Дифференциальное уравнение движения в напряжениях

Уравнения (III.22), (III.23) и (III.25), выражающие закон сохранения импульса, называются дифференциальными уравнениями движения в напряжениях. [c.68]

Задача 4.12. Запишите дифференциальные уравнения движения в напряжениях в проекциях на оси и 2 и опишите физический смысл их. Установите, сколько неизвестных напряжений содержат три уравнения типа (4.34). [c.75]

Определение безразмерных характеристик аэродинамических сил. Метод расчета автоколебаний конденсаторных трубок, основанный на составлении и решении дифференциального уравнения движения, в настоящее время еще не создан. Также не решена задача теоретического расчета аэродинамических сил, вы-зывающих автоколебания трубок, и определения эпюр давления при отрывном обтекании цилиндров в нестационарных условиях. Поэтому пользуются в настоящее время методом расчета напряжений в конденсатор- [c.141]

В дальнейшем мы увидим, что уравнения движения в напряжениях (12.73), если их рассматривать совместно с реологическими уравнениями состояния как систему дифференциальных уравнений, гораздо сложнее уравнений (12.69), потому что ковариантная производная телесного тензора напряжений содержит нелинейные комбинации неизвестных переменных Yij, в то время как соответствующие компоненты ga в уравнениях для пространственного поля являются заданными функциями положения поля. Таким образом, использование телесных полей (в отличие от пространственных) приводит в общем случае к более простой форме реологических уравнений состояния, но к усложнению уравнений движения в напряжениях. Тем не менее некоторые задачи были решены целиком на основе телесного формализма, где решение в принципе всегда возможно. Уравнения движения в напряжениях в терминах телесных полей были даны Дюкером р], Грином и Зерна р [c.410]

До сих пор мы определяли силу сопротивления как главный вектор нормальных и касательных сил, распределенных по поверхности тела. Мы применяли при этом, в конечном итоге, метод дифференциальных объемов исходя из дифференциальных уравнений движения, вычисляли напряжения, а затем, суммируя происходящие от напряжений нагрузки и их моменты, определяли силу сопротивления и аэродинамический момент. [c.596]

Сущность этого метода заключается в формулировке и использовании условий, накладываемых на уравнение движения в напряжениях, с целью выделения частного рещения для расчета сплощного или разрывного течения невязкой и идеальной жидкости. Причем эти условия можно применять как для дифференциальных уравнений, так и для их интегралов. Контрольным результатом этого метода для сплощного течения идеальной жидкости должно быть известное уравнение Эйлера, а также его рещения. Новые уравнения, получаемые данным методом, нуждаются, как правило, в экспериментальной проверке. [c.45]

Способы определения компонентов тензора напряжений ао (способы разделения напряжений ). Широко применяемые в статической фотоупругости методы разделения напряжений, основанные на численном интегрировании дифференциальных уравнений равновесия, не могут быть применены в динамической задаче в связи с трудностями получения поля изоклин и определения правой части дифференциальных уравнений движения, в которую входят ускорения и(х 4), и(у, 1). [c.204]

Пользуясь формулами (6), (17), (19) и (23), можно в дифференциальных уравнениях (14), с учетом т] = О, т. е. о = —р, заменить напряжения скоростями деформаций. При этом мы получим так называемые дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости Навье — Стокса. [c.68]

Выражая в (13.1.3) напряжения через компоненты перемещения с помощью закона Гука, получаем для общего случая тела с произвольной анизотропией следующие дифференциальные уравнения движения [c.439]

Учет свойства вязкости жидкостей и газов ведет к повышению порядка дифференциальных уравнений движения и в связи с этим появляются добавочные краевые условия на границах объема движуш ейся среды. Типичными примерами таких условий являются условие полного прилипания жидкости или газа к подвижным телам или неподвижным граничным стенкам и условие непрерывности трех компонент вектора силы напряжения на поверхностях контакта двух сред. [c.253]

Для моделирования механических систем в настоящее время применяют несколько систем аналогий (электромеханическую, электроакустическую, электрогидравлическую, электропневмати-ч скую, электротепловую и др.), из которых для моделирования механических систем наибольшее применение получили электромеханические. Для пояснения сущности установления электромеханической аналогии рас-смотрим дифференциальные уравнения движения материальной частицы механической системы под действием силы F при изменении напряжения и в катушке с индуктивностью L в зависимости от протекающего в ней тока t [c.435]

