Различные формы дифференциальных уравнений движения точки

РАЗЛИЧНЫЕ ФОРМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ [c.185]

В этой главе приводятся различные формы дифференциальных уравнений движения задачи п тел, рассматриваемых как материальные точки, а также их первые интегралы. Подробные выводы можно найти в учебниках и монографиях [1] — [8]. [c.288]

I. Исторические замечания. Уравнения движения механических систем можно получать исходя из весьма различных положений, которые могут рассматриваться, как основные принципы механики. Эти принципы должны полностью характеризовать движение системы материальных точек и быть эквивалентными всей системе дифференциальных уравнений движения. Все законы механики системы материальных точек, на которую наложены идеальные связи, могут быть получены из принципа Даламбера — Лагранжа (общего уравнения динамики). Тем не менее представляет интерес преобразовать общее уравнение динамики так, чтобы получить новую форму, эквивалентную этому уравнению, но отличную от него по структуре. Новые формы либо допускают некоторые обобщения, выходящие за рамки чисто механических задач, либо дают возможность получить новые формы дифференциальных уравнений движения. С теоретической точки зрения новые формы в некоторых случаях позволяют обнаруживать некоторые общие свойства системы, которые не всегда очевидны в первоначальной формулировке принципа. Полученный новый принцип может быть принят за основной закон, и из него можно вывести все свойства движения, если только он правильно отображает природу. [c.500]

После краткого рассмотрения систем дифференциальных уравнений движения материальной точки в различных формах остановимся на изучении двух основных задач динамики точки. [c.321]

Форма, которую Лагранж придал дифференциальным уравнениям динамики, до сего времени служила только для того, чтобы с изяществом выполнять различные преобразования, для которых пригодны эти уравнения, и для того, чтобы с легкостью и притом во всей их широте выводить общие законы механики. Однако из этой же формы можно извлечь важную выгоду с точки зрения самого интегрирования этих уравнений, что, как мне кажется, добавляет новую ветвь к аналитической механике. Я наметил ее основные черты в сообщении, сделанном 29 истекшего ноября Берлинской академии, после того, как имел честь представить Вашей прославленной академии, приблизительно год назад, пример, способный дать почувствовать дух и полезность нового метода. Я нашел, что всякий раз, когда имеет место принцип наименьшего действия, можно следовать по такому пути в интегрировании дифференциальных уравнений движения, что каждый из интегралов, найденных последовательно, понижает порядок этих уравнений на две единицы, если отождествлять постоянно порядок системы обыкновенных дифференциальных уравнений с числом произвольных постоянных, которое вводит их полное интегрирование. Высказанное предложение имеет место также и в случаях, когда функция, производные которой дают составляющие сил, действующих на различные материальные точки, содержит явно время. Мы находим, например, в случае одной точки, вынужденной оставаться на заданной поверхности и подверженной действию только центральных сил, что дифференциальное уравнение второго порядка, которым определяется это движение, приводится к квадратурам, как только найден один-единственный интеграл. Наикратчайшие линии на поверхности входят в этот случай. [c.289]

Применение методов аналитической механики к решению нетривиальных задач требует уже при составлении уравнений подробных сведений по вопросам, на которых, как правило, останавливаются весьма кратко. В связи с этим в книге значительное внимание уделено способам введения обобщенных координат, теории конечных поворотов, методам вычисления кинетической энергии и энергии ускорений, потенциальной энергии сил различной природы, рассмотрению сил сопротивления. После этих вводных глав, имеющих в известной степени и самостоятельное значение, рассмотрены методы составления дифференциальных уравнений движения голономных и неголономных систем в различных формах, причем обсуждаются вопросы их взаимной связи подробно рассмотрены вопросы определения реакций связей и некоторые задачи аналитической статики. Мы считали полезным привести геометрическое рассмотрение движения материальной системы, как движение изображающей точки в римановом пространстве этот материал нашел, далее, применение в задачах теории возмущений. Специальная глава отведена динамике относительного движения, к которому приводятся многочисленные прикладные задачи. Далее рассмотрены канонические уравнения, канонические преобразования и вопросы интегрирования. Значительное место уделено теории возмущений и ее разнообразным применениям. Последняя глава посвящена принципу Гамильтона—Остроградского, принципу наименьшего действия Лагранжа и теории возмущений траекторий. [c.9]

Для изучения процессов теплообмена также используется метод аналогий. В этом случае исследование тепловых явлений заменяется изучением аналогичных явлений, поскольку их экспериментально исследовать легче. Необходимо, чтобы аналогичные явления описывались одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями и условиями однозначности, несмотря на различное физическое содержание. При изучении процессов теплопроводности используется электротепловая и гидротепловая аналогии. В первом случае используется то обстоятельство, что явления теплопроводности и электропроводности описываются одинаковыми уравнениями, что позволяет вместо полей температур определять поля электрических потенциалов. Гидротепловая аналогия основана на сходстве законов распространения тепла и движения жидкости. [c.80]

