Свободные колебания общая теория

Уравнение (67) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии сопротивления. Решение этого линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка ищут в виде x=e" . Полагая в уравнении (67) л =e" получим для определения п характеристическое уравнение n - -k =0. Поскольку корни этого уравнения являются чисто мнимыми ( 1,2= = ik), то, как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (67) имеет вид [c.233]

Допустим, что частота свободных колебаний k не равна частоте возмущающей силы са со А. При этом условии проинтегрируем уравнение (IV.40). Как известно из теории интегрирования линейных дифференциальных уравнений, общее решение неоднородного уравнения (IV.40) равно сумме общего решения однородного уравнения (IV. 13) и частного решения неоднородного уравнения. Общее решение однородного уравнения было найдено выше. Оно определяется формулой (IV. 14). Остается найти частное решение неоднородного уравнения. Простая форма правой части уравнения (IV.40) позволяет найти это решение при помощи метода неопределенных коэффициентов. Будем искать частное решение уравнения (IV.40) в такой форме [c.341]

Резонанс. Обращаясь к общей теории, мы будем предполагать, что постоянные /г и А (а следовательно, <о и Т), характеризующие колеблющуюся систему, остаются неизменными, равно как и максимальная величина q возмущающей силы изменяя частоту (Bj возмущающей силы (или же ее период ri Sn/ u,), мы увидим, что вместе с этим будет изменяться амплитуда р соответствующих вынужденных колебаний. Мы покажем, что р всегда допускает единственный максимум. Если постоянная затухания h, свойственная колеблющейся системе, мала, то максимум этот будет достигнут при значении (Oj, близком (почти равном) к частоте ш свободных колебаний. [c.71]

В случае установившихся автоколебаний автоколебательная система характеризуется тем. что в ней происходят периодические колебания при этом система может выбрать любую из своих собственных форм или комбинацию из этих форм. Такой факт является еще одним подтверждением важности роли свободных колебаний в общей теории колебаний. [c.227]

Общее решение. Решение неоднородного уравнения (IV.2) следует искать в виде суммы решения соответствующего уравнения без правой части (т. е. уравнения свободных колебаний) и какого-либо частного решения заданного уравнения (IV.2). Вместо того чтобы в каждом конкретном случае подбирать частное решение, соответствующее заданному виду правой части, можно воспользоваться известным в теории линейных дифференциальных уравнений общим методом вариации произвольных постоянных. [c.193]

Расчет в этом случае проводится с помощью аппарата теории колебаний. для системы с двумя степенями свободы (см. гл. XI). В момент = О, когда груз касается пружины /, смещения обоих грузов равны нулю, скорость груза равна начальной скорости удара а скорость груза — нулю. Решение дифференциальных уравнений движения системы, состоящей из двух грузов и двух пружин, при этих начальных условиях позволяет определить перемещения грузов и усилия в пружинах. Это решение справедливо только до тех пор, пока груз /nj находится в контакте с пружиной I. Как только груз otj отрывается от пружины, он продолжает движение по инерции, а груз т.2 совершает свободные колебания на пружине И. Вслед за этим может иметь место новое касание груза с пружиной /, после чего система снова движется совместно, как система с двумя степенями свободы. Движение ее в этом периоде рассчитывается по тем же общим формулам, причем в качестве начальных условий принимаются те скорости и смещения грузов, которые имеют место к моменту контакта. [c.394]

Общие замечания. Распространение теории свободных колебаний систем с конечным числом степеней свободы (см. гл. Ill) на распределенные системы осуществляется в рамках функционального анализа. Теория свободных колебаний упругих систем может рассматриваться как физическая интерпретация спектральной теории линейных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Операторные обозначения весьма удобны при изложении общих вопросов теории колебаний упругих систем, поскольку они придают предельную краткость и общность. Чтобы облегчить интерпретацию операторных обозначений, в табл. 1 и 2 дана их развернутая запись для некоторых классов упругих систем. [c.166]

