Регулярные точки дифференциального уравнения — Определение

Регулярные точки дифференциального уравнения — Определение 24 -- Резонанс внешний 267—269 [c.350]

Здесь речь идет об определении с заданным приближением закона изменения с временем этой функции а, для чего, конечно, придется обратиться к дифференциальному уравнению (48). Если 5q, которое мы предположили не равным ztl, есть двойной корень многочлена f s), то движение гироскопа сведется, как мы уже знаем (п. 32), к регулярной прецессии, и мы будем строго иметь s = Sq, т. е. о = 0. Если исключить этот случай, то s не будет тождественно обращаться в нуль для решения уравнения (48), о котором здесь идет речь продифференцировав это уравнение по и разделив результат на s, мы получим уравнение [c.125]

Дифференциальные уравнения, записанные относительно двух компонент перемещений, заменяются разностными уравнениями, которые выводятся при помощи вариационного метода, основанного на минимизации полной потенциальной энергии. При этом граничные условия в напряжениях, обычно затрудняющие решение задачи, становятся естественными, они входят в выражение для энергии и автоматически удовлетворяются при ее минимизации. Полная потенциальная энергия тела равна сумме энергий для всех ячеек сеточной области. При этом можно считать, что все функции и их производные остаются постоянными в каждой ячейке. Сетка может быть как равномерной (регулярной), так и неравномерной. Конечно-разностные функции для ячеек имеют, кроме того, весовые коэффициенты для учета неполных ячеек, примыкающих к наклонной границе. Получающаяся система алгебраических уравнений относительно узловых значений перемещений оказывается симметричной и положительно определенной и имеет ленточную структуру. В работе [8] дополнительно к основной, сетке строится вспомогательная и перемещения определяются в точках пересечения этих сеток. В результате этого нормальные деформации и напряжения вычисляются в центре ячеек основной сетки только через центральные разности. [c.55]

В исследованиях, описанных выше, предполагалось, что движение п тел регулярно, т. е. происходит без соударений и удаления на бесконечность. Между тем изучение особых траекторий динамических задач вообще и задачи п тел в частности имеет очень большое значение для определения условий, при которых данное движение будет устойчивым или неустойчивым. Могущественные методы качественной и аналитической теории дифференциальных уравнений, созданные А. М. Ляпуновым и А. Пуанкаре, позволяют проникнуть в природу механического движения и исследовать особенности интегралов дифференциальных уравнений, описывающих это движение. Потребность в качественных методах исследования вызвана тем, что многочисленные и очень важные задачи механики, математического анализа, геометрии, математической физики и прикладных наук приводят к дифференциальным уравнениям, не интегрирующимся в конечном виде. Таким образом, возникает необходимость в разработке методов изучения свойств функций непосредственно по дифференциальным уравнениям, их определяющим. Вот почему доказательство теорем существования, изучение критических точек, особых траекторий и устойчивости решений составляли и составляют фундамент исследований ряда крупных отечественных и зарубежных ученых [c.111]

Дифференциальные уравнения, в том числе гамильтоновы, принято разделять на интегрируемые и неинтегрируемые. В то же время, как заметил Дж. Биркгоф [13], если, однако, мы попытаемся сформулировать точное определение интегрируемости, то оказываются возможными многие различные определения, каждому из которых присущ известный теоретический интерес. В этом высказывании Биркгофа, считавшего динамическую проблему решенной, если предъявлен некоторый алгоритм для описания поведения всех ее траекторий, содержится указание на связь интегрируемости с особым, регулярным характером движения в фазовом пространстве. [c.72]

Наоборот, Ьсли случайная функция X(x,t) является марковской, то для плотности вероятности p(X X,t) — р(Х ф о) (а потому, согласно (10.5), и для средней концентрации дСХ",/)) при весьма общих условиях может быть получено дифференциальное уравнение вида (10.49). Этот важный математический факт был установлен Колмогоровым (1931, 1933) (его частные случаи еще раньше рассматривались физиками Эйнштейном, Фоккером и Планком). А именно, Колмогоров доказал, что при некоторых общих условиях регулярности (налагаемых на переходную вероятность p(Xlx,t) и гарантирующих, что рассматриваемая марковская случайная функция X (t) будет в определенном смысле непрерывной) существуют производные [c.533]

