Уравнения для статистических моментов поля

В данной главе дается краткое описание методов, получивших наиболее широкое применение в задачах распространения оптического излучения в турбулентной атмосфере. Рассматриваются вопросы теории распространения волн на трассах с отражением в случайно-неоднородных средах. Излагаются способы построения асимптотических решений уравнений для статистических моментов поля в характерных по турбулентным условиям случаях слабых и сильных флуктуаций интенсивности. Здесь же приведены сведения о моделях лазерных источников и отражающих поверхностей, применяющихся при анализе влияния турбулентности атмосферы на оптическое излучение. [c.18]

Уравнения для статистических моментов поля [c.24]

Вывод уравнений для моментов поля на основе параболического уравнения (2.24) осуществлялся разными способами. Для этого использовались локальный метод малых возмущений [65, 66, 69, 78, 79], метод селективного суммирования [20, 25, 26, 70, 80, 89, 91], марковское приближение [35, 36, 53, 61, 62, 83]. В сконцентрированном виде описание этих методов содержится в [52]. Все они приводят к одному и тому же результату, и уравнения для статистических моментов поля имеют вид [5, 53 [c.24]

Корреляционная модель неполного статистического описания переноса скалярной субстанции при неоднородной турбулентности сформулирована (Л. 1-33] в виде системы конечного числа зацепляющихся уравнений для первого момента поля скалярной субстанции и смешанных моментов более высокого порядка [c.71]

Изложенные выше методы решения волнового уравнения применимы при условии малости флуктуаций амплитуды поля. Попытки распространить эти методы на случай сильных флуктуаций, когда ограничения на относительную дисперсию интенсивности волны отсутствуют, были безуспешными. Прогресс в этом направлении был достигнут с помощью методов, основанных на получении уравнений для статистических моментов комплексной амплитуды поля и х, р) [c.24]

Расчеты характеристик флуктуаций интенсивности света, распространяющегося в турбулентной атмосфере, основываются главным образом на использовании уравнения для четвертого момента поля (2.40). Аналитическое решение этого уравнения не найдено, в связи с чем статистический анализ интенсивности проводился в целом ряде работ либо на основе численного решения уравне- [c.84]

Таким образом, рассматриваемая теория турбулентности хотя и оперирует со статистическими характеристиками, по своей сути является полуэмпирической, причем включающей большее по сравнению с теорией Прандтля—Буссинеска число эмпирических констант. Однако, несмотря на сравнительную сложность и необходимость привлечения обширных опытных данных по статистическим характеристикам, она лишена весьма принципиальных недостатков теории пути смешения, перечисленных выше. Что же касается эмпирических коэффициентов, то при современном уровне развития аэродинамического эксперимента их. определение не составляет большого труда. При этом их достоинством является универсальность для различных пристенных течений. Наконец, следует отметить, что рассматриваемую теорию не следует противопоставлять феноменологической теории Прандтля. Можно легко показать, в частности, что из уравнений для вторых моментов получается выражение для касательных рейнольдсовых напряжений с точностью до константы, совпадающее с соотношением Прандтля (1-8-41). Для этого достаточно в уравнениях (1-8-61) для стационарного полностью развитого течения типа пограничного слоя отбросить диффузионные члены и поло- [c.67]

В работах [6, 44, 47, 48] исходная трехмерная краевая задача распространения сводится либо методом инвариантного погружения [6, 36], либо путем построения решения волнового уравнения в виде ряда по кратности обратного рассеяния [44, 47, 48] к решению уравнений, уже удовлетворяющих условиям динамической причинности. Такая формулировка задачи, с одной стороны, позволяет получить [48, 55] уточненные решения уравнений для низших статистических моментов поля прямой волны, свободные от ограничений френелевского (2.27) и малоуглового (2.48), [c.39]

В однородной и изотропной турбулентности структура статистических моментов гидродинамических полей и вид уравнений Фридмана—Келлера оказываются наиболее простыми. Правда, и в этом простейшем случае проблема замыкания уравнений Фридмана—Келлера остается в силе. Однако соответствующие уравнения более доступны для математического анализа, и с их помощью получен ряд результатов, разъясняющих закономерности турбулентных течений. [c.16]

В этой теории описание процессов переноса производится через статистические характеристики — моменты случайных полей. Для замыкания уравнений, описывающих распределение этих характеристик в пространстве и времени, используются статистические гипотезы и дополнительные дифференциальные уравнения уравнения для тензора микромасштабов турбулентности и для [c.82]

