Классические уравнения движения

Уравнения (123) и являются классическими уравнениями движения систем с линейными неголономными связями, выведенными Аппелем. [c.381]

Отметим, что классические уравнения движения (1.32) или (1.34) являются системой конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. С их помощью по заданным значениям величин г (0), / (0) в нулевой момент времени можно определить эти же величины г (t), р (/) в момент времени t. [c.22]

Изображающие точки на / -плоскости одномерного газа в поле тяжести занимают прямоугольник X, х+ 1х. Как изменятся форма и фазовый объем (площадь) этих состояний за время Л/ вследствие классических уравнений движения [c.172]

Применить классическое уравнение движения гироскопа без затухания dO/dt = T (где О —угловой момент, J —вращающий момент) для случая, когда действуют только обменные сильи [c.55]

В последнее время в результате развития теории появился другой подход к приближенным теориям жидкого состояния (см. гл. III). Это метод молекулярной динамики, с помощью которого электронные вычислительные машины решают классические уравнения движения атомов для сравнительного малого их числа, например для периодических граничных условий. Пас-кин и Раман [43] получили потенциал, близкий к вычисленному Джонсоном и сотрудниками по теории [c.44]

Наконец, в гл. VI мы попытаемся показать, что теория групп лежит также в основе классических уравнений движения твердого тела в идеальной (т. е. несжимаемой невязкой) жидкости. [c.195]

Уже отмечалось (см. 3), что электронная энергия молекулы является потенциальной функцией для относительных колебаний атомов. Рассмотрев малые отклонения от положения равновесия и решив классическое уравнение движения, можно показать, что частота гармонических колебаний ядер двухатомной молекулы [c.21]

Уравнения (1.10) имеют интеграл энергии Я и геометрический интеграл F = f r). В стандартной симплектической структуре dp Adr скобка Пуассона Я, F равна нулю. Пусть д г, г) — первый интеграл классических уравнений движения г = -dV/dr-j--t- Xdf /дг, f r) = О, а G — функция д, представленная с помощью [c.26]

Возможно ли, что временная эволюция квантовых состояний всё ещё управляется классической механикой даже при условии Н О Действительно, если рассматривается эволюция в потенциале, содержащем только слагаемые не выше второго порядка по координате, классическое уравнение Лиувилля тождественно квантово-механиче-скому уравнению движения для функции Вигнера. В этом случае каждая точка в фазовом пространстве функции Вигнера движется в соответствии с классическими уравнениями движения. Квантовомеханические свойства системы спрятаны в начальном условии. В то время как в классической механике допускается любая нормируемая неотрицательная функция распределения, в квантовой механике это уже не так. Класс функций, которые могут представлять квантовое состояние системы, определяется законами квантовой механики. [c.99]

Подчеркнем особо структурную эквивалентность уравнения для математического ожидания поляризации при заданной фиксированной инверсии чисел заполнения (например, yi = —у) и классического уравнения движения для поляризации, основанного на простой модели осциллятора (ср. ч. I, 1 и 2). [c.262]

Некоторые простые примеры динамических систем на цилиндре. В дальнейшем мы подробно остановимся на качественном исследовании классического уравнения движения самолета в вертикальной плоскости [45, 42, 75, 148], которое после надлежащей замены переменных и параметров может быть записано в виде системы [c.252]

Мы получили квантовый аналог классического уравнения движения (349). Уравнение (353) описывает звуковую волну, которую можно рассматривать как квантованную, но на очень высоком уровне возбуждения. [c.314]

В этой главе дается краткая сводка некоторых понятий и формальных правил вычислений квантовой механики и статистики, которые понадобятся в дальнейшем для описания процессов излучения и рассеяния света веществом. В 2.1 дается рецепт перехода от классических уравнений движения к квантовым и обсуждается связь наблюдаемых и вычисляемых величин. В 2.2 вводятся удобные обозначения Дирака и геометрическая интерпретация квантовой механики. В 2.3 рассматриваются представление взаимодействия и теория возмущений. 2.4 посвящен важной закономерности статистической физики, называемой флуктуационно-диссипативной теоремой (ФДТ). Наконец, в 2.5 вводятся понятия релаксации и термостата и выводится простейшее кинетическое уравнение, отличающееся от динамических уравнений учетом взаимодействия с термостатом. Это взаимодействие приводит к затуханию и тепловым шумам, которые при Т Ф О добавляются к квантовым шумам. [c.44]

