Множество уравнений в перемещениях

Система имеет одну степень свободы. В случае 3 из данной точки можно достигнуть трехпараметрического множества положений, в случае 2 — двухпараметрического множества и в случае 1 — однопараметрического множества. Случай 1 мы имеем, например, когда бусинка скользит по проволоке известной постоянной или переменной формы. Виртуальные перемещения удовлетворяют уравнениям [c.33]

Варианты расчета, которые могут производиться на ЭВМ, делятся на три группы. К первой группе относятся варианты, предназначенные для исследования возможностей упрощения расчетной схемы и понижения порядка системы уравнений. В токарном станке, например, такими вариантами является расчет без учета привода, без учета системы суппорта или с некоторыми упрощениями этой системы (исключение относительного перемещения верхнего суппорта и поперечного в направлении оси у) и т. д. Ко второй группе расчетов относятся варианты, связанные, с выявлением возможности упрощения коэффициентов уравнений или уменьшением их числа. Здесь, например, возможны варианты с исключением демпфирования из элементов, имеющих частоты собственных колебаний, лежащие вне диапазона частот, который исследуется, исключение некоторых неконсервативных членов и т. д. После проведения всех этих расчетов и окончательного упрощения расчетной схемы и отладки программы становится возможен расчет третьей группы вариантов. К ним относятся исследования влияния конструктивных и технологических факторов на устойчивость и колебания при резании. Проведение расчетов этих вариантов и является основной целью всего расчета. Расчет имеет большие возможности, так как позволяет оценить множество.вариантов исполнения станка еще до начала разработки рабочих чертежей. Переход от одного варианта к другому связан с изменением нескольких коэффициентов в уравнениях движения станка. В связи с этим разработанная система диффе-184 [c.184]

Как известно (см. раздел Д.1), динамическая задача теории упругости сводится к начально-краевой задаче для уравнений движения в перемещениях (Д.4). Применяя преобразование Лапласа (Д.38) к уравнениям движения, граничным и начальным условиям, вместо одной начально-краевой задачи для нестационарной системы уравнений (Д.4) получим бесконечное множество краевых задач для стационарной системы [c.206]

Векторы А1 и Аз направлены по нормалям к соответствующим поверхностям, когда время I рассматривается как фиксированный параметр. Действительные перемещения принадлежат множеству виртуальных при В1 = Вз = 0. Для геометрических связей это означает, что левая часть их уравнений не зависит явно от времени. Имеем тогда две неподвижные поверхности в пространстве, пересечение которых дает траекторию материальной точки, и требуется определить лишь закон ее движения вдоль траектории. [c.208]

Теорема 5.3.5. (Изменение кинетической энергии системы переменного состава). Пусть связи идеальны, а дифференциалы действительных перемещений всех материальных точек, образующих в данный момент времени рассматриваемую систему переменного состава, принадлежат множеству виртуальных перемещений. Тогда кинетическая энергия Т системы переменного состава удовлетворяет уравнению [c.415]

Указать, какое множество виртуальных перемещений следует учитывать в основном уравнении теории удара [c.442]

Поскольку все уравнения теории упругости линейны, всякое решение задачи теории упругости, т. е. напряжения, деформации и перемещения, выражается линейным образом через приложенные внешние силы. А эти силы, как мы выяснили, сводятся к конечному числу или счетному множеству обобщенных сил. Поэтому объемный интеграл, фигурирующий в выражении функционала Кастильяно (8.7.6), есть квадратичная функция от обобщенных сил [c.262]

Рассмотрим теперь вместо перемещений напряжения, отвечающие положению равновесия. Мы знаем, что дифференциальные уравнения равновесия (123) вместе с граничными условиями (124) недостаточны для определения компонент напряжения. Мы можем найти множество различных распределений напряжений, удовлетворяющих уравнениям равновесия и граничным условиям в связи с этим возникает вопрос как отличить истинное напряженное состояние от всех других статически возможных распределений напряжений [c.265]

