Квадратичная положительная форма

Это нетрудно показать, вычисляя вторую вариацию потенциальной энергии так как здесь П—однородная квадратичная положительная форма компонент деформации, то ее вторая вариация будет той же самой квадратичной формой от вариаций компонент деформации бе,у, умноженной на 2, следовательно, [c.315]

Во всех устойчивых состояниях тела за исключением критической точки разности 65, 6V таковы, что члены второго порядка превышают сумму всех членов более высокого порядка. В этом случае состояние будет устойчивое, если квадратичная дифференциальная форма от 6S и бУ существенно положительна, т. е. [c.192]

Введем метрику в координатном пространстве (qi,, q ), определив квадрат длины дуги ds с помощью положительно опре деленной квадратичной дифференциальной формы [c.133]

Теорема об асимптотической устойчивости линейных систем. Пусть для какой-нибудь положительно определенной квадратичной формы и (х, t) с коэффициентами — непрерывными ограниченными функциями времени — нашлась квадратичная положительно определенная форма w (х, t), удовлетворяющая условию [c.302]

Предыдущие рассуждения относятся к свободному движению жесткого спутника. В тех случаях, когда вращающийся спутник имеет баки с жидким топливом [72, 84] или присоединенные упругие элементы конструкции в виде солнечных батарей, антенн и т.п., условие устойчивости вращающегося КА становится более жестким /х//> 1 + С, где/ — осевой, а I = 1у — Jz — поперечный моменты инерции спутника С — квадратичная положительно-определенная форма параметров системы КА — жидкость. [c.37]

Хорошо известно [41]. что для этой системы существует функция Ляпунова в виде квадратичной формы, т. е. существует определенно-положительная форма [c.99]

В пространстве обобщенных координат д2,..., дк введем метрику, определив квадрат длины дуги с помощью положительно определенной квадратичной дифференциальной формы [c.506]

При ц > О, ЗЯ + 2ц > О, р > О мы имеем дело с квадратичной положительно определенной формой. Поэтому должно быть [c.577]

Обычно можно выбрать вариации 61/, 65, так, чтобы члены второго порядка превосходили в этом разложении сумму всех членов более высокого порядка ). Поэтому критерий устойчивости заключается в том, чтобы некоторая квадратичная дифференциальная форма была существенно положительна [c.76]

Здесь благодаря тому, что по предположению есть квадратичная функция скоростей, коэффициенты при М, будут функциями только координат 91,. .., Цт- Правая часть равенства — тоже функция только координат, так как V линейна относительно скоростей. Кроме того, так как 2 — определенная положительная форма, то определитель д Ь/дц[дц ф 0. Из всего этого следует, что функции M могут содержать только координаты. Частное интегрирование относительно дает [c.53]

Главные координаты. Если имеются две однородные квадратичные формы от любого числа переменных, одна из которых является определенно положительной для всех значений переменных, то, как известно, посредством вещественного линейного преобразования переменных можно в обоих выражениях устранить члены, содержащие произведения переменных, и, кроме того, сделать в определенно положительной форме все коэффициенты при квадратах переменных равными единице или некоторой заданной положительной постоянной. Если координаты 0, ф преобразуются в координаты , 1],. .. посредством уравнений [c.405]

Выражение (129.2) показывает, что кинетическая энергия механической системы со стационарными связями является квадратичной формой обобщенных скоростей. Так как кинетическая энергия механической системы всегда положительна, то эта форма положительно определенная. [c.365]

Обычно вместо (7.25) удобнее пользоваться положительно определенной квадратичной формой функционала [c.211]

Это выражение является квадратичной формой от обобщенных скоростей с постоянными коэффициентами. Из физического смысла понятия кинетической энергии следует, что функция Т равна нулю лишь тогда, когда все qj одновременно равны нулю, и положительна, если хотя бы одна из tjy отлична от нуля. Квадратичная форма, удовлетворяющая этим условиям, называется положительно определенной, а матрица, составленная из ее коэффициентов, [c.213]

Если дополнительно предположить, что не только А, но и С является матрицей положительно определенной квадратичной формы, то (как мы покажем далее) все корни характеристического уравнения (18) будут чисто мнимыми. [c.215]

Таким образом, для диссипативной системы функция Релея является положительно определенной квадратичной формой, и в уравнениях движения [c.216]

А и В будут матрицами положительно определенных квадратичных форм. [c.216]

