Группа подобия

Во всех случаях предполагается, что поверхность в малой окрестности изолированной особой точки допускает или группу подобия [c.53]

Рассмотрим малую окрестность некоторой точки О, находящейся на особой линии (линии разрыва граничных условий или первых производных функции F(x,y, 2), или тех й других вместе). Напомним, что поверхность тела в малой окрестности рассматриваемой точки допускает группу подобия (3.3). [c.56]

Согласно (3.10), если Ф(2) и 4 (2 ) удовлетворяют граничным условиям, то Ф(С12) и F( i2) ( l — произвольное действительное число) также им удовлетворяют. Вследствие линейности и однородности краевой задачи функции С2Ф г) и 2W z) (С2 — произвольный действительный параметр) также будут решениями. Следовательно, общее решение, порожденное некоторыми решениями Ф(2) и 4 (2), имеет вид соответственно С2Ф(С12) и 2 F( i2) иначе говоря, множество искомых функций допускает группу подобия (автомодельные решения). Согласно определению группового свойства Р ], функции Ф(2) и Ч (2) должны удовлетворять функциональному уравнению [c.60]

Одна из наших основных целей — обосновать анализ размерностей с помощью постулатов, в которых явно используется упомянутая в 58 группа подобия положительных скалярных преобразований единиц измерения. Хотя постулаты будут формулироваться абстрактно, мы будем интерпретировать их при помощи простых примеров из гидромеханики, и, быть может, самым простым из них является следующий пример. [c.120]

Анализ размерностей показывает, что при геометрически подобных условиях поведение несжимаемых вязких жидкостей зависит только от безразмерного параметра Re. Теперь мы будем искать автомодельные плоские течения для однопараметрических подгрупп группы подобия [c.163]

Интересно было бы определить самое общее течение невязкой жидкости, удовлетворяющее условию подобия (48), и проверить течение на инвариантность относительно подгрупп группы подобия. Вместо этого мы в виде компенсации определим несжимаемые вязкие течения, удовлетворяющие условию (48). [c.183]

Группа растяжений д = ajg, (г = 1,. .., п). Если а,- = а — скаляр, не зависящий от г, то группа называется группой подобия. [c.209]

Пример. Найти групповую операцию и канонический параметр в группе подобия [c.217]

Выражение группы подобия через канонический параметр имеет вид [c.218]

Переход к каноническим координатам группы подобия х, у) —у —у(а,р) а = х у, р = пу позволяет получить [c.260]

С/з = 1д/д1 + хд/дх — оператор группы подобия, [c.271]

Например, если /, —однородные многочлены степени m > 1, то в (9.23) можно положить =. .. = = . Но тогда, ввиду (9.24), д = 1/(т - 1), что является целым лишь при m = 2. Итак, уравнения с квадратичными правыми частями допускают группу подобий вида (9.23). Важным примером служат уравнения Эйлера— Пуанкаре на алгебрах Ли. Более сложный пример доставляют уравнения (9.15) они допускают группу t —> t/a, щ —> ащ, Vk —> a Vk. Сходный пример — уравнения Эйлера—Пуассона, описывающие вращение тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки. [c.120]

То есть группа подобия в конфигурационном пространстве индуцирует группу подобия и в фазовом пространстве, а искомое направление задается вектором [c.165]

Вследствие сингулярности полей напряжений и перемеш,ений в малой окрестности фронта трещины их градиенты вдоль фронта малы по сравнению с градиентами поперек фронта. Следовательно, в окрестности точки О, такой, что л + ji2 < асимптотически реализуются условия плоской деформации, если е мало по сравнению с радиусом кривизны фронта трещины в этой точке. Для упрощения уравнений (1.9) в окрестности г введем систему координат, связанную с Xl, х , Xg группой подобия [c.18]

Ускорение любой точки, лежащей на линии ВС звена 2, определяется построениями, аналогичными тем, которые мы применяли при исследовании группы первого вида, т. е. применением принципа подобия фигур на плане ускорений и на схеме механизма. [c.90]