Дюамель занимался также теорией колебаний упругих тел. Свободные колебания струны и стержней постоянного поперечного сечения получили к тому времени уже достаточное освещение. Дюамель перешел к более сложным случаям. Он поставил, например, задачу о колебаниях струны с присоединенными к ней сосредоточенными массами и не только дал полное решение этой задачи, но и провел большое количество опытов, результаты которых хорошо согласовались с теорией ). Он дал общий метод исследования вынужденных колебаний упругих тел ). Применив принцип наложения, он показал, что перемещения, произведенные переменной силой, могут быть получены в виде некоторого интеграла (см. стр. 277). Этот метод был затем использован Сен-Вена- [c.294]

В фундаментальной работе Пуассона 1829 г. содержится, помимо указанного выше, немало других важных результатов из общих уравнений теории упругости вновь выведено уравнение для продольных колебаний тонких стержней, раньше полученное Навье (1824 г.), и для их поперечных (изгибных) колебаний, а также впервые дано уравнение для их крутильных колебаний. Там же решена задача о свободных радиальных колебаниях упругой сферы. Эти результаты стали отправными для многочисленных работ, сколько-ни-будь подробное освещение которых возможно лишь в специальном исследовании по истории теории упругости. Здесь достаточно сказать, что этими работами был подготовлен новый этап в развитии теории колебаний, обобщение основных положений, относящихся к линейным колебательным системам с конечным числом степеней свободы, на линейные колебательные системы с бесконечно большим числом степеней свободы. Один из общих результатов такого рода был установлен Стоксом в работе О динамической теории дифракции название которой напоминает о том, что в эту эпоху — эпоху торжества теории упругого светоносного эфира Юнга — Френеля оптика снова содействовала развитию теории колебаний, как и во времена Гюйгенса. Для свободных колебаний системы с конечным числом степеней свободы, вводя нормальные координаты , для изменения каждой из них, получают уравнение вида [c.277]

Изучение колебаний нитей сводится, как правило, к анализу дифференциальных уравнений математической физики и очень часто простой, казалось бы, вопрос приводит к сложным преобразованиям, причем сложность анализа возрастает иногда в несколько раз при несущественном на первый взгляд изменении граничных условий. Учитывая, что в настоящей книге механика нити рассматривается как раздел теоретической механики, мы сочли возможным остановиться здесь только на классических задачах колебаний нити (сравнительно подробное изложение современных методов исследования теории колебаний нити можно найти в книге [22]). Некоторые из рассматриваемых здесь вопросов могут оказаться полезными при решении других инженерных задач. Кроме того, эти задачи изучаются обычно в курсах по теории дифференциальных уравнений математической физики или аналитической механике в отрыве от общей теории гибкой нити. Поэтому вполне естественно остановиться хотя бы кратко на методах составления и решения дифференциальных уравнений колебаний нити. Мы ограничимся рассмотрением только свободных колебаний. [c.204]

Рассматриваемая проблема была предметом обстоятельного анализа в рамках А. Л. Гольденвейзера (1961, 1966), подошедшего к ней с точки зрения общей теории оболочек, т. е. применительно к произвольной оболочке. В последней статье Гольденвейзер подытожил результаты качественного исследования свободных колебаний с большим показателем изменяемости состояния перемещений. Целью исследования было установление областей для параметров, характеризующих функцию изменяемости, в которых возможно расчленение общего состояния перемещений на элементарные. Классификация задач проведена с учетом геометрических свойств контурной линии, от которых существенно зависит характер дополнительных интегралов, привлекаемых для удовлетворения краевых условий. Основное внимание в статье уделено безмоментным поперечным колебаниям, происходящим при относительно малых частотах и сопровождаемым лишь малыми тангенциальными колебаниями. Разрешающее уравнение этих колебаний имеет любопытную структуру [c.249]

Теория малых колебаний механических систем с несколькими степенями свободы, изложенная в предыдущем параграфе, находит широкое применение при исследовании колебательных спектров многоатомных молекул. В данном параграфе мы рассмотрим в качестве примера свободные колебания симметричной трехатомной молекулы XjY. Однако, прежде чем приступить к расчету собственных частот и форм нормальных колебаний указанной молекулы, необходимо сделать ряд общих замечаний. [c.246]

