Точки критические дифференциальных уравнений линий тока

Обратим внимание на то, что линии тока не могут пересекаться ни в одной точке, где скорость не равна нулю или бесконечности (теоретически допускается сколь угодно большое значение скорости в отдельных точках). Действительно, если бы две линии тока пересекались в одной точке, где скорость конечна, то это означало бы, что частица, находящаяся в этой точке в один и тот же момент времени, имеет две разные скорости, что физически невозможно. Если же в данной точке я = О или =оо, то через нее может проходить несколько или даже бесконечное множество линий тока. Такие точки называются критическими. Они являются особыми точками дифференциальных уравнении линий тока. [c.32]

Функция (1.1) предполагается непрерывной и дважды непрерывно дифференцируемой по времени для большинства задач этого достаточно. Что касается ее зависимости от Гд, то иногда приходится допускать лишь кусочную непрерывность это происходит тогда, когда в потоке есть так называемые критические точки, где скорость обращается в нуль и в которых две как угодно близкие струйки жидкости могут разойтись на конечное расстояние (обтекание рекой острова). Эти точки являются особыми для дифференциальных уравнений линий тока или траекторий (см. 3) в них возможно ветвление интегральных кривых уравнений движения. [c.36]

Особые точки могут иметь тип центра, фокуса, седла, узла и быть более сложными. В потоке жидкости особые точки дифференциальных уравнений линий тока носят название критических точек. Например, критической точкой в потоке является точка А — точка [c.43]

Линии тока являются интегральными кривыми уравнения (6), а особым точкам поля скоростей в плоском движении соответствуют особые точки дифференциального уравнения (6). На рис. 59 показаны картины линий тока источника и стока, находящегося в точке О плоскости, что соответствует особой точке уравнения (6) — узлу, через эту точку проходит бесчисленное множество линий тока, а скорость в точке О равна бесконечности. На рис. 60 приводятся линии тока, окружающие точечный вихрь в точке О (понятие вихря будет в дальнейшем разъяснено). С точки зрения теории дифференциальных уравнений этой особенности поля скоростей соответствует особая точка — фокус. Скорость в точке О равна бесконечности. Наконец, в качестве третьего примера рассмотрим критические точки А ж В разветвления потока около круга (рис. 63). Как показано на рисунке, внешний по отношению к кругу поток соответствует обтеканию круга, а внутренний — течению внутри круга, обусловленному наличием в точке О особенности — диполя. В точках А ж В скорости потока равны нулю, в точке О — бесконечности. Можно заметить, что точки А ж В являются седлообразными особыми точками, через каждую из них проходят только две интегральные кривые. Точка О аналогична узлу с интегральными кривыми, имеющими в точке О общую касательную. [c.34]

Статья 1 состоит из двух глав. Глава I посвящена классификации критических (теперь их называют особыми) точек линий тока на плоскости. В настоящее время понятие об особых точках рассматривается в курсах дифференциальных уравнений, в обзорных статьях, в справочниках, в курсе гидродинамики [1]. Во времена А. А. Фридмана, т. е. более 65 лет назад, появились за рубежом статьи по критическим точкам линий тока на плоскости, в которых или не было системы в классификации, или содержались некоторые погрешности. А. А. Фридман предложил мне провести разбор случаев плоского коллинеарного движения, применяя методику, исходящую от Пуанкаре. При этом кроме узла, седла, фокуса, центра были выделены также случаи бесконечно удаленной точки. Ввиду простоты и общеизвестности задачи я привожу главу I в сильно сокращенном виде. В главе II рассмотрено упрощенно пространственное движение, в котором пренебрегается вертикальной составляющей скорости. Это отдаленный прообраз современного понятия бифуркации — по параметру. Начало главы II дано без сокращений, но из пяти примеров приведены только два. [c.51]

Через каждую точку векторного поля, в которой V О, проходит одна и только одна линия тока и единственная траектория (в предположении, что L J, 1 2 и 1 3 —однозначные и непрерывно дифференцируемые функции). Те точки, где V = О, носят название критических точек. Классификация этих точек дается обычно в общей теории дифференциальных уравнений. [c.90]

Система уравнений пространственного пограничного слоя после введения переменных подобия такова, что уравнения сводятся в критической точке или линии к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Решение, полученное в критической точке, служит начальными данными для расчета следующей точки на линии растекания. Течение вдоль линии растекания в некоторых случаях можно определить независимо, получая таким образом начальные данные во всей плоскости на линии растекания. Используя решение, найденное на линии растекания и в критической точке, можно построить решение последовательно во всей области, наблюдая за поведением линий тока внутри пограничного слоя. [c.139]

Можно показать, что предельный переход при а О и 0 в уравнениях (5.8), (5.10) дает то же решение, что и первый член разложения при отыскании решения в виде ряда. Система уравнений (5.8) такова, что при а=р=0 получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений, решение которых легко находится и служит начальными данными для расчета следующей точки на линии растекания, а затем во всей области вблизи окрестности особой точки. Расчет пограничного слоя ведется от критической точки на поверхности тела, соответствующей максимуму давления. В окрестности критической точки на сферической части вторичное течение в системе координат, связанной с линиями тока внешнего течения, мало. [c.302]

Итак, рассматриваемое нетривиальное решение системы (34) представляет не что иное, как переход от сверхзвукового движения к дозвуковому в однородном потоке вязкого газа. Нетрудно убедиться в том, что не только числа М, но и температуры, плотности и давления на бесконечности вверх и вниз по течению связаны между собой теми же соотношениями, что и в теории прямого скачка уплотнения, изложенной для газа без внутреннего трения. Разница здесь в том, что в идеальном газе скачок уплотнения представлял некоторую нормальную к линиям тока поверхность разрыва элементов движущегося газа, причем само явление скачка приходилось рассматривать как предельное образование, не допускающее описания при помощи непрерывных решений уравнений движения. В вязком газе, наоборот, явление перехода сверхзвукового потока в дозвуковой описывается непрерывным реилением уравнений движения, а именно интегралом дифференциального уравнения (37) в области движения (—оо<д <оо). Покажем, что эта область перехода сверхзвукового потока в дозвуковой имеет очень малую протяженность, зависящую от параметров потока и в первую очередь от Мь Вернемся к уравнению (37) и, пользуясь имеющимся произволом в выборе начала отсчета абсцисс х, поместим начало координат в ту точку, где скорость и равна критической скорости а, соответствующей параметрам потока вверх по течению. Тогда, вводя еще для краткости дополнительное обозначение [c.814]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...