Обычно в квантовой электродинамике используется описание поля с помощью операторов рождения и уничтожения фотонов а , 0]с, независящих от времени (шредингеровское представление). При этом конечным результатом квантовой теории рассеяния, который сравнивается с экспериментом, является вероятность перехода в единицу времени или сечение рассеяния. В 6.1 будет использован этот традиционный для квантовой механики путь, на основании которого в 6.2 и 6.3 будут рассчитаны основные энергетические характеристики ПР. Рассмотрение общих статистических свойств рассеянного поля будет проведено в 6.4 с помощью уравнений Гейзенберга для (t) и эффективно трехфотонного гамильтониана. В результате моменты поля рассеяния будут определены через квадратичную матрицу рассеяния (МР) в духе обобщенного закона Кирхгофа (ОЗК). [c.175]

Возвращаясь теперь к историческому изложению основных этапов развития теории турбулентности, упомянем прежде всего интересную работу Джеффри Тэйлора (1921) о турбулентной диффузии, в которой впервые выявилась важная роль корреляционных функций (т. е. смешанных вторых моментов) поля скорости (правда, не для обычной эйлеровой скорости течения в фиксированной точке, а для более сложной лагранжевой скорости фиксированной жидкой частицы). Однако в общем виде идея о том, что корреляционные функции и другие статистические моменты гидродинамических полей должны быть признаны основными характеристиками турбулентного движения, была впервые высказана Л. В. Келлером и А. А. Фридманом (1924), предложившими общий метод построения (с помощью уравнений движения реальной жидкости) дифференциальных уравнений для моментов произвольного порядка гидродинамических полей турбулентных течений. Определение всех таких моментов при некоторых общих предположениях эквивалентно определению соответствующего распределения вероятности в функциональном пространстве P(d o) или Pt d(u), т. е. решению, проблемы турбулентности. Поэтому полная бесконечная система уравнений Фридмана — Келлера [c.17]

В силу очень большой важности этого уравнения для дальнейшего содержания настоящего параграфа целесообразно прежде всего рассмотреть некоторые дополнительные соображения, относящиеся к выводу этого уравнения и позволяющие лучше понять область его приложимости. Начнем с простейшего случая диффузии в поле стационарной однородной турбулентности, все статистические характеристики которой не меняются при изменении начала отсчета времени или сдвига начала системы пространственных координат. В этом случае тензор вторых моментов смещений жидкой частицы за время т (т. е. величин [c.530]

В случае диффузии в поле изотропной турбулентности для приближенного вычисления значений >у(т) и других статистических характеристик облака частиц, испущенных мгновенным точечным источником в точке X в момент д, могут быть применены методы замыкания уравнений для моментов, рассматривавшиеся в 19. В самом деле, поле концентрации (А, ) (как и в гл. 5, мы будем теперь обозначать текущие координаты большими буквами, а маленькие буквы сохраним для обозначения начальных координат частицы) удовлетворяет обычному уравнению диффузии [c.469]

Оба указанных приема позволяют получить (после исключения поля давления) бесконечную систему уравнений типа снстемы Фридмана — Келлера для всевозможных моментов и смешанных моментов полей и (X, ), (X. t) и 2 (X, /) (или я (X, t) и (X, t)), содержащую в качестве неизвестных интересующие нас статистические характеристики относительного движения пары жидких частиц. Иначе говоря, этн приемы дают аналитическую формулировку проблемы относительной диффузии, родственную формулировке проблемы турбулентности. После этого теоретическое определение характеристик относительной диффузии упирается в обычные трудности проблемы замыкания уравнений для моментов, о которых уже много говорилось в этой книге. [c.503]

Кристалл, в смысле его поведения в электромагнитном поле, во многом аналогичен уже упомянутой модели диэлектрических щариков. Под действием длинноволнового электрического поля Е (длина волны а, где а — размер щариков) в такой среде , как это сразу ясно, возникает не только длинноволновая индукция О, но и коротковолновая поляризация (и индукция), порождающая коротковолновое электрическое поле. Но коротковолновое поле Е в неоднородной среде в свою очередь может вызывать длинноволновую поляризацию (именно это и отражено в (4.4) и (4.16) ). Поэтому уравнения поля в общем случае как раз и не распадаются на уравнения для отдельных фурье-компонент. Если составляющие среду шарики (атомы) распределены в среднем (в среднем по ансамблю или в среднем за длительное время) равномерным в пространстве образом, то при рассмотрении средних величин коротковолновые составляющие исчезают. Это и отвечает однородной в пространстве среде, причем однородность понимается в статистическом смысле. Данная однородная в среднем среда в определенный момент времени всегда, конечно, пространственно неоднородна, но соответствующие отклонения от среднего считаются флуктуациями. При учете флуктуаций длинноволновое поле порождает коротковолновое поле и в однородной (в среднем) среде. [c.134]