На рис. 104, а показана схема моделирования дифференциальных уравнений движения машинного агрегата, схематизированного в виде двухмассовой системы с двигателем. Для воспроизведения характеристики соединения с зазором используется блок зона нечувствительности согласно рис, 104, а, который настраивается в зависимости от величины зазора. Зона нечувствительности располагается в рассматриваемом случае в области отрицательных напряжений. Блок, составленный из решающих усилителей 7—9, осуществляет дифференцирование обобщенной координаты. [c.359]

В [2-4] для вывода критериев подобия движения пароводяной смеси без теплоподвода использованы дифференциальные уравнения движения и неразрывности и условие равенства нормальных напряжений на границе разделения фаз. Неустановившееся движение смеси пара и БОДЫ мол<ет быть описано системой критериев Эйлера, Рейнольдса, Фруда, гомохронности и Вебера [c.57]

Рассмотрим получение вариационно-матричным способом канонической системы дифференциальных уравнений для решения задач устойчивости н колебаний. При получении разрешающих уравнений будем считать, что в исходном невозмущенном состоянии оболочка напряжена, но не деформирована. Исходное напряженное состояние определяется решением- задачи статики в линейной постановке. При составлении уравнений движения в окрестности исходного состояния будем учитывать начальное напряженное состояние. В деформационных соотношениях кроме линейных составляющих будем учитывать нелинейные слагаемые, связанные с дополнительными углами поворота нормалей. При решении задач рассмотрим только осесимметричное начальное напряженное состояние. Будем считать, что действующие на конструкцию внешние нагрузки при движении системы не изменяются ни по величине, ни по направлению. В целом систему, включая внешние нагрузки и условия связи, будем считать консервативной. Исследование движения системы относительно начального состояния проведем без учета демпфирующих свойств. [c.156]

Применительно к механике сплошной среды, которая строится на основе ньютоновской механики, законы сохранения приводят к существенным результатам. Из закона сохранения массы следует уравнение неразрывности, т. е. необходимое условие существования движущейся и деформирующейся среды именно как сплошной. Из закона сохранения импульса следуют дифференциальные уравнения движения сплошной среды, которые являются основой расчета ее движения и деформации. Из закона сохранения момента импульса следует симметрия тензора напряжения, что существенно упрощает динамические уравнения сплошной среды. Закон сохранения энергии лежит в основе экстремальных принципов сплошной среды и энергетических методов расчета напряженно-дефор-мированного состояния. [c.134]

Напряжения, скорости и плотность по обе стороны поверхности разрыва связаны между собой условиями, которые должны удовлетворять основным уравнениям механики сплошной среды и уравнениям состояния выбранной реологической модели. Основные уравнения механики сплошной среды лучше использовать в интегральном виде, так как для разрывных процессов интегральная формулировка физических законов по сравнению с дифференциальной обладает большей общностью. Для непрерывных же процессов интегральная и дифференциальная формулировки полностью эквивалентны [например, закон сохранения массы в интегральной форме (V.8) и дифференциальное уравнение неразрывности (V.10), закон сохранения импульса в интегральной форме (V.14) и дифференциальные уравнения движения (V.18)l. Используя закон сохранения массы (V.8) и закон сохранения импульса [c.247]

Они позволяют точно или приближенно рассчитывать напряженно-деформированное состояние и деформирующие силы, минуя, как и в методе линий скольжения и характеристик, интегрирование дифференциальных уравнений движения и равновесия в частных производных. Это достигается использованием экстремальных и вариационных принципов, которые основываются на законе сохранения энергии. Вариационные методы позволяют решать наиболее сложные задачи в общей их постановке с минимальным числом упрощений и допущений. Эти методы в настоящее время интенсивно развиваются и совершенствуются. Их успех обусловлен также широким внедрением в науку и производство современных быстродействующих электронных вычислительных машин. [c.294]

Для анализа условий моделирования свободных колебаний изгибаемых стержней из композиционных материалов с учетом поперечной сдвиговой жесткости и инерции вращения воспользуемся дифференциальными уравнениями движения балки Тимошенко [80]. В предположении постоянства касательных напряжений по высоте и для прямоугольного поперечного сечения балки указанные уравнения имеют ви д [c.176]

