Уравнение совместности в напряжениях

Уравнения совместности в напряжениях [c.63]

При выводе уравнений совместности в напряжениях часто полезным оказывается тензор [c.322]

Упражнение 1.9. Выражая в формулах (1.39) гл. 1 деформации через напряжения по закону (1.19) для изотермического случая и считая среду однородной, доказать, что уравнения совместности в напряжениях имеют вид [c.78]

В силу равенства (178) и (179) получим уравнение совместности в напряжениях [c.324]

Уравнение совместности в напряжениях 338 [c.684]

Уравнения совместности в напряжениях. ...............114 [c.4]

Кроме уравнений равновесия, должны выполняться еще уравнения совместности в напряжениях, т. е. так называемые уравне- [c.303]

Во многих задачах стационарной термоупругости, в которых граничные условия заданы в напряжениях, удобнее использовать уравнения совместности в напряжениях Бельтрами—Мичелла, обобщенные на задачи температурных напряжений. [c.485]

Для линейной вязко-упругости уравнения состояния имеют вид (0,9),. причем G и ц — есть некоторые линейные интегральные операторы. Уравнения совместности в напряжениях [c.489]

Уравнения совместности в напряжениях в остальных системах координат (см. А. И. Лурье. Пространственные задачи теории упругости, М., Гостехиздат, 1953). [c.489]

Ограничимся случаями плоской деформации и плоского напряженного состояния, для которых вместо одного уравнения совместности в обычной теории упругости здесь уже оказывается четыре одно прежнее, обычное, и три новых, связывающих три компонента деформации е , е , у у и кривизны и Ху граней, параллельных осям у и х [c.51]

Уравнения равновесия (18) или (19) вместе с граничными условиями (20) и уравнением совместности (в одной из приведенных выше форм) дают нам систему уравнений, которая обычно достаточна для полного определения распределения напряжений в двумерной задаче ). Частные случаи, в которых понадобятся некоторые дополнительные соображения, будут рассмотрены позже (см. стр. 146). Интересно отметить, что в случае постоянных объемных сил. уравнения, определяющие распределение напряжений, не содержат упругих констант материала. Следовательно, распределение напряжений в этом случае будет одним и тем же для всех изотропных материалов, если эти уравнения достаточны для полного определения напряжений. Данное заключение обладает практической важностью позднее мы увидим, что для прозрачных материалов, таких, как стекло или целлулоид, можно определять напряжения оптическим методом, используя поляризованный свет (стр. 162). Из вышеприведенных соображений ясно, что экспериментальные результаты, полученные для какого-либо прозрачного материала, в большинстве случаев можно непосредственно применять и к любым другим материалам, например к стали. [c.49]

Условия совместности содержат только вторые производные от компонент напряжения. Следовательно, если внешние силы таковы, что уравнения равновесия (123) вместе с граничными условиями (124) могут удовлетворяться, когда компоненты напряжения принимаются или постоянными, или линейными функциями координат, то уравнения совместности в таком случае удовлетворяются тождественно и такая система напряжений представляет собой корректное решение задачи. Несколько примеров таких задач будут рассмотрены в главе 9. [c.249]

Теперь обсудим решение краевой задачи теории упругости неоднородных тел, которое приводит к определению эффективных модулей материала. Рассматриваемое тело представляет собой прямоугольную призму (см. рис. , а). Основные уравнения для компонент тензоров напряжений и деформаций — это уравнения (1), в которых коэффициенты жесткости удовлетворяют условиям (2), а также обычные уравнения равновесия в напряжениях и уравнения совместности деформаций теории упругости однородных изотропных тел. Последние соотношения здесь не приводятся, поскольку их можно найти в любом курсе теории упругости. Достаточно указать, что переменные поля (напряжений), имеющие вид [c.42]

При выводе этих соотношений используются также уравнения равновесия (16.1), поэтому условия совместности в напряжениях так же, как и уравнения Ляме являются синтезом статической, геометрической и физической сторон задачи. [c.340]