Различные виды анализа, выполняемые в программных системах первой, второй и третьей групп, основаны на классических инженерных подходах к разработке математических моделей поведения изделия при различных воздействиях. В конечно-элементной постановке задачи моделирования исследуемая область предварительно разбивается на ограниченное множество конечных элементов, связанных между собой конечным числом узлов. Искомыми переменными уравнений математических моделей являются перемещения, повороты, температура, давление, скорость, потенциалы электрических или магнитных полей. Эти переменные определяют степени свободы узлов. Их конкретное содержание зависит от типа (физической природы) элемента, который связан с данным узлом. Например в задачах прочностного анализа для каждого элемента с учетом степеней свободы его узлов могут быть сформированы матрицы масс, жесткости (или теплопроводности) и сопротивления (или удельной теплоемкости). Множество степеней свободы, определяющих состояние всей системы в данный мо- [c.58]

Анализируя уравнение (11.23), можно заключить, что использование его для расчета флотационных установок затруднительно, так как оно не учитывает всего множества факторов влияющих на процесс очистки воды. Кроме того, в уравнение входят такие величины, как количество выделившихся пузырьков N и вероятность их закрепления на частице а, определение которых весьма сложно. Поэтому на практике для расчета флотационных установок используют две величины удельную нагрузку на 1 площади и время пребывания воды во флотационной камере. Эти величины определяют предварительными технологическими исследованиями. Наряду с этим за расчетный параметр можно принимать величину скорости выделения загрязнений из воды, определяемую экспериментально, например,, по методике, предложенной Л. И. Шмидтом, согласно которой флотационное осветление воды проводят в статических условиях во флотационной колонне из оргстекла. Колонну заполняют исходной водой и вводят порцию мелких пузырьков воздуха. Через некоторое время после начала флотационного процесса в нижней части колонны видна четкая граница между осветленной и исходной водой, которая перемещается вверх. Скорость перемещения границы замеряется в нескольких сечениях по высоте колонны и определяется ее средняя величина, по которой производят расчет флотационной камеры. Для различных вод величина скорости подъема загрязнений варьируется в пределах 2. .. 12 мм/с. [c.223]

В результате решения системы уравнений (7.96) с учетом граничных условий задачи определяются скорости узловых перемещений в глобальной системе координат. Для определения напряжений в каждом элементе осуществляется переход к локальным координатам. Затем по соотношениям (7.85) и (7.88) вычисляются скорости деформаций и компоненты напряжений во множестве точек деформируемой мембраны. В конце интервала времени координаты узлов сетки конечных элементов изменяются и расчет продолжается далее. Для выхода из нуля необходимо задать первоначальную форму мембраны одним из возможных способов. Наиболее просто начальная форма задается приблизительно таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия. [c.191]

В табл. 3.1 приведен наиболее простой частный случай, когда на части Su поверхности тела S заданы все компоненты вектора перемещений, а на остальной части Sf — все компоненты вектора усилий, причем Su — связное множество (т. е. состоит из одного целого куска любой формы). Если граничные условия (1.5) охватывают несколько связных участков поверхности S, то в список дополнительных условий должны быть включены уравнения вида (1.12). [c.55]

Линейное пространство — частный случай аффинного пространства, т. е. пространства, которое вместе с любыми двумя точками X, у содержит всю проходящую через них прямую линию (множество ах +(1 — а)у. а — любое вещественное число). Линейное пространство отличается тем, что всегда содержит нулевой элемент. В книге встречаются пространства состояний, являющиеся лишь аффинными, например множество полей перемещений, удовлетворяющих неоднородным геометрическим граничным условиям (пространство, связанное с функционалом Лагранжа), или пространство напряжений, удовлетворяющих неоднородным уравнениям равновесия (па котором определен функционал Кастильяно). [c.204]