В соответствии с классификацией А. А. Бочвара в зависимости от подобия фазовых (структурных) превращений все виды и процессы термической обработки стали делятся на четыре группы. [c.111]

Величины К[ называют множителями преобразования, или константами подобия. При таком построении группы фигур каждый прямоугольник отличается от другого внутри данной группы только своим масштабом. При этом каждой точке одной фигуры соответствует сходственная точка другой. Такого рода преобразования называют подобными. Принципы подобия приложимы не только к геометрическим телам, но и к физическим и тепловым процессам. [c.411]

Совокупность всех перечисленных условий называется условиями однозначности явления- Условия однозначности выделяют из всей группы явлений, описываемых дифференциальным уравнением, одно единственное конкретное. явление. Значит, подобие условий однозначности есть второе необходимое условие подобия. [c.417]

Конкретная совокупность значений чисел подобия, полученная обработкой одного опыта или расчета, характеризует группу подобных между собой явлений, а уравнение подобия в целом — большое число неподобных между собой групп. Поэтому каждое уравнен 1е подобия может применяться только для таких значений чисел подобия, которые наблюдались в опытах или использовались в расчетах, послуживших основанием для получения этого уравнения. [c.269]

Третья теорема подобия позволяет установить границы применимости полученных опытным или расчетным путем зависимостей. С помощью этой теоремы можно выделить группу явлений, на которую распространяются полученные в результате опыта или численного расчета уравнения подобия. [c.270]

Приведенные примеры показывают, что условия термодинамического подобия связаны в конечном счете с видом выражения для потенциальной энергии взаимодействия и целиком определяются последней. Поэтому из анализа и (г) для различных веществ могут быть, помимо рассмотренных, получены и другие условия термодинамического подобия, справедливые в пределах отдельных групп веществ. [c.214]

Во второй группе работ используется закон подобия в форме [c.30]

Совокупность численных значений безразмерных комплексов определяет множество однородных явлений, так как одному и тому же численному значению комплекса соответствует бесконечное множество сочетаний входящих в него конкретных параметров процесса. Поэтому относительные переменные и безразмерные комплексы представляют собой обобщенные переменные. Если на основе информации о конкретном состоянии системы определить совокупность численных значений безразмерных комплексов, то распределения относительных переменных, найденные в этом конкретном состоянии, будут такими же для бесчисленного множества других явлений с иными числовыми значениями параметров, но с теми же значениями безразмерных комплексов. Это множество явлений образует группу подобных явлений. Рассмотрим вопрос о подобии явлений более подробно. [c.11]

Из сказанного выше очевидно, что подобными могут быть только явления одинаковой природы. Группа подобных между собой явлений характеризуется одинаковыми значениями одноименных чисел подобия (включая и критерии подобия). Следовательно, произведения чисел подобия или частное от их деления будут иметь одинаковые значения и также будут представлять собой числа подобия. [c.12]

Связи между числами подобия, выражаемые функциональными зависимостями (1.6) — (1-9), называют уравнениями подобия. Следует заметить, что уравнение подобия описывает множество неподобных между собой групп явлений, а каждая группа подобных явлений характеризуется конкретной совокупностью числовых значений критериев подобия. [c.13]

Если для какой-либо группы гидродинамических явлений имеет место кинематическое и динамическое подобие, то их называют механически подобными. Механическое подобие является частным случаем общего подобия физических процессов, которое можно определить для тепловых, электрических, упругих и других явлений. [c.120]

Суммируя изложенное, можно констатировать, что одинаковые безразмерные дифференциальные уравнения, описывающие группу гидродинамических процессов, вместе с безразмерными условиями однозначности (начальными и граничными условиями), а также одинаковые значения критериев подобия являются необходимыми условиями механического подобия. Доказать их достаточность удается не во всех случаях, так как это связано с вопросом о существовании и единственности решений уравнений Навье — Стокса. Рассмотрим этот вопрос подробнее. [c.123]