Полуэмпирические теории 20-х и 30-х годов рассматривали только простейшие статистические характеристики турбулентных течений. Как правило, принимаемые в этих теориях гипотезы позволяли замкнуть уже самые первые уравнения системы Фридмана—Келлера, содержащие только одноточечные первые и вторые моменты гидродинамических полей — так называемые уравнения Рейнольдса. Заметную роль в полуэмпирических теориях играло использование свойств симметрии турбулентности в течениях того или иного вида и некоторых простейших гипотез подобия (в частности, в полуэмпирических теориях турбулентных струй и следов за обтекаемыми телами). Так, например, одним из важнейших выводов полуэмпирических теорий явилось установление универсального (т. е. справедливого при всех не слишком малых числах Рейнольдса) логарифмического закона для профиля осред-ненной скорости в трубах, каналах и пограничных слоях на плоской пластинке. Этот закон можно вывести из одной только естественной гипотезы подобия, касающейся распределений вероятностей гидродинамических полей турбулентности в полупространстве, или из соображений размерности, опирающихся на простейшие предположения о физических величинах, определяющих в этом случае турбулентный режим. [c.15]

Для динамической задачи (3.1), (3.2) не выполняется условие причинности, сформулированное в третьей главе, т. е. решение этой задачи х 1) в момент времени I функционально зависит от случайных сил Р (т, х (т)) для всех О т Г. Более того, даже краевые значения х (0) и х (Г) являются функционалами поля Р (т, х). Поэтому методы анализа статистических характеристик решения уравнений (3.1), развитые в третьей и четвертой главах, к данной задаче не применимы. [c.166]

ПОЛЯ в момент t, и найдя вероятность этой совокупности начальных условий. Таким образом, в турбулентном потоке уравнения гидродинамики будут однозначно определять эволюцию во времени распределения вероятности гидродинамических полей. Это значит, что более или менее произвольно (с соблюдением лишь некоторых условий регулярности ) здесь можно выбирать только распределения вероятности в один фиксированный момент времени после этого все остальные распределения вероятности, относящиеся к значениям гидродинамических полей во всевозможных точках пространства — времени, будут уже однозначно определяться из уравнений движения. Поэтому основную задачу теории турбулентности (например, для случая несжимаемой жидкости) можно сформулировать следующим образом по заданному распределению вероятности значений трех компонент скорости в различных точках пространства в момент t — to, сосредоточенному на совокупности дважды дифференцируемых соленоидальных векторных полей, требуется определить распределения вероятности значений полей скорости и давления во все последующие моменты времени (включая и распределения для значений в несколько различных моментов времени). В случае сжимаемой жидкости надо только вместо распределений вероятности трех компонент скорости исходить из распределений вероятности значений пяти независимых гидродинамических величин. К сожалению, эта общая задача слишком трудна, И в настоящее время еще не видно подхода к ее полному решению. Поэтому дальнейшее обсуждение этой задачи мы отложим до заключительной главы второй части нашей книги в остальных же главах мы будем заниматься лишь более частными задачами, в которых вместо распределений вероятности фигурируют некоторые менее полные статистические характеристики случайных полей. [c.175]

Используя свойство (2.1), легко получить уравнения для статистических моментов поля и (х, р). Покажем это на примере <и>. Для этого воспользуемся уравнепиелг (1.4). Усредняя его, учтем, что во втором слагаемом в правой части величина е (т"), р) в экспоненте берется всегда при значениях 1 ) > т. е. статистически независима от второго сомножителя и I, р). Поэтому при усреднении (1.4) эти множители можно усреднять независимо [c.259]