Левые части этих уравнений — такие же, как в (18.37.6). Поэтому их определители будут равны нулю, если при п = k w некотором целом т выполняется равенство (18.37.8). Решение неоднородной статической задачи будет в этом случае, вообще говоря, невозможно. Это можно было предвидеть заранее. Рассматриваемые здесь статическая и геометрическая безмоментные задачи сопряжены (в смысле 7.7). Поэтому, если выполнено (18.37.8), т. е. если однородная геометрическая задача имеет нетривиальные решения, то согласно теореме 1 7.7 надо требовать, чтобы внешние силы статической задачи не совершали работы на перемеш,ениях сех возможных изгибаний. Выше было показано, что таких изгибаний бесконечное множество. Однако соответствующие им перемещения меняются по ag как sin rva или os r -ai,2, а внешние силы меняются по как sin ka или os ka2, поэтому, в силу ортогональности тригонометрических функций, работа внешних сил может отличаться от нуля лишь при п> = k. При фиксированном г существуют только два линейных независимых изгибания, а значит, и число нетривиальных условий Существования решения статической задачи также равно двум. Это и будут те два условия, которым должны отвечать правые части двух систем [c.266]

Упругое тело может совершать перемещения, не претерпевая деформации, поэтому для него уравнение (с) остается в силе внешние силы, приложенные к упругому телу должны удовлетворять уравнениям равновесия, соответствующим твердому телу. Но кроме перемещений, свойственных абсолютно твердому телу, упругое тело может совершать бесчисленное множество других перемещений, сопровождающихся изменением формы тела. Перемещения эти (бм, б у, би ) должны удовлетворять лишь условиям, установленным для перемещений и, у, ш в упругом теле (см. 10, 11). Для таких перемещений второй член в уравнении (Ь) в нуль не обращается и начало возможных перемещений в применении к упругим телам получает такое выражение форма, которую принимает упругое тело под действием внешних, приложенных к нему сил, характеризуется тем, что на всяком возможном для упругого тела отклонении от этой формы сумма работ всех внешних и внутренних сил равна нулю. [c.56]

В общем случае будем иметь некоторое множество возможных перемещений. Действительным перемещением назовем такое перемещение, которое совершают во времени точки системы при заданных связях под действием активных сил. Действительное перемещение удовлетворяет уравнениям связи. Вообще действительные и возможные перемещения удовлетворяют различным условиям, и действительное перемещение не принадлежит к классу возможных перемещений системы. Если же все ,-=0, то уравнения для возможных перемещений будут совпадать с уравнениями для действительных перемещений, т. е. действительное перемещение будет находиться среди возможных. [c.300]

Используется предположение о наличии свойства перестановочности (18) операций варьирования и дифференцирования по времени, т.е. виртуальные вариации считаются дифференцируемыми функциями времени, и вариации скоростей равны этим производным. В общем уравнении динамики в каждый момент времени виртуальные перемещения могут быть любыми из множества, определяемого ограничениями, а в общем случае коммутатор 5 — 5(1 двух дифференциальных операторов с1 и 6 требует доопределения [74. [c.31]

Траектории действительного движения и варьированные траектории ( окольные пути ) сравниваются при одинаковых начальных и одинаковых конечных положениях (см. (26)) на фиксированном промежутке времени, что не позволяет считать обоснованным применение уравнений движения (27) (а также (29) и (31)), полученных с помощью интегрального принципа, для определения ускорений в моменты времени 0 и 1. В противном случае возникает вопрос являются ли условия фиксированности начального и конечного положений связями, из которых следуют уравнения (26) для виртуальных перемещений, и не требуется ли рассматривать их реализацию с помощью реакций Иначе говоря, является ли область интегрирования, в которой вычисляется действие, замкнутой или открытой При применении общего уравнения динамики (15) этот вопрос не возникает, так как виртуальные перемещения на концах временного промежутка могут быть любыми из множества, определяемого ограничениями, в том числе и не равными нулю. Однако в отличие от силовой механики , действие применяется и при рещении проблем квантования, связанных с проблемой краевых условий. Эти проблемы существуют в механике, математике и физике (вообще в естествознании). [c.32]

Из бесчисленного множества перемещений Дг, допускаемых связью и поэтому удовлетворяющих соотношению (12.12), единственное действительное перемещение выделяется тем, что оно найдено не только из рассмотрения уравнения связи, а с учетом заданных сил в результате интегрирования уравнения движения. [c.318]