Мы рассмотрели простейший случай, когда прогиб вала определяется уравнениями (4). Обратимся теперь к более общим уравнениям (3). Эти уравнения отличаются от уравнений (4) присоединением членов, зависящих от свободных колебаний вала. В общем случае точки О, Л и С не лежат на одной прямой простая картина движения диска, которую мы получили, анализируя уравнения (4), искажается вследствие свободных колебаний гибкого вала. Но мы знаем, что неизбежные сопротивления (которые в излагаемой теории не приняты во внимание) ведут к быстрому затуханию свободных колебаний. Отсюда следует, что в уравнениях (3) члены, соответствующие -свободным колебаниям вала, не имеют существенного вначения при всяких начальных данных движение диска в основных чертах происходит так, как выше описано. Только вблизи резонанса, как мы знаем, следует ожидать значительных свободных колебаний. Соответственно этому мы должны ожидать заметных колебаний вала тогда, когда угловая скорость вращения близка к критической. Вблизи критической угловой скорости вал бьет . [c.236]

Общая теория. Проиллюстрировав метод учета членов более высоких порядков несколькими примерами, рассмотрим теперь задачу в общей постановке. Наша цель — так видоизменить перте приближение решения, чтобы включить в него если это возможно) влияние малых сил, периоды которых совпадают с периодами свободных колебаний (п. 356). Полученный общий результат будет приведен в резюме в коице рассуждений. [c.284]

Прежде чем перейти к общей теории колебаний для системы, в которой имеет место рассеяние энергии, целесообразно, пожалуй, указать на некоторые особенности свободных колебаний сплошных систем, приводимых в движение силой, приложенной в одной точке. При предположениях и в обозначениях 93 конфигурация в любой момент времени определяется уравнением [c.157]

Краткое содержание книги таково. Гл. 1 посвящена обсуждению гармонических колебаний систем с одной степенью свободы. Рассмотрена общая теория свободных и вынужденных колебаний, показано применение этой теории к задаче балансировки машин и конструированию аппаратуры для регистрации колебаний. Разобран также приближенный метод Релея для исследования колебаний более сложных систем, а также дано его приложение к расчету критических частот вращающихся валов переменного поперечного сечения. [c.14]

Упражнение XI. 6.3 (по существу Пуассон). Используя общую теорию, изложенную в IX. 2, показать, что скорости и амплитуды бесконечно малых свободных плоских синусоидальных колебаний около однородной конфигурации удовлетворяют условию распространения (7). [c.338]

Первая глава посвящена гармоническим колебаниям систем с одной степенью свободы. Рассмотрена общая теория свободных и вынужденных колебаний и показано применение этой теории к уравновешиванию машин и к виброизмерительным приборам. Далее рассмотрен приближенный метод Рэлея для исследования колебаний более сложных систем этот метод применен к вычислению критических скоростей вращающихся валов переменного поперечного сечения. [c.5]

Колебания общая теория — 18, 186 уравнения —, 20, 145, 186 однозначность решения задачи о —, 186 поток энергии при —, 188 свободные —, 30, 189, 19j нормальные —, 189 распространение— в среде, 320 —.шара, 290—300 — цилиндра, 300—305 — стержней, 445—447 — кривых стержней, 471—472 —пластинок, 518—521 — оболочек без удлинений средней поверхности, 536—53- --оболочек общего вида, 565—570 — цилиндрическойобо-лочки, 570—576 — сферический оболочки, 576—579. [c.669]

Влияние упора гребного винта. Из общей теории поперечных колебаний известно, что действие продольной силы может иногда существенно повлиять на частоту поперечных колебаний балки, причем сжимающая сила снижает, а растягивающая повышает эту частоту. Количественно влияние продольной силы на частоту свободных поперечных колебаний однопролетной балки может быть оценено с помощью соотношения [c.237]