Структура развитого турбулентного потока весьма сложна, и траектории его жидких частичек чрезвычайно запутаны если движение частиц турбулентного потока и удовлетворяет уравнению Навье -Стокса или Эйлера, то для описания этих движений потребовались бы, очевидно, интегралы уравнений, настолько сложные, что отыскание их было бы по безнадёжности равносильно отысканию траекторий каждой отдельной молекулы, движущейся среди других молекул ) Сказанное здесь заставляет, на первых порах, отказаться от возможности получить точную математическую картину того, что происходит в каждый момент времени и в каждой точке пространства в турбулентном движении. Вместо этого приходится обратиться к суммарно статистическому описанию явления. Нужно построить сглаженную картину того, что происходит в турбулентном процессе,— построить уравнения для сглаженного, осреднённого поля скоростей, для средних давлений, для средних траекторий. [c.687]

Окончательная система уравнений неоднородной турбулентности содержит дифференциальные уравнения для следующих характеристик первых, вторых и третьих центральных моментов поля скорости (pi uiuj, uiujuh), вторых и третьих смешанных моментов скорости и давления (щр, щщр), тензора второго ранга микромасштабов турбулентности /у. Эта система замкнута с точностью до двух однородных статистических коэффициентов, которые при изотропии переходят в известные статистические коэ ициенты. [c.71]

Идея о том, что теоретико-вероятностные моменты гидродинамических полей (1.1) должны быть признаны основными характеристиками турбулентного движения, т. е. фактически формулировка проблемы турбулент-вости в терминах моментов, была высказана впервые советскими учеными А. А. Фридманом и Л. В. Келлером. В их совместном докладе на Первом междунардном конгрессе по прикладной механике в Делфте (Л. В. Келлер и А. А. Фридман, 1924 см. также более подробное изложение в статье Л. В. Келлера, 1925) была предложена обширная программа объединения статистических и динамических методов исследования турбулентных течений, опирающегося на рассмотрение динамических эволюцяошных) уравнений для моментов (1.1). Эти динамические уравнения получаются, если составить производную по времени от момента (1.1) и подставить в нее выражения для производных по времени от отдельных гидродинамических величин, вытекающие из уравнений гидромеханики. Фридман и Келлер ограничились лишь уравнениями для вторых двухточечных моментов В и (Mi, М2), но при этом они рассмотрели сразу общий случай сжимаемой жидкости. В частном же случае вязкой несжимаемой жидкости динамические уравнения для и-точечного момента п-го порядка поля скорости ( 1 -7 М ) = Б . . . (Xi, 1,. . Хп, i ) (где теперь уже индексы /й пробегают лишь три значения 1,2 и 3, отвечающих трем компонентам скорости) при различных точках х , Хп ш различных моментах времени 1,. . ., имеют вид [c.464]

Промежуточный между заданием всех моментов (1.1) и заданием характеристического функционала (1.6) способ формулировки проблемы турбулентности, т. е. полного статистического описания случайного поля скорости и М), заключается в задании всех конечномерных распределений вероятностей для значений = и (М ) этого поля на всевозможных конечных,наборах точек М ,. . ., Мп- Такие распределения уже можно характеризовать соответствующими плотностями вероятности Рм1...м Ых,. . ., Пп)- В случае поля скорости и (х, ) в несжимаемой жидкости динамические уравнения для указанных плотностей вероятности, вытекающие из уравнений Навье — Стокса, имеют вид (А. С. Монин, 1967) [c.468]

В связи со сложностью турбулентных течений общего вида большую ценность для изучения многих вопросов представляет геометрически простейший пример турбулентного движения, а именно, случай так называемой однородной и изотропной турбулентности (впервые рассмотренный Дж. Тейлором в 1935 г.). Этот случай соответствует турбулентности в безграничном пространстве, у которой распределения вероятностей для значений гидродинамических полей в любой конечной группе пространственно-временных точек (a ft, д) (А = 1,. . ., п) инвариантны относительно всех ортогональных преобразований (параллельных переносов, вращений и отражений) системы пространственных координат (т. е., иначе говоря, не меняются при всех переносах, вращениях и отражениях выбранной группы точек). В силу указанных условий инвариантности структура статистических моментов (1.1) и вид уравнений Фридмана — Келлера для моментов (1.2) в случае однородной и изотропной турбулентности (которую для краткости далее мы называем просто изотропной) оказываются наиболее простыми (хотя уравнения для моментов все равно остаются незамкнутыми). Поэтому модель изотропной турбулентности наиболее удобна для отработки различных приближенных приемов замыкания уравнений турбулентного движения и изучения всевозможных следствий из той или иной точной или приближенной теории. В то же время оказывается, что идеализированная модель изотропной турбулентности является [c.480]

