Канонический интеграл

Канонический интеграл. Уравнения системы (6.3.5) происходят из двух источников. Первая группа уравнений возникает в силу преобразования Лежандра и может рассматриваться как определение импульсов р,-. Вторая группа уравнений является следствием вариационного принципа. Вместе с тем явная симметрия полной системы уравнений заставляет предположить, что все они могут быть получены из какого-то единого принципа. Это действительно так. [c.197]

Обычные задачи механики приводят к функциям Лагранжа, не содержащим производных выше первого порядка. В общем же случае в вариационных задачах могут встретиться в подинтегральном выражении производные вплоть до т-го порядка. Эти задачи также могут быть преобразованы к нормальному виду при помощи канонического интеграла. Поэтому канонические уравнения Гамильтона могут считаться нормальным видом, к которому приводится любая [c.199]

Резюме. Исключение циклических переменных в гамильтоновой форме механики является очень простой операцией. Вклад от циклических переменных в кинетической части канонического интеграла опускается, а циклические импульсы в функции няются константами. [c.215]

Итак, канонический интеграл сводится к совершенно симметричной форме [c.218]

Подставив в интеграл (6.10.9) вместо рп+ его значение —Н, получим обычную форму канонического интеграла [c.219]

Параметрическая форма канонических уравнений позволяет также глубже понять внутренние соотношения, связывающие различные принципы минимума в механике. Если канонический интеграл приведен к нормальной форме [c.222]

Резюме. Путем добавления времени t к другим механическим переменным в качестве п + 1)-й позиционной координаты достигается замечательная симметризация канонического интеграла. Канонический интеграл принимает вид [c.224]

Произвольное точечное преобразование, переводящее qi и Pi в Qi и Pi, могло бы нарушить нормальную форму канонического интеграла, а вместе с ней и канонические уравнения. Мы должны ограничиться, таким образом, преобразованиями, которые сохраняют каноническую форму этих уравнений. Последнее гарантируется в том случае, если варьируемое подинтегральное выражение имеет вид (7.2.2). Любое преобразование, оставляющее инвариантным каноническое подинтегральное выражение (7.2.2), оставляет инвариантными также и канонические уравнения (7.2.1). [c.228]

Если этот принцип справедлив в случае произвольных бесконечно малых изменений qi, мы можем заменить канонический интеграл [c.229]

Последний интеграл является граничным членом, не зависящим от способа варьирования, поскольку варьирование производится при фиксированных граничных значениях. Следовательно, хотя мы и изменили канонический интеграл, это изменение свелось лишь к добавлению некоторой константы. Поэтому обращение в нуль вариации канонического интеграла, записанного в первоначальных переменных, гарантирует обращение в нуль вариации канонического интеграла в новых переменных. Это означает, что канонические уравнения движения остаются инвариантными относительно преобразования (7.4.1). [c.238]

Перейдем теперь к обш,ему случаю реономной системы, не удовлетворяюш,ей закону сохранения энергии. В соответствии с изложенным раньше методом результаты, полученные для консервативных систем, всегда могут быть обобщены, если включить время i в число позиционных координат qi и рассматривать задачу как консервативную, но в расширенном фазовом пространстве.. Имеется канонический интеграл [c.271]

Оба канонических интеграла будут содержать в этой точке п и соответственно —(п + 1) в показателе степени. Из положительности п следует, что для нашей цели пригоден лишь первый из этих интегралов, который может быть представлен в виде степенного ряда, начинающегося с г", поскольку он соответствует большему значению степени п. (Второй, не интересующий нас интеграл, соответствующий меньшему значению корня определяющего уравнения, может при разложении содержать логарифмический член, поскольку разность — (п + 1) — п целочисленна.) Так как ближайшая особая точка лежит в бесконечности, ряд, соответствующий взятому нами первому интегралу, везде сходится и представляет собой целую трансцендентную функцию. Мы установили, таким образом, что искомое решение представляет собой определенную с точностью до несущественного постоянного множителя однозначную целую трансцендентную функцию, соответствующую при г = О показателю степени п. [c.670]

СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА КАНОНИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ [c.374]

Таким образом, на основании (136.4) н (138.8) можно утверждать, что (ф, г]0 = С — интеграл канонической системы (132.5), что и требовалось доказать. [c.380]

Теорема Остроградского — Якоби, на которой основывается предложенный ими метод, формулируется так если известен полный интеграл уравнения Остроградского — Якоби, то 2s независимых интегралов канонической системы уравнений (132.5) имеют следующий вид [c.382]

Соотношения (139.3) и (139.4) показывают, что интегралы канонической системы уравнений получаются дифференцированием полного интеграла по обобщенным координатам и произвольным постоянным. [c.383]

Какому условию должен удовлетворять интеграл канонических уравнений Гамильтона [c.390]

Каким способом по двум известным интегралам канонической системы уравнений можно найти третий интеграл [c.390]