Уравнения Бельтрами—Митчелла называются условиями совместности в напряжениях. Вместе с уравнениями равновесия [c.340]

ЖИДКОСТИ ВПЛОТЬ до получения уравнении, эквивалентных (5.4) и поэтому применимых к течению любого типа. Обобщение закона (5.4) на неоднородное течение совместно с уравнениями движения в напряжениях (связывающими пространственные градиенты напряжения с массовыми силами) образуют так называемые уравнения Навье — Стокса. Они лежат в основе большинства работ классической гидродинамики вязкой жидкости. [c.131]

В дальнейшем мы увидим, что уравнения движения в напряжениях (12.73), если их рассматривать совместно с реологическими уравнениями состояния как систему дифференциальных уравнений, гораздо сложнее уравнений (12.69), потому что ковариантная производная телесного тензора напряжений содержит нелинейные комбинации неизвестных переменных Yij, в то время как соответствующие компоненты ga в уравнениях для пространственного поля являются заданными функциями положения поля. Таким образом, использование телесных полей (в отличие от пространственных) приводит в общем случае к более простой форме реологических уравнений состояния, но к усложнению уравнений движения в напряжениях. Тем не менее некоторые задачи были решены целиком на основе телесного формализма, где решение в принципе всегда возможно. Уравнения движения в напряжениях в терминах телесных полей были даны Дюкером р], Грином и Зерна р [c.410]

Отметим здесь, что деформации, определенные из решения, использующего приближение для функции напряжений, в общем случае не удовлетворяют уравиеииям совместности. Например, как видно из (1.66), уравнения (1.65) имеют вид взвешенных средних и, следовательно, аппроксимируют уравнения совместности в двумерной задаче. Хотя в качестве примера рассматривалась двумерная задача, обобщение на случай трех измерений выполняется непосредственно. [c.38]

Другой путь ведет к непосредственному определению напряжений, и после того как это сделано, находят вызываемые ими деформации. При этом способе исходят из уравнений совместности в 8 первой главы уже показано, как это может быть сделано. Этот второй способ имеет много преимуществ перед первым, особенно в том отношении, что его можно лучше использовать для отыскания приближенных решений. [c.51]

Для того чтобы выражения (28.2) давали действительные решения задач теории упругости, они должны удовлетворять не только уравнениям равновесия, но и уравнениям совместности для напряжений. Это условие выражается в двух формах в зависимости от того, рассматривается ли плоская деформация или плоское напряженное состояние. Для плоской деформации условие сводится к следующему [c.79]

Нз основании предыдущего ясно, что начальная деформация вызывает начальные напряжения, если только составляющие деформации [а] ие удовлетворяют уравнениям совместности. В противном случае эти деформации могут существовать и не вызывать начальных напряжений. [c.241]

Вместо того чтобы исходить из перемещений в качестве неизвестных функций (как это рассматривалось до сих пор), можно попытаться сначала решать уравнения равновесия в напряжениях. Деформации тогда находятся из закона Гука. Правда при этом сначала строится точное (и единственное) решение уравнений совместности. [c.70]

Основные уравнения только в напряжениях получаются, если в условия совместности (3.4) подставляется закон Гука [c.70]

Подставляя эти выражения для напряжений т г и в уравнение равновесия (10), мы увидим, что оно удовлетворяется, если функция Ф (х, у) в области сечения стержня является гармонической функцией, т. е. Лф = 0. Уравнение же совместности в напряжениях (18) при условии (57) удовлетворяется тождественно. [c.249]

Если систему (2.44) рассматривать как уравнения равновесия в напряжениях, она недостаточна для определения напряжений, и к ней необходимо добавить ещё условия совместности деформаций, которые получаются известным в теории упругости образом из формул Коши (1.38) [c.110]