Изложенный формализм позволяет исследовать статистические характеристики ВПР при когерентной накачке, локализованной в пространстве и времени, с помощью готовых формул, описывающих динамику первых моментов поля в рамках классической нелинейной оптики. Так, Сухорукову и Щедновой [1551 удалось получить в явном виде (через гипергеометрическую функцию) функции Грина уравнений для ММА для плоской волны накачки с колоколообразной огибающей вида сЬ (Ихд). Их результат был использован в работе [96] для расчета средних энергетических характеристик импульса ВПР. [c.214]

Остановимся теперь на условиях применимости приближения диффузионного случайного процесса. Мо кет быть построена теория последовательных приближений, уточняющая функциональную зависимость статистических характеристик волны от поля г [53]. Рассмотренное выше приближение диффузионного случайного процесса является первым шагом в этой теории следующие приближения учитывают конечность продольного радиуса корреляции поля и приводят к системе замкнутых иптегро-дифферен-циальных уравнений для моментов (см. 6 гл. 3). [c.276]

Статистические свойства решения уравнения (1-21) такнге могут быть описаны в диффузионном приближении. Однако, в силу нелинейности самого стохастического уравнения, уравнепия для моментов функции ф х, р) оказываются незамкнутыми. Поэтому для изучения амплитудно-фазовых флуктуаций надо привлекать какую-либо дополнительную информацию. В качестве такой информации можпо использовать, папример, экспериментальные данные о нормальности одноточечного распределения вероятностей для уровня амплитуды в области сильных флуктуаций. Для случая плоской падаюш ей волны уровень амплитуды и интенсивность волны описываются уравнениями (1.22), (1-24) с условими X (О, р) -- 0. / (О, о) = 1, и решения этих уравнений будут однородными случайными полями в плоскости X = onst. [c.282]

Большую роль в создании современной теории мелкомасштабных турбулентных движений сыграла также работа Тэйлора (1935а), в которой было введено понятие об однородной й изотропной турбулентности. Такая турбулентность определяется тем условием, что для нее все конечномерные распределения вероятностей значений гидродинамических полей в конечном числе точек пространства — времени инвариантны относительно любых ортогональных преобразований (параллельных переносов, вращений и отражений) системы пространственных координат. Однородная и изотропная турбулентность является тем частным случаем турбулентных течений, для которого структура статистических моментов гидродинамических полей и вид соответствующих уравнений Фридмана — Келлера оказываются наиболее простыми. Правда, и в этом простейшем случае все принципиальные трудности, связанные с проблемой замыкания уравнений Фридмана — Келлера, остаются в силе. Однако соответствующие уравнения оказались все же гораздо более доступными для математического анализа, чем общие уравнения, отвечающие произвольной турбулентности, и с их помощью удалось получить целый ряд результатов, разъясняющих отдельные закономерности турбулентных течений. [c.22]

При построении гидродинамической теории локально изотропной турбулентности прежде всего надо преобразовать динамические уравнения для моментов основных гидродинамических полей к виду, содержащему лишь локальные характеристики. Сделать это совсем нелегко вследствие громоздкости общих уравнений для момгнтов. Поэтому на первых порах целесообразно прибегнуть к следующему эвристическому приему. Воспользуемся тем, что статистический режим мелкомасштабных компонент турбулентности при больших Re не зависит от особенностей макроструктуры потока, сказывающейся лишь на величине параметра е. Отсюда вытекает, что и динамические уравнения для характеристик локально изотропной турбулентности не могут зависеть от характера крупномасштабных турбулентных движений. Таким образом, нам достаточно вывести эти уравнения хотя бы для одного турбулентного течения с достаточно большим Ре, и, следовательно, мы вполне можем ограничиться рассмотрением лишь простейшего случая изотропной турбулентности в безграничном пространстве. Найдя для этого случая связи между локальными характеристиками и учтя, что в силу гипотез подобия Колмогорова указанные характеристики должны быть одинаковыми во всех турбулентных течениях с достаточно большими Ре и одинаковыми значениями е и V, мы сможем считать найденные зависимости универсальными, т. е. одними и теми же для любой локально изотропной турбулентности. После этого, разумеется, будет интересно попытаться вывести полученные соотношения сразу для общего случая (т. е. без предположения об изотропности турбулентности) такой более общий вывод мы рассмотрим в конце настоящего пункта. [c.363]

