Приближение диффузионного случайного процесса

В ряде физических задач приходится иметь дело не с конечномерной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а с системой уравнений в частных производных (п = оо). В этом случае понятие плотности вероятностей не всегда имеет смысл и приходится рассматривать характеристический функционал для соответствующих полей. Уравнение для характеристического функционала при этом является функциональным уравнением с вариационными производными, представляет собой бесконечномерный аналог УЭФ и может быть названо приближением диффузионного случайного процесса. Исключением являются уравнения в частных производных, содержащие производные по пространственным координатам только первого порядка. Такие уравнения, как хорошо известно, эквивалентны конечномерной системе обыкновенных дифференциальных уравнений, и, следовательно, ста- [c.81]

Таким образом, условие малости параметра является необходимым, но, вообще говоря, недостаточным для возможности описывать статистические характеристики решения системы уравнений (1.1) на основе приближения диффузионного случайного процесса (УЭФ). Для каждой конкретной задачи необходимо проводить более детальные исследования. [c.82]

Отметим, что начальное условие к д-му уравнению содержит функцию, входящую в (ге — 1)-е уравнение. Замкнутое уравнение в приближении диффузионного случайного процесса, как указывалось выше, получается при замене в уравнении (3.1) функции на б (х —х )А (р — р ), так как в этом случае возни- [c.277]

Аналогичным образом можно получить и исследовать уравнения второго приближения для функции когерентности Гг х, М, р). Условия применимости приближения диффузионного случайного процесса для Гз (х, Л, р) имеют вид (при плоской падающей волне) [c.279]

Так как приближению диффузионного случайного процесса соответствует модель дельта-коррелированных по г неоднородностей, то В (z ) не коррелировано с последующими значениями (В 1, z), т. е. ( Вх (z )V j.i (J2 (z), z> == О при z < z. Отсюда следует, что [c.311]

Левая часть уравнения (2.3) может быть вычислена в приближении диффузионного случайного процесса. В этом случае функция Г для плоской волны описывается формулой (8.2.19 ) (и = 1), а [c.318]

Применительно к задачам о динамических системах, движение которых подчиняется обыкновенным дифференциальным стохастическим уравнениям с гауссовскими флуктуациями параметров, используемый метод приводит к приближению марковского случайного процесса соответствующее уравнение для плотности вероятностей перехода имеет вид уравнения Эйнштейна — Фоккера. В более сложных задачах, описываемых дифференциальными уравнениями в частнь[х производных, этот метод приводит к обобщенному уравнению типа Эйнштейна — Фоккера в вариационных производных для характеристического функционала решения задачи, в связи с чем он может быть назван приближением диффузионного случайного процесса. Для динамических систем с не-гаусровскими флуктуациями параметров предлагаемый метод также приводит к приближению марковского процесса. Плотность вероятностей решения соответствующих динамических стохастических уравнений удовлетворяет при этом замкнутому операторному уравнению. Так, для случая систем с флуктуациями параметров, имеющими пуассоновский характер, получаются интегро-диффе-ренциальные уравнения типа уравнения Колмогорова — Феллера. [c.6]

Общее состояние теории распространения волн в случайнонеоднородных средах приведено в обзорных работах [33, 102— 107]. Ниже мы, следуя 102, 103], рассмотрим описание процесса распространения волн в случайно-неоднородных средах в приближении диффузионного случайного процесса и обсудим условия применимости такого подхода. [c.247]

Уравнение (2.11 ) является бесконечномерным аналогом УЭФ, в связи с чем описанное нриближение распространения волны в среде с гауссовскими дельта-коррелированными флуктуациями 8 можно назвать приближением диффузионного случайного процесса. Выпишем в явном виде уравнения для функций [c.264]

Остановимся теперь на условиях применимости приближения диффузионного случайного процесса. Мо кет быть построена теория последовательных приближений, уточняющая функциональную зависимость статистических характеристик волны от поля г [53]. Рассмотренное выше приближение диффузионного случайного процесса является первым шагом в этой теории следующие приближения учитывают конечность продольного радиуса корреляции поля и приводят к системе замкнутых иптегро-дифферен-циальных уравнений для моментов (см. 6 гл. 3). [c.276]