Итак, мы реализовали намеченную в начале этого параграфа программу и определили движение системы, обходя интегрирование канонических уравнений Гамильтона. Правда, при этом нам понадобилось найти полный интеграл уравнения в частных производных. [c.324]

Уравнение Гамильтона — Якоби в классической механике используется, главным образом, в тех случаях, когда по каким-либо причинам легче найти полный интеграл этого уравнения, чем проинтегрировать канонические уравнения. Примеры такого рода будут приведены в следующем параграфе. Роль уравнения Гамильтона — Якоби для теоретической физики состоит в том, что уравнение Шредингера, являющееся основным уравнением квантовой механики, в пределе переходит в уравнение Гамильтона — Якоби классической механики. Именно через уравнение Гамильтона—Якоби устанавливается контакт между классической и квантовой механикой. [c.325]

Таким образом, поставленная задача полностью решена —при исследовании консервативных и обобщенно консервативных систем выписаны уравнения типа канонических уравнений Гамильтона (или типа Лагранжа), но порядок систем этих уравнений уменьшен на два за счет использования интеграла энергии и введения независимой квадратуры (147). [c.330]

Следствие 9.3.4. Пусть Н не содержит явно t и f = а есть первый интеграл системы канонических уравнений с функцией Гамильтона Я. Тогда [c.639]

Доказательство. Когда Я не зависит явно от времени, канонические уравнения допускают интеграл энергии [c.639]

Следствие 9.5.2. Сохранение интеграла Пуанкаре есть необходимое и достаточное условие того, что заданная система дифференциальных уравнений есть система канонических уравнений Гамильтона. [c.664]

Показать, что система канонических уравнений Гамильтона для сферического маятника (см. 3.12) допускает первый интеграл, отличный от интеграла энергии. Каков физический смысл этого интеграла [c.702]

Пусть f= — интеграл канонических уравнений. Дифференцируя это равенство по t, найдем [c.92]

Докажем теорему Пуассона ссла известны два интеграла системы канонических уравнений динамики [c.379]

Хотя интегрнрованпе уравнения Остроградского — Якоби (139.1) в общем случае не упрон 1ает решения задачи, тем не менее, как указывалось выше, во многих случаях проще найти полный интеграл уравнения (139.1), а затем и интегралы канонической системы уравнений Гамильтона (132.5). [c.384]

Записанный так интегральный инвариант Пуанкаре — Картана для консервативных систем отличается от интегрального И11ва-рианта в общем случае движения в потенциальном поле в трех отношениях во-первых, суммирование в первом члене ведется не от единицы до л, а от двух до п во-вторых, вместо гамильтониана Я в этом выражении стоит функция К, которая получилась, когда интеграл энергии (136) был разрешен относительно импульса Pi (см. выражение (138)) в-третьнх, роль t играет теперь <7i. Таким образом, воспользовавшись тем, что для консервативных и обобщенно консервативных систем гамильтониан не зависит явно от времени, мы исключили время из выражения интегрального инварианта Пуанкаре — Картана. Теперь совершенно так же, как в общих случаях движения систем в потенциальном поле из интегрального инварианта Пуанкаре — Картана следуют канонические уравнения Гамильтона, для консервативных и обобщенно консервативных систем из интегрального инварианта (139) следуют уравнения [c.328]

Ита <, показано, что интегрирование канонических уравнений Гамильтоиа можно заменить нахождением полного интеграла уравнения Гам льто а — Якоби. В общем случае обе эти задачи обладают одинаковой трудностью, одна (о ме Отся динамическ1 е задачи, для которых 1 ахожден е П0. 0Г0 интеграла уравнения Гамильтона— Якоби оказывается более простым, чем интегрирование канонических уравнений Гамильтона. [c.158]

Следствие 9.2.3. Система канонических уравнений Гамильтона имеет первый интеграл вида Н = к, где к — постоянная инте-грирования, тогда и только тогда, когда функция Гамильтона Н не зависит явно от времени дH/дt = 0. Для систем материальных точек этот интеграл эквивалентен обобщенному интегралу энергии Якоби, для склерономных систем с потенциальными силами — интегралу полной механической энергии. [c.634]

Следствие 9.5.4. Существование интегрального инварианта Пуанкаре-Картана есть необходимое и достаточное условие того, чтобы движение еистемы опиеывалось каноническими уравнениями с функцией Гамильтона, входящей в выражение инварианта. Инва-риантноеть интеграла Пуанкаре-Картана может быть положена в основу механики голономных еистем е потенциальными силами. [c.666]

Пример 9.5.3. Преобразование, описываемое системой канонических уравнений Гамильтона, сохраняет объем. Если система автономна дН1д1 = 0), то это преобразование обладает групповыми свойствами. Пусть, кроме того, система склерономна (справедлив интеграл энергии), и потенциал П растет на бесконечности. Тогда теорема Пуанкаре о возвращении применима для области О, выделяемой неравенством [c.671]

Следовательно, ри= —dHldqk = 0, откуда равенство pi, = onsi — первый интеграл канонических уравнений, который называют циклическим. [c.91]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...