Результат этот проще получить, перейдя от оператора Гамильтона к функции Гамильтона. Тогда классические уравнения движения описывают как раз движение центра тяжести. [c.40]

КЛАССИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 131 [c.131]

Классические уравнения движения [c.131]

КЛАССИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 133 иметь вид [c.133]

КЛАССИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ [c.135]

Физический смысл величины I состоит в том, что сферические гармоники представляют собственные функции оператора орбитального углового момента 1см. уравнения (2.16а) и (2.17)1. Поэтому, задавая /, мы фиксируем угловой момент частиц, так что слагаемое I I + 1)// , входящее в уравнение (11.8), служит квантовомеханическим аналогом потенциала центробежных сил, фигурирующего в классических уравнениях движения. Физическое требование, чтобы волновая функция обладала хорошим поведением по всем направлениям г, приводит к тому, что число I должно принимать только целые значения ). [c.282]

Следовательно, Н — оператор энергии. Мы получили, что при /I —) О квантовая теория переходит в классическую (уравнения движения по форме остаются теми же, а наблюдаемые начинают коммутировать между собой). [c.117]

Джейнс [36] дал изящное рассмотрение связи между полуклассическим подходом и строгой теорией с квантованными гармоническими осцилляторами. Классическое уравнение движения для -го гармонического осциллятора можно представить в виде [c.414]

Постановка задачи. Будем предполагать, что взаимодействие частиц описывается парным потенциалом U, зависящим лишь от расстояния между частицами (см. п.п. 2.3, 2.4). Классические уравнения движения конечной системы одинаковых частиц единичной массы записываются в виде [c.250]

Простейшая модель поляризуемости рассматривает смещение на X () под действием электрического поля N заряженных частиц в единице объема с зарядом д. Электрическое поле не обязательно должно быть только внешним, а может включать в себя и поляризационные эффекты в веществе. В случае собственных колебаний решетки возвращающая сила определяет частоту собственных колебаний, а член с — ширину полосы. Классическое уравнение движения записывается в виде [c.387]

Пусть, например, конфигурация системы соответствует минимуму потенциальной энергии, причем 1-ж атом располагается в точке Кг. Как и в обычной теории колебаний решетки, допустим, что при малом смещении этого атома и возникают возвращающие силы, линейные по относительным смещениям соседних атомов. Тогда классические уравнения движения для таких смещений запишутся в виде [c.335]

Проведём через точку -пространства, в которой 5 вещественно, механическую траекторию в соответствии с уравнением (266). [Если решение уравнения (2б4 ) не содержит иных параметров, то получается одна траектория в общем случае каждому специальному выбору числовых значений, входящих в параметров а , а ,. .., соответствует определённая механическая траектория.] Согласно (265 ). плотность остаётся постоянной во времени вдоль этой траектории. Следовательно, в рассматриваемом приближении волновые пакеты ведут себя точно так же. как совокупности материальных точек, движущихся по классическим механическим траекториям. Справедливость второй половины классических уравнений движения [c.150]

Если вводить силу самодействия прямо в классическое уравнение движения, определив ее из равенства [c.93]

Отметим также, что если при вычислении силы самодействия взять полуразность запаздывающего и опережающего решений, то расходящийся член в не появляется. Итак, с учетом силы самодействия классические уравнения движения электрона во внешнем электромагнитном поле имеют вид (7.1). [c.93]

Будем рассматривать это уравнение как классическое уравнение движения для вектора о . Это уравнение нелинейно, но его можно линеаризовать в том случае, если считать, что величина близка к единице. При этом возможна следующая аппроксимация [c.236]

Если система первоначально находилась в точке (г , р фазового пространства, то в более поздний момент времени т она будет находиться в точке (г , р . Изменения координат Аг — г — и импульсов Ар =р — р являются функциями начальных значений и и времени х и определяются классическими уравнениями движения [c.190]

Этот вывод имеет общий характер, относясь и к квантовой динамике. Вместе с тем, применительно к классическим уравнениям движения, содержащим напряженности полей, он ни в коей мере их не обесценивает (напомним пример негамильтоновой диссипативной динамики). Поэтому описание воздействия ММ на классическую среду трудностей не вызывает. Более того, для таких сред нет нужды в дополнительной информации о функциях отклика, которые даются соотношениями (7") (см. [2]). [c.235]

