают этим свойством, для определения постоянных интегрирования из наблюдений. [c.504]

В механике космического полета задачей двух тел называют определение параметров движения материальной точки в гравитационном поле центрального тела. Для описания этого движения в абсолютной системе координат достаточно знать шесть параметров координаты и состав.чяющие скорости по осям системы координат. Их можно получить с помощью интегрирования дифференциальных уравнений. Однако невозмущенное кеплеровское движение более просто описывается уравнениями с помощью специально выбранных величин, Называемых элементами орбиты. При этом выражения, описывающие движение, приобретают вид конечных формул, а сами элементы остаются посгояннымн. Для замкнутых орбит ИСЗ эти элементы называют также эллиптическими элементами, К числу их относят следующие три элемента ориентации орбиты (рис. 2.11) [c.65]

Аналитически решить задачу по определению количества теплоты, переданной от стенки к жидкости, методом интегрирования приведенных дифференциальных уравнений практически невозможно из-за сложности этих уравнений. Этот метод применим лишь для отдельных наиболее элементарных задач процесса теплоотдачи и то лишь при целом ряде предпосылок, упрощающих их решение. Например, для решения задачи о теплоотдаче при движении жидкости в трубе [21 эти предпосылки заключаются в том, что жидкость считается несжимаемой, физические параметры ее принимаются постоянными, не зависящими от температуры, движение считается стационарным, а режим движения — ламинарным, сама труба принимается абсолютно гладкой и т. д. Естественно,что эти предпосылки далеки от действительных услови протекания процесса, и поэтому полученные аналитические решения плохо согласуются с опытными данными. [c.234]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...