В задачах первого типа требуется найти законы изменения управляющих сил и моментов, обеспечивающие перемещение механической системы за заданное время из начального фазового состояния в заданное целевое множество с минимальными затратами на преодоление сил сопротивления среды. Такие задачи имеют следующие особенности. Во-первых, они нерегулярны [26], если только в текущее выражение для мощности сил сопротивления не входят в явном виде управляющие воздействия. Действительно, действующие на механическую систему управляющие силы и моменты входят в уравнения ее движения линейно. Отсюда гамильтониан зависит от управляющих сил и моментов также линейно. Поэтому уравнения Эйлера-Лагранжа не содержат в явном виде управляющие воздействия и, следовательно, не позволяют формально определить их оптимальные значения в терминах фазовых и сопряженных переменных. Во-вторых, как показывает опыт, это верный признак того (и так оно оказалось), что оптимальные программы изменения управляющих сил и моментов имеют импульсные составляющие. Поэтому классические вариационные средства непосредственно не применимы для нахождения оптимальных программ (в [12] дано обобщение принципа максимума Понтрягина на простейшие классы импульсных управлений). Задачи, исследованные во второй и третьей главах, принадлежат данному типу. [c.39]

Второй способ получения каркасных моделей основан на понятии определителя поверхности. Совокупность условий, определяющих каркасную модель поверхности, называется определителем поверхности. Различают геометрическую и алгоритмическую части определителя. Геометрическая часть включает некоторое множество фигур, сохраняющих положение, форму и размеры. Алгоритмическая часть определителя представляет алгоритм построения точек и линий поверхности, занимающих на ней переменное положение. Например, сфера может быть образована вращением окружности около прямой, проходящей через ее центр. В геометрическую часть определителя войдет уравнение окружности, в алгоритмическую — закон перемещения фигуры, в данном случае вращения окружности вокруг прямой, проходящей через ее центр. Перемещением окружности вдоль прямой линии можно получить цилиндр, при этом изменится только алгоритмическая часть определителя. [c.246]

Это—аналог уравнения совместности напряжений линейной теории-уравнений Бельтрами —Мичелла. Известно, что принцип минимума дополнительной работы в этой теории выделяет из множества статически возможных напряженных состояний реализуемое состояние, допускающее определение вектора перемещения. Естественно ожидать, что принципу стационарности дополнительной работы в нелинейной теории отводится та же роль ). [c.143]

Не следует думать, что (63.2) - это единственное уравнение (или что их бесчисленное множество, поскольку уравнения можно написать для любого виртуального перемещения). Из равенства (63.2) можно получить вообще конечное число независимых уравнений, что определяется числом независимых возможных перемещений системы (числом степеней свободы). Это замечание в равной степени относится и к статическому уравнению (60.1). [c.219]

Кроме того, в уравнении движения (1.4.16) вместо вектора скорости нужно записать его значение, рассчитываемое по формуле (1.2.90). (Лсончательно получаем основную замкнутое множество уравнений в перемещениях (табл. 5). [c.131]

Таблица 7. Механические 1фаевые условия основного множества уравнений в перемещениях

Рассмотрим теперь произвольную деформирующуюся материальную систему в положении равновесия легко видеть, что как вся система в целом, так и любая произвольно выбранная часть её должны удовлетворять условиям (38.1) равновесия твёрдого тела. Заметим предварительно, что прибавление новой связи не может нарушить равновесия системы в самом деле, прибавление связи стесняет простор для выбора виртуальных перемещений системы следовательно, виртуальные перемещения системы с добавочной связью входяг, как частная система, в состав виртуальных перемещений для системы без добавочной связи а потому, если активные силы не давали работы на любом из виртуальных перемещений при отсутствии добавочной связи, то они не дадут работы и на виртуальных перемещениях при наличии этой связи. Отсюда вытекает, что любая материальная система обязана в своём положении равновесия подчиняться всем условиям, найденным для твёрдого тела, так как равновесие этой системы не должно нарушиться и в том случае, если бы система затвердела. Прилагая условия равновесия твёрдого тела сначала ко всей системе, а затем к соответственно выбранным частям её, мы можем таким путём найти все те условия относительно приложенных сил, которые для нас интересны. Вообще говоря, для полного решения задачи о равновесии деформирующегося тела нам пришлось бы разбить его н бесконечно малые элементы, т. е. повторить указанный приём бесконечное множество раз в результате мы вернулись бы к основным уравнениям (36.10) на стр. 374 но часто случается, что, приложив указанный метод к двум, трём или более, но всё-таки к конечному числу частей системы, мы уже сможем найти всё, что нам нужно. [c.411]