Основные дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости получаются путем упрощения общих уравнений движения, выведенных в гл. II. Уравнение неразрывности, как не заключающее напряжений, сохранит ту же форму, что и в общем случае неидеальной жидкости. Уравнение в напряжениях (31) упростится и приведется к виду [c.89]

Стягивая объемы интегрирования в разные точки тела в предположении непрерывного изменения усилий внутри тела, получим уравнения количеств движения в напряжениях в дифференциальной форме [c.25]

Поскольку при выводе основного дифференциального уравнения движения влиянием касательных напряжений на перемещения пренебрегают, то соответствующее выражение для потенциальной энергии деформации будет содержать только члены, зависящие от изгибающих и крутящих моментов, Поэтому не требуется удовлетворять граничному условию для перерезывающей силы в граничной узловой подобласти до минимизации общей потенциальной энергии деформации. Следовательно, для показанной на рис. 2( ) узловой подобласти, расположенной на свободном крае, с учетом граничных условий для изгибающего момента потенциальная энергия деформации от действия изгибающих моментов может быть выражена в следующем виде [c.120]

Для определения напряженно-деформированного состояния многослойного тела имеем уравнения движения в перемещениях (1.39/. Подставляя выражения коэффициентов Ляме, температурных коэффициентов линейного расширения и плотности, представленных в виде (2.2), в уравнения движения (1.39) и производя преобразования, аналогичные примененным при получении уравнения теплопроводности, приходим к следующей системе трех частично вырожденных дифференциальных уравнений с коэффициентами типа ступенчатых функций для определения компонент вектора перемещения [c.55]

В п. 2.2 получены кинематические зависимости, которые связывают относительную деформацию и вращение с первой производной от вектора смещения. Здесь введем, с одной стороны, уравнения связи для упругого тела, с помощью которых устанавливается зависимость между тензором относительных деформаций и тензором напряжений, и, с другой стороны, дифференциальные уравнения движения или равновесия, которые связывают градиент тензора напряжений с ускорением элемента таким образом, в последнем (имеется в виду ускорение) фактически неявно присутствует вторая производная от смещения. Однако прежде всего обратимся к вопросам кинематики и подсчитаем изменение кривизны поверхности предмета, при этом [c.154]

Все эти экспериментальные исследования, несомненно, послужили мощным толчком к тому, чтобы предпринимать попытки к теоретическим исследованиям по вопросу о составлении дифференциальных уравнений движения жидкости с учётом не только давления", но и внутреннего трения. К этому времени стали открываться возможности для теоретических исследований такого рода в связи с развитием механика упруго деформируемого тела. Накопление исследований и решений конкретных задач по теории изгиба брусьев, по теории кручения стержней и по теории колебаний стержней и пластинок на основе использования закона Гука о пропорциональности напряжений деформациям создало все предпосылки не только к тому, чтобы установить общие уравнения равновесия и колебаний упругих тел, но и к тому, чтобы закон Гука в несколько изменённой форме распространить на жидкость и на основе этого создать дифференциальные уравнения движения жидкости с учётом внутреннего трения. Этим обстоятельством и объясняется тот факт, что создатели математической теории упругости—Навье, Пуассон, Коши, Сен-Венан и Стокс оказались одновременно и создателями математической теории движения вязкой жидкости. [c.14]

Используя эти соотношения для напряжений, Пуассон, далее, получает дифференциальные уравнения движения жидкости, по внешней форме совпадающие с уравнениями Навье. Различие состоит только в том, чта давление заменено в уравнениях Пуассона через некоторую функцию, содержащую, кроме давления, производные по времени от давления и плотности. Чтобы замкнуть систему уравнений, Пуассон присоединяет к ней уравнение неразрывности в общей форме с учётом изменения плотности и уравнение физического состояния, связывающего плотность, давление и температуру, К этим уравнениям присоединяется уравнение теплопроводности в своей простейшей форме, т. е. без учёта конвекции. Таким образом, в мемуаре Пуассона впервые были введены соотношения, выражающие линейную зависимость тензора дополнительных напряжений жидкости при её движении от тензора скоростей деформаций частицы, и установлены дифференциальные уравнения движения вязкой сжимаемой жидкости. [c.18]

Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости получили своё окончательное обоснование и признание только после работы Стокса ), в которой движение частицы раскладывается на поступательное, вращательное, равномерное расширение или сжатие и движение, обусловленное деформациями сдвига. Дополнительные к давлению напряжения ставятся в зависимость только от движений, обусловленных деформациями частицы. Затем используются положения о главных осях напряжений и деформаций и в качестве наиболее вероятной принимается гипотеза о пропорциональности дополнительных [c.20]