Нерегулярные решения. Ввиду того что S-матрица и фазовые сдвиги определяютси поведением ф на больших расстояниях, удобно ввести в рассмотрение другие решения уравнения (12.1), удовлетворяюш,ие определенным граничным условиям на бесконечности. Вообще говоря, эти решения не регулярны в точке г -- 0. Точка г = оо является нерегулярной особой точкой дифференциального уравнения (12,1) и при определении асимптотического поведения решения в окрестности этой точки нужно сохранять член с k . Таким образом, граничное условие в точке г = оо неизбежно должно зависеть от k. Зная решения уравнения (12.1) при f = О, мы приходим к следующему выводу вообще говоря, самое большее, что можно сделать, это потребовать, чтобы ) [c.312]

При численном решении задачи несимметричного обтекания плоского контура методом интегральных соотношений возникают затруднения. В симметричной задаче граничными условиями для ЗN дифференциальных уравнений служат 2N условий симметрии течения на оси и N условий регулярности решения при прохождении особых точек. При несимметричном обтекании решение должно удовлетворять N условиям регулярности с каждой стороны тела, что дает 2N условий. Однако 2N условий симметрии при этом отсутствуют, что требует в общем случае наложения дополнительно N условий для определения решения. До настоящего времени нет способа выбора этих условий для N > 1. При ТУ = 1 задача о несимметричном обтекании плоской пластины решена А. М. Базжи-ным (1963). А. Н. Минайлос (1964) применил метод интегральных соотношений для расчета " сверхзвуков ого обтекания затупленного тела вращения под углом атаки. При этом он использовал осесимметричную систему координат типа применяющейся в теории пограничного слоя. Записав уравнения в дивергентной форме, А. Н. Минайлос аппроксимирует входящие в эти уравнения величины, как это делается ]ц в стандартном методе О. М. Белоцерковского, полиномами по координате, нормальной телу азимутальные же распределения параметров аппроксимируются рядами Фурье по полярному углу. В рядах Фурье, кроме постоянного члена, сохраняется лишь еще один член. При этом (ср. работу В. В. Сычева, [c.174]

Обобщенность сформулированной задачи связана с наличием разрыва граничной функции в двух точках, одна из которых находится в области равномерной эллиптичности, а другая — на линии вырождения (на звуковой линии). Под решением обобщенной задачи Дирихле будем понимать, следуя [56,96], регулярное внутри области определения решение дифференциального уравнения, ограниченное в замкнутой области и принимающее заданные граничные значения во всех точках непрерывности граничной функции (с конечным числом точек разрыва). [c.91]

Теорема 7. Основная теорема, используемая в теории потенциального рассеяния, принадлежит Пуанкаре [83]. Она относится к дифференциальным уравнениям, содержащим параметр. Предположим, что ] х, т]) в (2.2) зависит не только от координаты, но и является также целой аналитической функцией некоторого параметра т]. Возьмем решение гр(л ), определенное граничным условием, не зависящим от Т1, в регулярной точке Р(х=с) [например, ]5(с)=0, ф (с) = 1]. Теорема Пуанкаре утверждает, что1 з(а , т]) при фиксированном х также является целой функцией т]. Требование регулярности точки Р может быть ослаблено, если граничные условия остаются независимыми от т). Большинство теорем, установленных ниже, являются, по существу, обобщениями теоремы Пуанкаре. [c.24]

Как при ляпуповском, так и при некоторых других определениях устойчивости нас интересует поведение решений системы (а) при t- oo. Будем считать правые части уравнений системы (а) вполне определенными регулярными функциями своих аргументов при любых конечных значениях их. Если мы предположим, что при t со искомые функции х ж у стремятся к каким-то вполне определенным конечным пределам, то это же самое будет верно относительно функций X, Y, и если пределы последних отличны от нуля, то мы придем к противоречию. Таким образом, надо сказать, что в этом случае X = У = О при t оо, ш исследование поведения решений системы (а) на устойчивость становится частным случаем изучения поведения 136 решений (а), иначе говоря, траекторий этой дифференциальной системы в окрестности одной из ее особых точек — точек одновременного обращения в нуль правых частей этой системы [c.136]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...