Наряду со свободными колебаниями с одной, двумя и многими степенями сво боды освещены также вынужденные колебания с диссипацией и без нее. Изложена теория параметрических колебаний. Применительно к упругим системам обсуждаются общие свойства собственных частот и собственнь х форм колебаний, точные и приближенные методы их определения. Представлены методы вычисления собственных форм и частот упругих стержней, пластин и оболочек, рассмотрены вопросы [c.11]

Задачи о вынужденг ых колебаниях призматических стержней имеют не только теоретическое, но и большое практическое значение. С ними приходится встречаться в различных отделах машиностроения, в мостовом деле, в кораблестроении и т. д. Несмотря на это, общк е методы исследования малых колебаний, разработанные главным образом в акустике, находят малое применение в технике. Объясняется это отчасти тем, что в книгах по теории звука главное внимание обращено на свободные колебания, вынужденным колебаниям отводится мало места ограничиваются обыкновенно лишь изложением общ,его метода. [c.139]

Другая теорема такого же характера гласит, что если потенциальная энергия при той же конфигурации уменьшается, а кинетическая остается неизменной, то периоды всех свободных колебаний возрастают, и наоборот. Результаты подобного рода, как и сама теорема стационарности, строго говоря, доказаны Рэйли только для конечного числа степеней свободы и для малых изменений соответствующих параметров, но он пользуется ими в общем случае и основывает на них способ приближенного вычисления собственных периодов или частот. Только значительно позже, почти через полвека, успехи в разработке вариационных методов и созданная в начале XX в. теория интегральных уравнений были использованы для строгого доказательства этих положений. [c.279]

Для целей этой книги нет необходимости подробно рас-С1 [атривать теорию диссипации энергии в системе со многими степеиялш свободы. Общий эффект тот же, как и в 12 свободные колебания постепенно затухают однако, если диссипативные силы относительно малы, то периоды при этом заметно не изменяются. [c.68]

Пусть эта величина будет положительна, когда сила направлена, например, наружу. Слагаемое А сов nt, находящееся в фазе со смещением, необходимо для уравновешивания инерции воздуха. Из общей теории вынужденных колебаний ( 9, 12) следует, что можно получить тот или иной знак коэффициента Л путем соответственного подбора п величина п будет по знаку одинакова с С, если вынужденные колебашш относительно медленны знаки будут противоположны, если колебания относительно быстрые. Следовательно, мы можем выбрать п и таким, чтобы выполнилось равенство Л = 0. Тогда условия будут близко соответствовать свободным колебаниям, и требуемое значение п определится с большой точностью ио формуле [c.338]

Теория малых колебаний динамической системы около положения относительного равновесия по отношению к реальной или воображаемой твердой системе отсчета, вращающейся с постоянной угловой скоростью около неподвижной оси, отличается в некоторых существенных чертах от теории малых колебаний около положения абсолютного равновесия, о которой мы говорили в 168. Необходимо поэтому уделить некоторое внимание общей теории, прежде чем заняться исследованием специальных проблем. Система, которую мы исследуем, может быть oBepuienno свободна или может быть связана с вращающимся твердым телом. Во втором случае предполагается, что как реакции связи, так и внутренние силы системы являются консервативными. [c.385]

Если обратить внимание ва возможное увеличение амплитуды вследствие. резонанса, то интересно поставить вопрос о том, не может ли атмосфера иметь свободные периоды приблизительно в 12 солнечных или лунных часов. Маргулис находит для наиболее важных свободных колебаний, имеющих такой же, в общем, характер, как и полусуточные приливные волны, период 11,94 звездного часа в предположении постоянной температуры О С. С другой стороны, Хоф в своих исследованиях по теории приливов находит, что глубина Л океана, для которого период в точности равен 12 звездным часам, определяется иэ формулы [c.701]