Дифференциальные уравнения движения среды в напряжениях [c.78]

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ СРЕДЫ В НАПРЯЖЕНИЯХ 79 [c.79]

Подставляя в уравнение (3.1) выражения (3.2), (3.4) и (3.6) и собирая коэффициенты слева и справа при одинаковых единичных векторах, получим следующие дифференциальные уравнения движения сплошной среды в цилиндрических координатах в компонентах.напряжений [c.81]

В 3 были установлены дифференциальные уравнения движения жидкости в напряжениях. Чтобы написать эти уравнения через проекции вектора скорости, необходимо воспользоваться соотношениями, представляющими компоненты тензора напряжения через компоненты тензора скоростей деформации. Такое преобразование мы проведём лишь для случая вязкой жидкости, для которой принимается обобщённая гипотеза Ньютона, связывающая компоненты напряжения с компонентами скоростей деформаций линейными соотношениями (11.1) и (11.16) главы I. [c.90]

Выполним аналогичные преобразования для проекций сил на направления осей ОУ и 01, получим систему дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости в напряжениях [c.91]

Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости в напряжениях. Выделим в потоке вязкой жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx. dy и dz. На параллелепипед действуют объемные и поверхностные силы. В общем случае поверхностные силы имеют не только нормальные, но и касательные составляющие. На рис. 15 показаны нормальные и касательные напряжения, действующие на гранях выделенного параллелепипеда. Индексация напряжений записывается по следующему принципу первый [c.44]

Рис. 15. К выводу дифференциальных уравнений движения жидкости в напряжениях

Дифференциальные уравнения движения вязкой жидкости. Напряжения поверхностных сил, действующих на гранях выделенного параллелепипеда, связаны со скоростями его деформации. Вследствие того, что составляющие скорости неодинаковы, в угловых точках параллелепипеда происходит скашивание ребер (рис. 16). Угловые деформации для рассматриваемой грани для [c.45]

Движение элемента среды в виде бесконечно малого параллелепипеда, грани которого параллельны координатным плоскостям, определяется приложенными к нему силами. К их числу относятся напряжения—компоненты тензора (1.1), а также массовые силы с компонентами X, У, и инерционные силы от ускорений гюх, хЮу, Подсчитав эти силы и приравняв нулю суммы их проекций на координатные оси, получим дифференциальные уравнения движения сплошной среды [c.11]

В работах С. Н. Попова [50-53], В. Д. Кубенко и С. Н. Попова [43] задача сведена к бесконечной системе интегральных уравнений Вольтерра. Найдена реакция среды и напряжение в лобовой точке. В первой статье дополнительно учитывается интегро-дифференциальное уравнение движения ударника. [c.380]

Уравнение (123) называется дифференциальным уравнением движения вязкой жидкости в напряжениях. Если уравнение (123) спроектировать на оси координат, то при заданной плотности р три полученных дифференциальных уравнения будут связывать двенадцать неизвестных величин , у, ш и девять компонентов матрицы (5). [c.319]

Мы считали, что объемные силы отсутствуют. Возможно, будет поучительным заметить, что варьированное распределение смещений (или скоростей), которое мы только что рассматривали в равенствах (а), (б) и (в), представляет собой фактически точное решение задачи для упругого (или вязкого) материала, удовлетворяющее системе дифференциальных уравнений, записанных в величинах и, V, ш, и относится соответственно к теории упругости или теории вязкого тела (см. уравнения (25.5) и (26.8) т. 1, стр. 442 и 450 в. последнем случае). Кроме того, возможные распределения, которые отклоняются от строго равновесного, также представляют собой такие точные распределения. (Уравнение (а) выражает фактически скорости течения в слое вязкой среды, движущейся между двумя жесткими параллельными пластинками, когда одна из них перемещается относительно другой со скоростью щ и одновременно под действием градиента давления происходит ламинарное движение жидкости вперед, вдоль оси х на рис. 3.2). В случае, описываемом уравнением (а), легко установить, что корректные значения напряжений, отвечающие использованным варьированным состояниям упругой (вязкой) среды, даются более сложным распределением напряжений, которое, помимо измененных значений Хху, включает также нормальные напряжения а и (Ту. Это приводит, таким образом, к увеличению энергии в измененной системе, характеризуемой величинами и, о, ш. Отсюда следует правдоподобный вывод, что при добавлении новых ограничений энергия варьированных состояний увеличивается. [c.159]