Кроме того, граничная поверхность может содержать бесконечно удаленную точку считается, что в окрестности этой точки поверхность допускает группу подобия или переноса (клин, конус, цилиндр, полоса и т. д.). Для определенности предположим, что граница тела в окрестности бесконечно удаленной точки свободна от нагрузок. (Применяемый ниже подход годится и для более общих однородных граничных условий.) Напомним, что принцип Сен-Венана формулируется именно для таких граг ничных условий. Этот принцип утверждает, что если некоторая совокупность внешних сил, действующих на некотором участке поверхности тела, будет заменена другой системой внешних сил, статически эквивалентной предыдущей и распределенной на том же участке, то напряжения, соответствующие этим двум нагрузкам, будут одинаковыми на достаточном удалении от места приложения сил. [c.53]

Сначала, в 59—65 будет дан критический обзор анализа размерностей. К анализу размерностей обычно обращаются, когда нужно обработать результаты экспериментов с моделями, и он обладает тем преимуществом, что для него не требуется математических сведений сверх курса элементарной алгебры, но зато и тем недостатком, что необходимо вводить добавочные постулаты, физическую надежность которых приходится проверять особо. В 60—61 эти постулаты даны в теоретико-групповой формулировке в терминах группы подобия всевозможных чзменений основных единиц. [c.118]

Самой важной группой в механике после группы подобия преобразований вида (22) является десятипараметрическая группа Галилея — Ньютона. Эта группа порождается трехпараметрической подгруппой S пространственных переносов [c.137]

Решая предыдущие уравнения, мы получим для пространственного случая р = д = 1. Это весьма примечательно, так как полная система уравнений Навье — Стокса инвариантна относительно найденной частной группы подобия, что впервые было получено Яцеевым и Сквайром ). Уравнения Навье —Стокса в сферических координатах эквивалентны уравнению [c.167]

Группой симметрий этой системы, очевидно, является группа подобия с оператором С/ = ид/диьд/ди и каноническими кординатами [c.257]

Для построения вектора направления, определяюгцего изменение амплитуды, подействуем на д группой подобия [c.165]

Это означает, что К является инвариантом двух групп врагцения 7з и /4 и инвариантным многообразием группы подобия. [c.168]

Перейдём к аналогичной проблеме центральной аксонометрии. Примем данную пространственную дезаргову конфигурацию = О (0 А А, 0 В В, 0 Ь С ) за систему отнесения. Чтобы установить центральное проектирование, надо, во-первых, выбрать плоскость проекций т.] она определяется тремя параметрами. Во-вторых, надо выбрать центр проекций 5 он тоже определяется тремя параметрами. Итого, устанавливая центральное проектирование, мы имеем в своём распоряжении шесть парл.метров. С другой стороны, плоская дезаргова конфигурация фг=0(.0Л.4 , ОВВ,, ОСС ) определяется восе.мью параметрами. В само.м деле, чтобы определить , надо задать два угла из трёх, образуемых прямыми ОА, ОВ, ОС при точке О, н по два отрезка на каждой из этих прямых. Таким образом, для получения в точности конфи-гуращп 3) на.м нехватает двух параметров. Поэтому можно лишь надеяться получить данную конфигурацию ф с некоторым двух параметрическим искажением. В 15 (стр. 93) будет показано, что в качестве двухпараметрической группы, играющей в этой проблеме роль, аналогичную группе подобий в классической проблеме Польке-Шварца, можно принять группу унимодулярно-аффинных преобразований (при.мечание 2, стр. 115). Основную проблему центральной аксонометрии мы теперь будем формулировать так [c.61]

Кроме класса и единич1юго явления, в теории подобия введено особое понятие группы явлений. Группой явлений называется совокупность физических процессов, описываемых одинаковыми по форме и содержанию дифференциальными уравнениями и одинаковыми по форме и содержанию размерными условиями однозначности. Различие между отдельными физическими процессами, отнесенными к данной группе явлений, будет состоять только в разли- [c.410]