Уравнения для лучей (1.3) совпадают с уравнением (8.1.39), описывающил распространение волны, в малоугловом приближении в приближении геометрической оптики, если учесть, что 72 = I - - е. Для системы (1.3) независимая переменная 2 уже входит в число аргументов /, и поэтому здесь можпо перейти к приближению диффузионного случайного процесса. Соответствующее УЭФ принимает вид (координата 2 играет роль времени) [c.310]

Формулы (2.4) можно также использовать и для вывода условий иримеиимости приближения диффузионного случайного процесса при оиисапии амплитудно-фазовых флуктуаций в геометрооптическом нриближении, которые, как легко видеть, совпадают с условиями применимости приближения диффузионного случайного процесса для статистического описания диффузии лучей в случайно-неоднородной среде (формула (1.17)). [c.322]

Пусть q (О — случайный процесс. Из уравнения (5.114) найдем переходную функцию распределения Fi I, t tf,). Эта функция равна вероятности события, которое состоит в том, что трещина, которая в момент имела размер /ц. в момент t > будет иметь размер не более I 1 . Производная от переходной функции распределения по I есть переходная плотность вероятности pi l, [/о, о)-В общем случае I (t) не является диффузионным марковски.м процессом, хотя в частных случаях, а также в асимптотическом приближении значения процесса I (t) можно связать с некоторым диффузионным марковским процессом. [c.198]

Эффективное использование гауссовских конструкций в процедуре континуального интефирования смазывает динамический подход к проблеме случайных процессов, переводя их описание сразу на уровень диффузионной стадии, посылая ее как бы исходной и совершенно игнорируя предшествующие ей этапы динамического развития процесса и условия реализации диффузионного приближения. Автор помнит слегка ироничное отношение академика Н. Н. Боголюбова к надеждам на всеобщую универсальность метода континуального интефирования, который при этом указывал именно на существенную зависимость его эффективности и получаемых результатов от выбора гауссовоподобных или иных (с которыми еще вряд ли что может получиться) конструкций в этой процедуре. [c.8]

Для диффузионных возмущений широко развит аппарат, позволяющий описывать случайный процесс на выходе системы, связанный с уравнениями, в которые возмущения входят линейно, и их источником является белый шум - 5-коррелированный случайный процесс. По поводу затруднений, возникающих при переходе от реальных систем к диффузионным моделям, следуя Стратоновичу, можно сказать следующее. Для интервалов времени, с одной стороны, существенно превышающих время корреляции случайного воздействия т , а с другой - значительно меньших характерного времени реакции самой системы Тс - Д источник флуктуаций выступает как 5-коррелированный белый шум, а процесс на выходе является приближенно марковским. При этом левая часть приведенного неравенства обеспечивает малость приращения выходного случайного процесса за относительно малый интервал времени, а правая часть обеспечивает отсутствие последействия. Оба этих условия характерны для марковских процессов, при [c.302]

Под диффузионным приближением понимают поведение динамических систем в рамках случайных воздействий, моделируемых белым (дельта-коррелированным) шумом с га- уссовской или пуассоновской статистикой. Оно широко используется и равносильно описанию осредненной динамики в рамках кинетических уравнений для вероятностных распределений типа Фоккера — Планка (при гауссовской статистике) или Колмогорова — Феллера (при пуассоновской статистике)., Хотя диффузионное приближение подробно рассмотрено в ряде известных руководств и статей (см., например, [1—4, 22, 49]),, но в связи с расширением применений кинетических уравнений в различных областях физики (в том числе и для описания реальных процессов, вообще говоря, не дельта-коррелированных) появляются все новые работы по выводу и анализу этих уравнений и условиям их применимости. Из новых подходов к вопросу можно, например, отметить функциональный, основанный на формулах типа Фуруцу — Новикова — Донскера (см. [23, 32]). Здесь мы покажем, что широкий класс динамических систем в диффузионном приближении очень просто описывается на основе аппарата формул дифференцирования. [c.98]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...