Дифференциальное уравнение в векторной форме, естественно, эквивалентно трем скалярным уравнениям. В зависимости от выбора осей координат, на которые проектируется основное уравнение динамики (1.1), можио получить различные формы скалярных дифференциальных уравнений движения материальной точки. [c.244]

Каждое из этих семи всеобщих уравнений движения выглядит так или иначе, в зависимости от того, для какого объекта оно составлено, написано ли оно для одной материальной точки, для твердого тела, совершающего определенное движение, или для изменяемой механической системы. Они могут быть написаны в конечном или в дифференциальном виде. В зависимости от условий задачи приходится выбирать уравнение и форму его, соответствующую заданным условиям. При этом полезно иметь в виду, что если проекции силы являются функциями времени, то часто бывает возможно проинтегрировать уравнения проекций количества движения. Уравнение кинетической энергии дает интеграл в тех случаях, когда силы являются функциями расстояния. Этим часто определяется выбор того или другого уравнения для решения задачи. Выводу семи всеобщих уравнений движения для различных движущихся объектов посвящены 35—37. [c.132]

По поводу различных задач, относящихся к движению системы материальных точек и рассмотренных до сего времени, можно сделать одно важное и интересное замечание Во всех случаях, когда силы являются функциями только координат движущихся точек и когда задачу удалось свести к интегрированию дифференциального уравнения первого порядка с двумя переменными, оказывается также возможным свести эту задачу к квадратурам. Мне удалось превратить это замечание в общее положение, которое, как мне кажется, дает новый принцип механики. Этот принцип, так же как и другие общие принципы механики, дает возможность получить интеграл, но с той разницей, что другие принципы дают только первые интегралы дифференциальных уравнений динамики, тогда как новый принцип приводит к последнему интегралу. Этот принцип обладает общностью, более высокой, нежели другие принципы, потому что он применим к случаям, когда аналитические выражения сил, а также уравнения, выражающие структуру системы, содержат координаты движущихся точек в любой форме. С другой стороны, принципы сохранения живых сил, сохранения площадей и сохранения центра тяжести во многих отнощениях имеют преимущество перед новым принципом. Прежде всего, эти принципы дают конечное уравнение между координатами движущихся точек и составляющими их скоростей, тогда как интеграл, получаемый на основании нового принципа, требует еще квадратур. Во-вторых, применение нового принципа предполагает, что уже найдены все интегралы, кроме одного, предположение, которое осуществляется лишь в очень небольшом количестве задач. Но это обстоятельство не может уменьшить- ценности нового принципа, в чем, я надеюсь, убедит применение его к нескольким примерам. [c.294]

Подобные общие принципы, в которых выставляется требование, чтобы интеграл некоторой функции состояния, распространенный на время, в течение которого происходит изменение состояния, имел экстремальное значение, иногда обязательно минимальное, выдвигались неоднократно. Эти принципы имели различную форму, соответствующую тем или другим условиям, налагаемым на варьирование, но при правильном выполнении требуемых варьирований все эти принципы приводят к одним и тем же дифференциальным уравнениям для рассматриваемых процессов. Первым из этих интегральных принципов был предложенный Мопертюи принцип наименьшего действия, в котором утверждалось, что при всех происходящих в природе явлениях среднее значение живой силы имеет минимальное значение. Условия варьирования, имеющие при этом место для механических задач, найдены только Лагранжей, и тем самым этот принцип был только им научно обоснован. Эти условия с современной точки зрения могут быть выражены требованием, чтобы полная энергия варьированного движения оставалась равной полной энергии действительного движения. Впрочем, к тем же результатам приводит принцип Гамильтона, при котором имеет место другое условие, а именно, что время не затрагивается варьированием. Это последнее условие имеет то преимущество, что мы имеем возможность присоединить к Я добавочные члены, относящиеся к внешним силам. Поэтому мы оставляем форму Гамильтона, которая теперь при сохранении прежнего условия варьирования гласит [c.465]

Система уравнений (19) характеризуется большим количеством связей между движениями по выбранным координатам, созданными произвольным размещением точек присоединения упругих элементов и демпферов к колеблющейся массе системы. Наличие этих связей затруднит получение информации о неуравновешенности в простой форме без применения сложных счетно-решающих устройств, введение которых нежелательно с позиций надежности в эксплуатации. Кроме того, эти связи затруднят решение системы уравнений. Поэтому следует стремиться к снижению числа связей между дифференциальными уравнениями за счет обращения в нуль ряда обобщающих характеристик. Это допускают статические (16) и центробежные (18) моменты жесткостей и постоянных вязкого трения при соответствующем размещении упругих элементов и демпферов. Однако в конкретных схемах колеблющихся частей балансировочных устройств упрощение дифференциальных уравнений (19) будет различным, а поэтому их следует решать применительно к частным случаям. [c.26]