В общем случае тот факт, что уравнения (15) получались линеаризацией уравнений Лагранжа, не придает этим уравнениям каких-либо особенностей, которые позволили бы выписать их решение и изучить возникающие движения проще, чем это могло бы быть сделано при исследовании системы линейных уравнений самого общего вида. Иначе обстоит дело в том случае, когда система консервативна и матрица С = с /, является матрицей положительно определенной квадратичной формы ). Тогда в уравнениях линейного приближения [c.236]

В линейной алгебре доказывается теорема о том, что две квадратичные формы, одна из которых является положительно определенной, могут быть одновременно приведены к сумме квадратов с помощью неособенного линейного преобразования [c.237]

В общем случае это соотношение выполняется только при положительности первого и отрицательности второго слагаемого. Но, в частности, одно из слагаемых может равняться нулю. Такую возможность необходимо учитывать особо, она касается и неравенства (12.29). Действительно, квадратичная форма (12.31) имеет определитель, совпадающий с определителем системы уравнений Гиббса—Дюгема (9.49), который, как было показано ранее, при независимых q, равен нулю. В общем случае знак неравенства (12.29) должен, следовательно, быть дополнен знаком равенства. [c.122]

Положительная определенность квадратичных форм (12.32), (12.47) и соответствующих матриц означает, в частности, что все их элементы, расположенные на главной диагонали, должны быть положительными. Действительно, при i=/ частные производные в суммах (12.32), (12.47) умножаются на неотрицательные числа — квадраты вариаций переменных. Благодаря произвольности вариаций эти числа всегда можно считать положительными, а вариации других переменных с i j — равными нулю, так что знак неравенства должен выполняться для каждого из слагаемых суммы в отдельности. Поэтому из [c.125]

Сложнее гарантировать единственность решения, хотя это так же важно, как и доказательство его существования. Наиболее надежные выводы получаются при известной форме поверхности минимизируемой функции в многомерном пространстве. Проблема эта тесно связана с анализом устойчивости равновесия и частично уже обсуждалась в 12, 13. Выше встречались различные формулировки условий устойчивости говорилось о существовании взаимно однозначного соответствия между термодинамическими силами и координатами, о постоянстве знака якобиана их преобразования (9.23), о положительной определенности квадратичных форм (12.32), (12.47), о знаке определителей матриц вторых производных характеристических функций (9.24), (12.20). Еще одно эквивалентное выражение условий устойчивости связано непосредственно с характеристикой формы поверхности рассматриваемой функции — это ее выпуклость. [c.185]

Область пространства называют выпуклой, если отрезок прямой, соединяющей две любые точки этой области, расположен целиком в ней. Так, область допустимых решений на рис. 8 образует выпуклый четырехугольник. Функция является выпуклой, если выпукло множество точек, расположенных над ее графиком. Например, U(в) на рис. 4 — выпуклая функция. В многомерных пространствах эти наглядные представления не удается применить, и понятие выпуклости без дополнительных критериев, позволяющих выразить те же особенности функции в аналитическом виде, становится не более как образным выражением. Необходимым и достаточным условием выпуклости непрерывной функции с непрерывными вторыми производными является неотрицательность определителя матрицы, составленной из этих производных (матрицы Гессе). Если же гессиан определен положительно, т. е. условие э-0 для соответствующей квадратичной формы может быть заменено условием >0, то функция называется строго выпуклой. [c.185]

В линейной алгебре доказывается, что всякую положительно определенную квадратичную форму можно привести к диагональному виду. Простейший способ задать скалярное произведение — это [c.16]

Для склерономной системы кинетическая энергия представляет собой невырожденную положительно определенную квадратичную форму всех скоростей. Следовательно, полная энергия [c.570]

Определение 8.7.1. Механическая система называется позиционной линейной системой, если ее кинетическая энергия есть положительная симметричная квадратичная форма обобщенных скоростей [c.572]

Рассмотрим влияние гироскопических сил. Такие силы могут возникать, например, вследствие действия кориолисовых сил в неинерциальной системе отсчета. Они также могут быть следствием процедуры Рауса игнорирования циклических координат. Рассмотрим случай // = 2 + 0- Если лагранжевы координаты системы ортогональны в том смысле, что форма Ьо есть сумма членов, содержащих только квадраты обобщенных скоростей, то (см. 8.5) функция Рауса также будет представлять собой сумму положительно опреде,пен-ной квадратичной формы по позиционным скоростям и свободного от скоростей члена. Однако если 2 — произвольная положительно определенная квадратичная форма, то отсутствие линейного по скоростям члена в функции Рауса гарантировать нельзя, так что функцию Рауса следует принять в виде [c.593]

Квадратичная форма, которая принимает только положительные значения в области изменения переменных Хх и Х2 н равняется нулю только при нулевых значениях переменных, называется определенно положительной- [c.431]