Если интересоваться лишь статистическими свойствами поля скорости в одив фиксированный момент времени, то при наличии поля внешних сил с характеристическим функционалом (29.49) проще использовать уравнение Хопфа не в форме (28.82), а в форме (28.95), выведенной Новиковым (1964). При этом мы должны положить (к) = Дцр к) Р (к), так что для статистически стационарного режима уравнение (28.95) примет вид [c.661]

В теории, однако, проводится усреднение по статистическому ансамблю или по статистическому распределению результатов большого числа наблюдений. Ясно, что повторение наблюдений в идентичных условиях трудно исполнимо. Выход из этого затруднения в некоторых ситуациях указывает эргодическая теорема [16], согласно которой среднее значение случайной величины по объёму (1.3) совпадает со средним по ансамблю реализаций при условии, что распределение статистически однородно, то есть все разноточечные моменты поля усредненные по вероятностной мере, не изменяются при пространственном сдвиге, и радиус корреляции Гсогп то есть характерное расстояние, на котором изменяется корреляционная функция поля u [o ,x)uJ[(o,x + r fj, конечен. При нашем определении средних (1.3), (1.4) требуется, чтобы Гсоп- был мал по сравнению с Я. Этот тонкий вопрос о совпадении средних по объему и по ансамблю исследован в [17] на примере уравнения Шрёдингера для электрона в поле примесей. [c.10]

В отличие от методов кинетических уравнений, приведенных выше, при более строгом анализе работы лазера необходимо учитывать, что под действием электромагнитного поля внутри его резонатора атомы активной среды начинают осциллировать подобно микродиполям. Эти диполи создают макроскопическую поляризацию Р, численно равную электрическому моменту единицы объема активной среды. Макроскопический дипольный момент действует как источник излучения, т. е. возбуждает собственное электромагнитное поле, приводящее к изменению электромагнитного поля в резонаторе. Таким образом, в результате взаимодействия электромагнитного поля и среды внутри резонатора устанавливается самосогласованное электромагнитное поле. Самосогласованную теорию лазеров можно строить двумя методами 1) полуклассическим — взаимодействие электромагнитного поля со средой описывается уравнениями классической электродинамики 2) квантово-механическим — взаимодействие описывается квантово-механическими уравнениями (в этих методах среда описывается уравнениями квантовой механики). Первый метод является менее строгим, например, с его помощью нельзя учесть шумы лазера, статистические свойства света и рассмотреть эффекты спонтанного излучения, определяющие условия в начале генерации лазеров. Однако в целом ряде задач этот метод является основным для качественного и количественного анализа работы лазера. [c.22]

Хотя названные предельные случаи могут служить некоторыми отправными пунктами, для достаточно точного описания эффектов необходимо анализировать излучение реального лазера. Полуклассическое описание реального лазера содержится в разд. 3.12, в котором для учета квантовой природы процессов были введены флуктуационные силы. Эта нелинейная теория, позволяющая описать выходную мощность и ширину линии, оказывается весьма плодотворной также и для описания статистических свойств. Результатом этой теории было получение уравнения (3.12-32) для определения зависящей от времени компоненты напряженности поля в резонаторе. В принципе из этого уравнения можно вывести статистические свойства напряженности поля и различные корреляционные функции. Однако при заданной форме уравнения (3.12-32) или (3.12-27) и при заданных характеристиках появляющихся флуктуационных сил оказывается более целесообразным для расчета перейти к уравнению Фоккера — Планка. В данном случае речь идет о дифференциальном уравнении в частных производных для вероятности найти в момент времени I комплексную нормированную амплитуду на пряженности поля а в определенном интервале значе ний [3.3-4,1.-6]. Путем подходящего выбора единиц для координат можно добиться того, чтобы в дифференци альное уравнение входил только безразмерный пара метр накачки р, заданный уравнением (3.12-40) В стационарном случае как важный результат полу чается распределение интенсивности / лазерного из лучения. Функция WlQ однозначно зависит от нормиро ванной интенсивности = ///о и от параметра накач ки р, где /о — средняя интенсивность у порога (р = 0) если Я < О, то 1 = 0. Следует различать три области Достаточно далеко ппжс порога р < 2) имеем в хо [c.455]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...