Применение уравнений трехмерной теории упругости к исследованию устойчивости упругих тел с учетом изменения их граничных поверхностей было предложено А.Ю. Ишлинским и Л.С. Лейбензоном [5, 6]. В трехмерной линеаризованной постановке в работах А. П. Гузя и его учеников [2, 7, 8, 9] были получены решения задач устойчивости анизотропных элементов конструкций, которые послужили основой для оценки точности различных прикладных теорий, использующихся в расчетной практике. Оказалось, что теория оболочек, в которой деформации поперечного сдвига учитываются в соответствии с гипотезой Тимошенко, позволяет находить критические нагрузки с незначительной погрешностью. Эта оценка относится и к таким интегральным характеристикам, как низшие частоты свободных колебаний оболочки из КМ. В то же время решение уравнений теории оболочек типа Тимошенко менее трудоемко, чем уравнений теории упругости, особенно в случае оболочек сложной геометрии. Такими, в частности, являются цилиндрические оболочки с волнообразной срединной поверхностью, которые при большом количестве волн принято называть гофрированными. Устойчивость последних рассматривалась в работах [10, 11] путем замены их эквивалентными ортотропными. Хотя экспериментальные данные обнаруживали более высокую эффективность гофрированных оболочек [10], приближенное дискретное решение не подтвердило возможности увеличения критических нагрузок за счет придания профилю поперечного сечения волнообразного характера. Недостатков приближенного подхода удалось избежать в работах [12-14], где устойчивость гофрированных оболочек рассматривалась с учетом изменяемости геометрических параметров по направляющей. Из проведенных авторами этих работ исследований вытекает, что при равновозможности общей и локальной форм потери [c.105]

Общие закономерности свободных колебаний линейных систем в принципе были установлены давно и вытекают из теории линенных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Поэтому исследования, выполненные в последние десятилетия, относились, в сущности, к проблеме адекватной схематизации реальных механических систем, отбора и учета существенных степеней свободы и т. п. Кроме того, получили развитие исследования, касающиеся изменения свойств колебательной системы при вариации параметров, а также при наложении дополнительных связей и присоединении дополнительных масс. В работах ряда авторов существенно развиты методы анализа свободных колебаний линейных систем (об этих работах будет сказано в обзо ре на стр. 167—169). [c.89]

Поскольку рассматриваются линейные задачи, то представление (6.1) имеет смысл. Задача Ламба относилась именно к этому случаю. Функция Ф в общем случае является решением сложной краевой задачи, и никаких общих методов ее решения не существует. Заметим, что в ее граничные условия на свободной поверхности входит также и число ю. Таким образом, с математической точки зрения задача о свободных колебаниях — это некоторая спектральная задача теории несамосопряженных операторов. [c.70]

В теории свободных колебаний упругого твердого тела приходится интегрировать. уравнения колебательного движения при заданных граничных условиях, относящихся к напряжениям и смещениям. Пуассон зб) дал решение проблемы свободных радиальных колебаний упругой сферы, а Клебш по образцу решения Пуассона, построил общую теорию. В эту теорию входит обобщение понятия нормальных координат на случай системы с бесконечно большим числом степеней свободы, введение соответствующих фундаментальных функций и доказательство тех свойств этих функций, с которыми приходится иметь дело при разложении любой заданной фуккции по этим функциям. Спор по вопросу о колебаниях струн, стержней, мембран и пластинок, который происходил как до Пуассона так и при нем, подготовил почву для обобщений Клебша. До появления трактата Клебша Ламе ) предложил другую теорию. Будучи знаком с исследованиями Пуассона о двух типах волн, ои пришел к заключению, что колебания всякого упругого тела должны распадаться на два соответствующих класса в согласии С,этим предположением он исследовал колебания различных тел. То обстоятельство, что его решения не удовлетворяли граничным условиям ля тел, поверхность которых свободна от напряжений, в достаточной мере компрометирует его теорию однако она была окончательно оставлена только после того, как все виды свободных колебаний однородной изотропной среди были изучены, и было доказано, что классы, на которые они распадаются, не соответствуют [c.30]