В динамике космического полета иногда рассматриваются вариационные задачи, использующие лишь классические уравнения движения, в которых не участвуют управляющие функции. Для решения задач такого рода могут найти применение вариационные задачи Лагранжа, Майера, изопериметрическая задача, задача Больца. [c.698]

Квантование уравгений движения. Пусть нам известны классические уравнения движения рассматриваемой системы. Например, классическая динамика одномерного линейного осциллятора определяется вторым законом Ньютона [c.44]

Итак, чтобы перейти от классической теории к квантовой, в представлении Гейзенберга надо просто рассматривать динамические переменные системы д, р, /,.. . в классических уравнениях движения случайными и некоммутирующими величинами, а сами уравнения — стохастическими. Решение этих уравнений определяет некоторое преобразование случайной переменной / ( о) - / (0> в котором время играет роль параметра преобразования. Отличие от классической теории случайных процессов проявляется лишь в использовании некоммутативной алгебры и в процедуре усреднения (15), которая производится с помощью комплексной функции ф ( о). [c.48]

Если, далее, пренебречь поглощением, то макрополе можно нроквантовать согласно общим правилам перехода от классических уравнений движения к квантовым ( 2.1). Мы сперва рассмотрим общий случай поглощающей однородной среды и определим функцию Грина уравнений Максвелла в г и А (о-представ-лениях. Последняя понадобится нам для описания рассеяния света на поляритонах и позволит ввести понятия нормальных волн, ортов поляризации и закона дисперсии. [c.102]

Все силы, действующие внутри атомов и молекул, имеют электрическую природу. Такими силами определяется и внутренняя структура этих частиц. Однако объяснить этими силами существование и структуру атомов и молекул на основе классических представлений оказалось невозможным. Это было сделано только в рамках квантовой физики. Никаких квазиупругих сил и сил трения, пропорциональных скорости заряженных частиц, в атомах и молекулах нет. Правильная -теория дисперсии должна принимать во внимание только реально существуюи ие силы и основываться на квантовых законах. Такую теорию дает квантовая механика. Од-, нако она приводит к поразительному результату, что в отношении дисперсии и поглои ения света атомы и молекулы ведут себя так, как если бы среда представляла собой набор осцилляторов с различными собственными частотами и коэффициентами затухания, подчиняющихся классическим уравнениям движения Ньютона. [c.519]

Как следует из материала гл. 1, нас будет интересовать в основном стационарный отклик на возмущение периодическими электромагнитными полями. Однако все рассматриваемые нами системы подвержены неизбежным стохастическим возмущениям. Затухание, которое было введено в классические уравнения движения феноменологическим образом, обусловлено усредненным действием этих возмущений. Физическое происхождение этих случайных возмущений различно. Тепловое движение в жидкостях, колебания )ешетки в кристаллах, спонтанное излучение, безызлучательный распад при спонтанной эмиссии фононов, столкновения с электронами проводимости, ионные или молекулярные столкновения в газе — все эти процессы могут быть причиной возмущений. При полуклассическом подходе случайное возмущение Ж 1) —оператор, действующий только на рассматриваемую материальную систему. Изменения электромагнитных полей, колебания, движение частиц описываются классически стохастическим образом. Среднее значение Х[(1) > = О, т. е. все матричные элементы [c.61]

Изложим теперь кратко классический расчет и применим его для исследования генерации третьей гармоники ангармоническим осциллятором. Квантовомеханический расчет в явном виде не производился, но результаты его были бы почти наверняка идентичны с теми, которые приведены ниже. Рассмотрим ангармонический осциллятор, совершающий колебания в направлении х, описываемый лг-составляющей выражения (2.24). Запишем классические уравнения движения этого осциллятора в вынуждающем поле ix os( oii + ф]). Предположим, что решение для х можно представить в виде [c.280]

Решение. Поясним вкратце физический смысл ЯМР. Пусть ядра молекул имеют нескомпенсированный магнитный момент fi, связанный с механическим моментом количества движения р соотношением fi = 7Р, где 7 — гиромагнитное отношение д, умноженное на ядерный магнетон Бора eh/(2mp ) = 5,05 10 эрг/Э. Если такой момент поместить в постоянное магнитное поле Но, то классическое уравнение движения его под действием момента сил /4 X Но будет иметь вид [c.386]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...