Уравнения равновесия, условие совместности в напряжениях п кинетическое уравнение в полярных координатах для безразмерных величин принимают впд [c.392]

Для тех задач, в которых на всей граничной поверхности известны поверхностные силы (2.88), с помощью дифференциальных уравнений равновесия (2.85) и закона Гука (6.4) уравнения совместности деформаций выразим через напряжения [c.118]

Шесть уравнений (6.31) называются уравнениями совместности Бельтрами—Мичелла. Решение задач этого типа (постановка задачи теории упругости в напряжениях) состоит в определении напряжений aij, которые удовлетворяют уравнениям равновесия [c.118]

Так как при решении задачи в напряжениях ац неизвестных шесть, а уравнений девять, то достаточно из шести уравнений совместности (6.31) взять любые три. [c.119]

Величину A называют дополнительной работой внешних сил, а П — дополнительной энергией. Уравнение (6.48) выражает принцип дополнительной энергии по сравнению с различными системами напряжений, которые удовлетворяют уравнениям равновесия внутри тела и на той части граничной поверхности, где заданы внешние силы, истинное напряженное состояние, удовлетворяющее уравнениям совместности, отличается тем, что для него дополнительная энергия П имеет стационарное значение. В условиях устойчивого равновесия величина П минимальна. [c.125]

Когда граничные условия сформулированы в напряжениях, то для решения задач все необходимые уравнения выражают в напряжениях. Представим уравнения совместности деформаций через напряжения при постоянных объемных силах. Это уравнения Бельтрами—Митчела. Преобразуем первое уравнение (1-11) [c.23]

На базе уравнений задачи в напряжениях, сведенных к уравнению совместности в виде (19.11), развиты мощные аналитические методы решения плоских задач теории упругости с использованием функций комплексного переменного. Однако эти методы выходят за пределы данного круга и здесь не излагаются. Получение аналитических решений в замкнутом виде для более или менее сложных областей и видов нагрузок представляет большие трудности. Для сравнительно простых случаев решение может быть построено путем подбора функций Ф, заведомо удовлетворяющих уравнению совместности (19.11). Последующая р омбинация этих частных решений может дать с заданным уровнем приближения решение поставленной задачи. Такая задача рассмотрена в 19.4. Эффективные методы решения плоских задач теории упругости дают метод конечных разностей и метод конечных элементов, которые рассмотрены в последующих параграфах. [c.444]

Решение можно получить, идя различными путями. Во-первых, мы можем взять общие уравнения (14) или (16) и решать их с тем, чтобы прямо найти и, v, w. Во-вторых, мы можем комбинировать уравнения равновесия в напряжениях, данные в 285 главы VIII, с уравнениями совместности для деформаций , данными в 308 главы IX. А затем использовать получившиеся уравнения для того, чтобы вывести выражения для компонентов напряжения, не вводя явно компоненты смещения. Каждый из методов имеет свою область применения. [c.410]

После того как мы сделали предположения (1), мы видим, что уравнения равновесия в напряжениях (глава VIII, 285) удовлетворяются тождественно. Два из уравнений совместности (глава IX, 308) после подстановки в иих (II) удовлетворяются тождественно, другие сильно упрощаются и приобретают вид [c.411]

Уравнения равновесия и кинетическое уравнение для параметра силошно-сти в случае плоского напряженного состояния идентичны соответствующим уравнениям для плоской деформации, но условие совместности в напряжениях будет иным. В случае плоского напряженного состояния вспомогательная функция 5 имеет вид [c.396]

Для расчета статически неопределимых систем растяжения-сжатия по допускаемым напряжениям обычно используют способ сравнения деформаций. Систему изображают в предполягпемом дг -формированном состоянии и непосредственно из чертежа геометрически) устанавливают зависимости между деформациями различных частей (стержней) системы, то ость составляют уравнения совместности деформаций (перемещений) в количестве, равном степени статической неопределимости системы. [c.66]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...