В связи с эти.м приобретают большое значение приближенные методы решения задач пограничного слоя, среди которых распространенными являются методы, основанные на использовании уравнений пограничного слоя в интегральной форме. К таким уравнениям относятся уравнение количества движения, уравнение кинетической энергии, уравнение энергии. Приближенность этих методов заключается в отказе от удовлетворения дифференциальных уравнений пограничного слоя для каждой отдельной частицы жидкости. Уравнения пограничного слоя удовлетворяются только в среднем по толщине пограничного слоя ери выполнении граничных условий и контурных связей на стенке и при переходе к внешнему потоку. С точки зрения инженерной практики такой подход оправдывается тем, что часто прп проектировании различных технических устройств нет необходимости в детальном знании профилей скорости и температуры достаточно иметь данные о распределении коэффициентов трения и теплообмена по обтекаемой поверхности или о распределении толщины пограничного слоя и интегральных его характеристик. [c.52]

Дифференциальные уравнения движения задачи могут быть написаны в различных видах, однако наиболее удобная форма уравнений была дана Нехвилом 23] и Н. Ф. Рейн 24]. Пусть Gxyz — барицентрическая прямоугольная неравномерно вращающаяся система координат, плоскость Gxy которой совпадает с плоскостью орбит конечных масс, а направление оси Gx совпадает с направлением PqPi- Дифференциальные уравнения движения точки Р имеют вид (23] [c.548]

При помощи этих m уравнений можно исключить из уравнения (1) т из Зп вариаций 6х бу,, 6z и если после этого оставшиеся вариации положить независимыми друг от друга, то символическое уравнение (1) распадется на дифференциальные уравнения движения. Но это исключение было бы очень затруднительно и имело бы, кроме того, некоторые неприятные стороны во-первых, пришлось бы некоторые координаты предпочесть другим, и поэтому получились бы несимметричные формулы, а, во-вторых, для различного числа условных уравнений получалась бы различная форма результатов исключения, вследствие чего общность исследования была бы сильно затруднена. Все эти трудности преодолел Лагранж введением множителей (метод, который уже Эйлер часто употреблял в задачах de maximis et minimis ). Так как в уравнения (1) и (4) вариации 6х 6у dz, входят линейно, то исключение т из них можно произвести следующим образом. Умножаем уравнения (4) соответственно на множители 7, и,. . . и складываем их с (1) полученное уравнение назовем (а). [c.304]

Назовем череа и сплы давления, которое оказывает материальная точка на поверхности, дающие своим пересечением линию. Так как линия может быть определена двумя поверхностями, находящим ся в различных положениях относительно лруг друга, то допустим, что эти по-верхнос1и выбраны так, что в рассматриваемой точке М (фиг. 272) они взаимно перпендикулярны. Проведем нормаль к первой поверхЕюсти и назовем углы ее с осями координат через а , проведем также нормаль 2 ко второй поверхности и пусть углы ее с осями будут Напишем дифференциальные уравнения движения материальной точки ло линии в следующей форме [c.372]

Рассмотрение единым методом явлений, относящихся к различным формам движения материи, еажно и с методологической точки зрения так как единый метод свидетельствует о единстве природы и дает возможность узкому специалисту отчетливо и по существу понимать широкий мир явлений современного естествознания. В. И. Ленин писал в работе Материализм и эмпириокритицизм Единство приро-ды обнаруживается в поразительной аналогичности дифференциальных уравнений, относящихся к разным областям явлений. (Полн. собр. соч., т. 18, стр. 306). [c.24]

Теорию крыла конечного размаха позволило создать использование основополагающей теоремы Н. Е. Жуковского о связи подъемной силы с циркуляцией и модели течения с присоединенным вихрем, так что эта теория является логическим продолжением и развитием идей, составляющих фундамент теории крыла бесконечного размаха, В 1910 г. С. А. Чаплыгин в докладе на тему Результаты теоретических исследований о, движении аэропланов сформулировал общие представления о вихревой системе крыла конечного размаха. В 1913 и 1914 гг. им были получены первые формулы для подъемной силы и индуктивного сопротивления. Они были доложены на третьем воздухоплавательном съезде в Петербурге. В дальнейшем основное распространение получила теория несущей линии, предложенная в Германии Л. Прандтлем для крыльев большого относительного удлинения. В рамках этой схемь было получено интегро-дифференциальное уравнение, связывающее изменение циркуляции и индуктивный скос потока. Задача свелась к отысканию различных приближенных методов его решения. В работе Б. Н. Юрьева (1926) был применен геометрический прием, в котором использовалось предположение о том, что распределение циркуляции близко к эллиптическому и что отклонения от этого распределения повторяют форму крыла в плане. Аналитические методы, применявшиеся на начальном этапе развития теории для получения приближенных решений, состояли в требовании удовлетворения основному уравнению в ограниченном числе точек по размаху. Так, в методе тригонометрических разложений В. В. Голубев (1931) заменил бесконечный тригонометрический ряд тригонометрическим многочленом, сведя бесконечную систему уравнений к конечной системе, в которой число неизвестных соответствует числу членов разложения циркуляции и числу точек на крыле. С целью более точного учета формы крыла в плане при ограниченном числе решаемых алгебраических уравнений Я. М. Серебрийский (1937) предложил для решения интегро-дифференциального уравнения использовать способ наименьших квадратов. [c.92]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...