Приравнивая сумму проекций объемных и поверхностных сил проекции силы инерции и сокращая на массу элемента рйхйуйг, получаем дифференциальное уравнение движения в напряжениях в проекции на ось Ох [c.45]

Рассмотренные примеры частных задач для твердого тела показывают два возможных пути их решения с помошью дифференциальных уравнений движения в напряжениях или в перемешениях. Однако, какой бы путь не использовался, решение задачи является полным, т. е. в результате решения можно найти все параметры поля напряжений и поля перемешений. [c.28]

Соотношения (12.1) и (12.2) по своему формальному виду совпадают с соотношениями для упругой среды, подчиняющейся обобщённому закону Гука, с той лишь разницей, что вместо самих деформаций для упругой среды в рассматриваемом с.тучае входят скорости деформаций. На этом основании гипотетическую среду, для которой принимаются соотношения (12.1), можно именовать чисто вязкой средой. В чисто вязкой среде напряжения возникают лишь тогда, когда возникают скорости деформаций частиц. Дифференциальные уравнения движения такой среды впервые были предложены ещё Коши в 1828 г., а затем в 1877 г. Бочером ). в качестве примера такой чисто вязкой среды Бочер привёл канадский бальзам. [c.67]

Что касается других сред, рассмотренных в 12 главы I, то дифференциальные уравнения движения таких сред можно выразить через составляющие вектора скорости лишь в тех случаях, когда соотношения, связывающие напряжённое состояние с состоянием деформаций, могут быть разрешены относительно всех компонент напряжений. Во всех других случаях необходимо соотношения связи напряжени " е деформациями рассматривать совместно с дифференциальными уравнениями движения среды в напряжениях. [c.93]

Во многих вопросах аэродинамики, вообще, не встречается надобности в интегрировании дифференциальных уравнений движения жидкости. К числу этих вопросов относятся, например, вопросы о сопротивлении тела движению, о его подъемной силе, аэродинамическом моменте и т. д. Здесь требуется определить лишь суммарное силовое взаимодействие между средой и телом, а распределение давлений или касательных напряжений по поверхности тела остается, по сути дела, безразличным. Конечно, зная распределение нормальных или касательных напряжений, всегда можно суммированием найти и результирующие аэродинамические силы или моменты. Но для того чтобы найти распределение нормальных или касательных напряжений, нужно обычно решать сложные дифференциальные уравнения, что, как уже указывалось, далеко не всегда практически осуществимо. Поэтому очень часто приходится в аэродинамике прибегать к другому способу, который дает не столь 11счерпывающие сведения о движении жидкости, как первый, но позволяет сравнительно просто решать многие практические задачи, в частности, связанные с определением аэродинамических сил и моментов. Этот второй способ можно назвать, в противоположность первому, способом конечных объемов. Он заключается в том, что в жидкости мысленно выделяют некоторый конечный объем (т. е. такой объем, внутри которого нельзя пренебрегать изменением скорости пли плотности) и ко всей массе жидкости, зак.лю-ченной в этом объеме, применяют теоремы механики, относящиеся к системе материа.пьных точек (например, теорему изменения коли- [c.268]

Как известно, движение идеальной жидкости характеризуется отсутствием в ней сил внутреннего трения, вызывающих появление касательных напряжений. Поэтому силы гидродинамического давления в потоке подобной жидкости, как и в случае покоя, имеют только нормальную составляющую. Это позволяет при выводе дифференциальных уравнений движения воспользоваться полученными ранее (см. 7) дифференциальными уравнениями гидростатики (2.5) — 2.5") Х— 1/р) др1 /с1х)=0-, У- Цр)(др1ду)=0-, 2- 1/р)(др/дг)=0. [c.90]

В АТР1 исходные данные и значения переменных величин выражаются напряжением электрического тока. При решении дифференциального уравнения движения поезда используются усилители постоянного тока, выходные напряжения у которых не должны превышать величины 100 в, соответствующей пределу линейности усилителя. С учетом сказанного приняты следующие масштабы для скорости (k ), пути к,), времени (к ) и сил (к, , к , ki , к )-, [c.271]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...