При решении некоторых задач МСС основное множество уравнений удобно записывать не через вектор скорости V, как это показано в табл. 4, а через вектор перемещения U. В этом случае в основном множестве осгаегся уравншие (1.5.13), а уравнения (1.2.92) и (1.4.5) (табл. 4) заменяются уравнениями (1.2.4) и (1.2.145) соответственно. При этом последнее уравншие необходимо переписать в эйлеровых координатах. Интегрируя (1.2.145), имеем pJb = . Для определения константы с воспользуйся начальными условиями при t = to величины Jl = 1 и р = ро( ). Теперь (1.2.145) можно переписать в виде [c.131]

При решении некоторых задач МСС, например, теорш упругости, кинематическую постановку удобно осуществлять в перемещениях. Она фактически сводится к замене лагранжева вектора L вектором перемещения с помощью (1.2.4) во всех уравнениях основного множества уравнений табл. 5 или в уравнении (1.5.28) и в краевых условиях, где статические параметры заменяются с помощью определяющих уравнений типа (1.5.30) на кинематические параметры. [c.140]

Рассмотрим случай сухого трения, когда сила F (к) определяется соотношениями (22), Пусть по-прежнему уравнение (29) имеет изолированный корень X = а Тогда при отсутствии вибрации исходная система будет иметь бесконечное множество положений равновесия, лежащих в промежутке, определяемом неравенством —F < Т (л ) < и содержащем точку х = а этот промежуток часто называют юной нечувствительности или зоной застоя. При наличии достаточно интенсивной вибрации будет иметь место эффект превращения (по отноигению к медленным силам) сухого трения в нелинейно-вязкое, причем возможные (уже дискретные) положения равиовегия и их устойчивость по-прежнему будут определяться соотношениями (30) и (32), Из анализа указанных соотношений следует, что иногда рекомендуемый способ устранения зоны нечувствительности прибора наложением вибрации может привести к большей погрешности, чем величина этой зоны, вследствие попут[ю возникающего увода. Причины появления этого увода аналогичны перечисленным выше причинам возникновения вибрационного перемещения в случае сухого трения Более того, как и при вязком трении, вследствие вибрации положение равновесия может стать неустойчивым [c.258]

Точно так же уравнения равновесия могут быть выведены из соотношения между энергией упругой деформации и совершаемой Нагрузками работой, задаваемого принципом виртуальных работ, путем применения вариационного исчисления. Это нетрудно сделать, когда можно воспользоваться простыми выражениями для энергии деформации, но это нелегко сделать с более сложными выражениями для энергии деформации, подобными тем, что выводятся из более точных общих соотношений между деформациями и перемещениями (см. главу 6) и которые включают в себя множество различных соотношений и л1ногочисленные промежуточные параметры. В любом случае представляется более естественным выводить уравнения равновесия так же, как будем делать и мы, непосредственно из физического смысла задачи в соответствии с простым законом равновесия. [c.25]

Метод виртуального варьирования возник вместе с принципом возможных перемещений (принципом виртуальных скоростей Лагранжа (J. L. Lagrang)) и принципом Даламбера (J. d Alembert) при объединении их в единый принцип Даламбера-Лагранжа, дающий общее уравнение аналитической механики. С использованием понятия возможных перемещений задаются реакции связей, в частности с помощью известного критерия идеальности связей. Принцип возможных перемещений вначале применялся при решении задач статики как необходимое условие равновесия. Достаточность принципа виртуальных скоростей для равновесия могла быть доказана только в теории, описывающей движение, так как под виртуальной скоростью следует понимать скорость, которую тело, находящееся в равновесии, готово принять в тот момент, когда равновесие нарушено, т. е. ту скорость, какую тело фактически получило бы в первое мгновение своего движения... [51]. Здесь мы вместо термина возможное перемещение предпочитаем пользоваться термином виртуальное перемещение , чтобы избежать терминологического противоречия, указанного М. В. Остроградским [79] при нестационарных связях виртуальные перемещения в общем случае не являются возможными в смысле физической реализации (иначе получилось бы, что возможные перемещения не являются возможными). Термин виртуальные вариации применяем, следуя авторам работ [74, 101], чтобы подчеркнуть, что варьирование производится в соответствии с требованиями, налагаемыми на виртуальные перемещения. Совокупность способов получения виртуальных вариаций, правила выбора множества последних и условия их применения составляют метод виртуального варьирования. [c.10]