В течение многих лет после открытия этих уравнений прогресс в теории оболочек был крайне незначительным, и лишь более частная теория пластинок привлекала большое внимание. Пуассон и Коши оба занимались этой теорией, исходя из общих уравнений теории упругости и предполагая, что все величины, с которыми приходится иметь дело, могут быть разложены в ряды по степеням расстояния, ртсчитываемого от средней плоскости пластинки. Были получены уравнения равновесия и свободных колебаний для случая, когда Смещения перпендикулярны к пластинке. Большой спор возник по поводу граничных условий Пуассона. Эги условия состояли в том, что > силы и пары, приложенные по краю, должны быть равны силам и парам, происходящим от деформации. В своем знаменитом мемуаре ) Кирхгоф показал, что этих условий слишком много и что они, вообще, ие могут быть удовлетворены. Его метод основан на двух допущениях 1) что линей- t ные элементы, которые до деформации перпендикулярны к средней плоскости, остаются прямолинейными и нормальными к искривленной средней поверхности после деформации, 2) что элементы средней плоскости не подвергаются растяжению. Эти допущения дали ему возможность выразить потенциальную [c.39]

Свободные колебания упругого твераого тела. В теории малых колебаний динамических систем с кэнечным числом степеней свободы доказывается, что общего вида движение такой системы, выведенной из положения устойчивого равновесия, разлагается на некоторое число периодических движений, причем каждое из них может происходить независимо от остальных. Число этих специальных видов движений равно числу степеней свободы системы. Каждое из них обладает следующими свойствами. [c.189]

Теория свободных колебаний мембраны впервые с успехом была рассмотрена Пуассоном i). Его теория для случая прямоугольника оставляет желать немногого, но его исследование круговых мембран ограничено симметричными колебаниями. Решение Кирхгофа для аналогичной, но значительно более трудной задачи колебаний круговой пластинки опубликовано в 1850 г. и, наконец, Теория упругости Клебша (1862 г.) дает общую теорию круговых мембран, включая влияние жесткости и инерции вращения 2). Мы видим, что к 1866 г. оставалось сделать лишь [c.365]

Книга посвящена вопросам расчета на прочность, устойчивости и колебания анизотропных слоистых оболочек. В ней рассмотрены вопросы общей теории, статической и динамической устойчивости, свободных колебаний, термоупругости, аэроупругости, магнитоупругости анизотропных слоистых оболочек. [c.2]

Приведенные результаты, относящиеся к роли демпфирования, носят общий характер наши эксперименты служат лишь наглядными иллюстрационными примерами. На основании этих результатов возникают следующие интересные и весьма важные соображения. Мы показали, что увеличение трепия пе приводит к заметным изменениям частот и форм свободных колебаний. Мы не показали, правда, что эти изменения малы и в том случае, когда трепне вводится в систему, первоначально лишенную трепия. Тем не менее, можно предположить, что ото действительно так, и теория подтверждает это предположение. [c.50]

Третья глава относится к теории собственных колебаний упругих сильно неоднородных тел. Эти вопросы до сих пор мало-освещены в монографической литературе. В начале третьей главы даны теоремы общего характера о поведении спектра семейства абстрактных операторов, зависящих от параметра и действующих в различных пространствах, также зависящих от параметра. На основе этих общих теорем исследуется поведение собственных значений и собственных функций краевых задач, асимптотический анализ которых представлен в гл. II, а также некоторых других родственных задач. Даны оценки отклонения собственных значений и собственных функций задачи с параметром и усредненной задачи. Все задачи исследованы единым, предложенным в 1 гл. III, методом. Этот метод может найти дальнейшие широкие применения, так же как и теоремы, изложенные в 8 этой главы о несамосопряженных операторах. Общий метод исследования спектров операторов, зависящих от параметра, применяется также для исследования спектральных задач в областях с осциллирующей границей, задач для эллиптических уравнений в перфорированной области, вырождающихся на границе полостей, а также для изучения свободных колебаний тел с концентрированными массами. [c.7]

В общей теории линейных дифференциальных уравнений устанавливается, что обычно (но не всегда ) при кратных корнях характеристического уравнения в решении возникают слагаемые типа i sin kt и t eos kt, содержащие аргумент вне знаков тригонометрических функций в наших задачах этим корням соответствовали бы нарастающие колебания. Однако в рассматриваемых здесь случаях свободных колебаний консервативных систем такие слагаемые появиться не могут — это противоречило бы справедливому для таких систем закону сохранения механической энергии (тем более это отно- [c.96]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...