В теории подобия группу явлений выделяют путем умножения каждой величины, входяи ей в условия однозначности, на постоянные численные множители. Для различных физическпх величин эти множители различны. [c.411]

В специальной литературе приведены расчеты, показывающие, что равенство параметров силовой и тепловой напряженности, например, деталей цилиндропоршневой группы обеспечивается, когда главным параметром является диаметр цилиндра D (рис. 3.1, а). Это дает возможность создать ряд геометрически подобных двигателей с соотношением S/D = onst, соблюдая указанные критерии подобия рабочего процесса. При этом у всех геометрически подобных двигателей будут одинаковые термодинамический, механический и эффективный КПД (а следовательно, и расход топлива), тепловая и силовая напряженность и мощность. Градации толщины стенки цилиндра h будут такими же, как и градации D. [c.47]

Обраи1,аясь к диаграмме деформирования идеально пластического тела, мы видим, что свойства его в известной мере оказываются промежуточными между свойствами твердого тела и жидкости. До достижения пластического состояния тело упруго и, следовательно, должно безусловно рассматриваться как твердое. После достижения предела текучести оно деформируется неограниченно или течет подобно жидкости. Можно было бы сказать, что жидкость — это твердое тело с пределом текучести, равным нулю. В связи с такой двойственной природой пластического тела и теории пластичности оответственно делятся на две группы теории течения, уподобляющие пластическое тело жидкости, и теории деформационного типа, которые строятся по образу и подобию теории упругости. Слово теории употреблено здесь во множественном числе. Единой универсальной теории пластичности до сих пор не существует, разные авторы придерживаются разных точек зрения. Ответить на вопрос, какая именно из этих теорий ближе к истине, нелегко. При решении практических задач все они дают очень близкие результаты. [c.59]

В середине 60-х годов в связи с успехами в области экспериментальных исследований, показавшими расхождение в поведении критических показателей с предсказаниями классической теории, окончательно сформировалась идея об определяющей роли флуктуаций при Т Тс- Введенная гипотеза подобия Вайдома-Каданова-Покровского-Паташинского [32—34] позволила феноменологически описать влияние флуктуаций. В 1971 г. Вильсон заложил основы микроскопического подхода к проблематике, связанной с крупномасштабными флуктуациями (метод ре-нормализационной группы (РГ)) [35]. [c.214]

Критерии подобия подразделяются на определяющие и неопределяющие. Определяющие критерии, составляются из тех физических величин, которые необходимо задать для того, чтобы из целой группы явлений данного типа (т. е. описываемых одним и тем же уравнением) выделить одно конкретное [c.215]

Безразмерные комплексы представляют собой соотношения масштабов эффектов и в итоге определяются совокупностью масштабов параметров, определяющих явление. Следовательно, конкретные явления, входящие в группу, отличаются только масщта-бами определяющих их параметров. Геометрические фигуры, отличающиеся масщтабом построения, геометрически подобны. Физические явления, отличающиеся масштабами определяющих их параметров, называют подобными, а безразмерные комплексы, конкретная совокупность численных значений которых выделяет группу подобных между собой явлений, называют числами подобия. [c.11]

Следовательно, сформулированные выше условия в данном случае оказываются не только необходимыми, но и достаточными для существования механического подобия. Однако такое заключение нельзя распространить на произвольное движение вязкой жидкости, поскольку теорема существования и единственности решения уравнений Навье — Стокса доказана хотя и для многих, но все же частных классов движения. В общем случае необходимые и достаточные условия подобия не определены. Правда, это не исключает возможности практического использования теории подобия. В практике при постановке эксперимента существование и единственность группы потоков, подобных натурному, предполагают apriori, модель выполняют, исходя из необходимых условий подобия, и ее принадлежность к указанному классу проверяют на основе сопоставления частично известных натурных данных с результатами измерений на модели. [c.123]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...