Виртуальное варьирование предполагает использование виртуальных перемещений, определяющих свойства реакций связей. Таким путём применение операций вариационного исчисления при варьировании функционала действие увязывается с физическим смыслом учитываемых ограничений. Вспомогательный характер имеет заметка 7 о дифференцировании функции при неявной зависимости от переменных и о вариационной производной. Способы синхронного, асинхронного варьирования и способ, применённый Гельмгольцем (и его расширение), а также варьирование в скользящих режимах реализации связей рассматриваются в заметке 8. В заметке 9 обсуждается составление уравнений для виртуальных вариаций неголономной связи связи, представляющей огибающую связи, зависящей от двух независимых параметров неравенства для виртуальных перемещений при неудерживающих связях. В одном из пунктов заметки 10 полностью содержится (с нашим примечанием) двухстраничная работа М. В. Остроградского Заметка о равновесии упругой нити , написанная им по поводу одной известной классической ошибки Лагранжа в других пунктах рассматривается использование неопределённых множителей при представлении реакций связей. Некоторое ограничение множества виртуальных перемещений позволило сформулировать обобщение принципа наименьшей кривизны Герца для систем с нестационарными связями (заметка 11). Несвободное движение систем с параметрическими связями (заметка 12) изучается на основе принципа освобождаемости по Четаеву, сформулированному им в задаче о вынужденных движениях составлено общее уравнение несвободных динамических систем, основные уравнения немеханической части которых имеют первый порядок (в отличие от механической части, основные уравнения которой второго порядка), предложено общее уравнение динамики систем со случайными параметрами. Центральное вириальное равенство (заметка 13) выводится с помощью центрального уравнения Лагранжа. [c.13]

Предварительно доказывается некоторый вариационный принцип. Предполагается, что дифференциальные уравнения и граничные условия задачи определяют состояние равновесия рассматриваемой упругой системы неединственным образом в решения входят некоторые постоянные параметры или функции независимых переменных задачи, остающиеся неопределенными. Рассматривается вариация поля смещений 5и1, соответствующая вариации множества неопределенных элементов. Используется принцип возможных перемещений [c.364]

Определение изгибно-крутильнух перемещений в тонкостенных стержнях непосредственно по формуле (18), как показывает приведенный в предыдущем параграфе пример, является чрезвычайно трудоемким так как приходится интегрировать произведения двух пар криволинейных эпюр, уравнения которых выражаются в гиперболических функциях. Но из курса строительной механики мы знаем, что при определении перемещений в статически неопределимых системах из нетонкостенных элементов в качестве заданной системы мы имеем право считать не только действительную статически неопределимую систему, но и всякую геометрически неизменяемую систему, которая получается из действительной путем удаления из нее тех или иных связей и причисления усилий, заменяющих удаленные связи, к внешней нагрузке. В частности, можно принять и статически определимую систему, для которой эпюры являются наиболее простыми. Это обстоятельство оказывается чрезвычайно полезным распространить и на системы из тонкостенных стержней, которые в отличие от систем из нетонкостенных стержней являются системами континуально статически неопределимыми, т. е. имеющими бесчисленное множество лишних неизвестных. В каждом же сечении тонкостенной системы, кроме неизвестных, связанных с лишними опорными закреплениями и на- [c.286]

Здесь две независимые вариации координаг 4-2 = 2. Из трех вариаций fij j, ej j две можно выбрать произвольно тогда две другие определятся из уравнений (59.7). В итоге можно получить счисленное множество виртуальных перемещений системы. [c.205]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...