Докажем последнее утверждение. Предположим сначала, что связи в системе стационарны. Тогда кинетическая энергия системы согласно формулам (И. 27) — (II. 28с) является квадратичной положительно определешюй формой обобщенных скоростей [c.143]

В состоянии термодинамического равновесия свободная энергия, как известно, минимальна. Если на тело не действуют никакие внешние силы, то F как функция от 1 должно иметь минимум при Uih = 0. Это значит, что квадратичная форма (4,3) должна быть положительна. Если выбрать тензор таким, что иц = О, то в (4.3) останется только первый член если же выбрать тензор вида Uih = onst-6 , то останется только второй член. Отсюда следует, что необходимым (и, очевидно, достаточным) условием положительности формы (4,3) является положительность каждого из коэффициентов К и [c.22]

Понятию о главных координата.х. можно дать гео.метрическое истолкование. Для этого за.метим, что одна квадратичная форма всегда может быть при надлежащем линейном преобразовании приведена, и не единственным образом, к виду, в котором не содержится произведение переменных, причем для этого не требуется решения никаких уравнений. Рассматривая, в частности, знакоопределенную положительную форму, можно написать [c.565]

Предположим, в частности, что речь идет о динамической системе, так что имеем = Г -)- ГУ. В этом предположении, как мы уже знаем (п. 41), гессиан Д функции сводится к дискрими-ланту ] j квадратичной части rживой силы Т или полной живой силы Т, смотря по тому, зависят или не зависят связи от )фсмени. Так как в обоих случаях речь идет об определенной положительной форме, то дискриминант во всяком случае будет отличным от нз ля и положительным, как и все его главные миноры вместе с другими аналогичными главными минорами най ется. минор т-то порядка, образованный пересечением т первых строк и т первых столбцов, также отличный от нуля. Уравнения (55) будут, таким образом, разрешимы относительно т производных iji от т циклических координат 2, т.), и потому их [c.303]

Отсюда заключаем, что квадратичная форма — F, частные производные которой по Xi входят в уравнения (31) в виде членов, линейных относительно лг , равна производной по времени от полной механической энергии и поэтому в любой момент является мерой быстроты, с которой изменяется эта энергия. Характер определенной положительной формы, которым обладает F, соответствует тому факту, что при естественном течении механических явлений, когда движущейся системе не сооэщается энергия извне для сохра- [c.395]

Во всех задачах, которые нам встретятся, живая сила Т или — существенно положительные величины это — квадратичная, определенно положительная форма. В случае абсолютного движения (п. 337) действие 2йг Уи Н существенно положительно оно не меняется прищеремене пределов. Наоборот, в данном случае действие составляется из двух членов первый, 2 /т У Яо + Л, будет всегда положительным и не меняется при [c.501]

Однородная квадратичная форма (20.3) равна — / dvldm), и из физических соображений ее величина не зависит от выбора осей. Далее, поскольку производная dv/dm должна быть отрицательной, если положительно, форма (20.3) будет положительно определенной. Для этого необходимо, чтобы [c.51]

В частности, линейное пространство характеристических функций квадратично-нелинейных (к.-н.) 0-систем с данными симметризатором (2) и квадратичным положительным первым интегралом (1) порождается кубическими формами Р (I, /) = для пар ( , /) таких, что 20,. + ву = О, Р (1, ,к)= Х ХуХ для трсек (/, /, к таких, что 0,. + 0- + + 0 = 0. [c.228]

Если квадратичная форма в разложении (2.23) в малой окрестности положения равновесия (нуля) является определенно-положительной, то и потенциальная энергия П будет определенно-положительной в этой окрестности. Так как, по предложению, П (О,. .., 0) = 0, то отсюда следует, что в положении равновесия П имеет локальный минимум и из теоремы Лагранжа — Дирихле следует устойчивость рассматриваемого положения равновесия. [c.87]

Программа 81ТУЕ8, написанная на языке НА81С, позволяет при помощи критерия Сильвестра (2.61) и условий (2.62) теоремы 2.10 решить вопрос, является ли заданная квадратичная форма (2.58) определенно-положительной или определенно-отрицательной. [c.109]

Квадратичная форма (12.31) является положительно полуопределенной имеется набор вариаций б ,, не меняющих химического состава системы, при котором эта форма равняется нулю. Положительно определена она только тогда, когда фиксировано хотя бы одно экстенсивное свойство системы либо имеются другие условия, исключающие возможность изменения состояния системы без изменения ее интенсивных свойств. [c.123]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...