Устойчивость и неустойчивость периодических движений

Устойчивость и неустойчивость периодических движений. При рассмотрении периодических движений устойчивого типа в динамических проблемах мы должны их разделить на два основных класса. Может случиться, что все движения, достаточно близкие к данному периодическому движению, остаются в малой окрестности его в течение всего времени. Это есть простейший из двух случаев, и в этом случае рассматриваемое периодическое движение может быть названо устойчивым . Или же может случиться, что существует такая малая окрестность данного периодического движения, что для нее мы можем найти движения, сколь угодно близкие к данному в начале, но выходящие, в конце концов, из данной окрестности. В этом случае рассматриваемое периодическое движение может быть названо неустойчивым . [c.223]

Пусть Oi °,. .., Г —устойчивые состояния равновесия и периодические движения. О ",. .., Тт" —неустойчивые и ..., — седловые. Окружим каждое из них малыми окрестностями с кусочно-гладкими граничными поверхностями, составленными либо из поверхностей без контакта, либо кусков интегральных поверхностей. Возможные виды таких поверхностей в трехмерном случае изображены на рис. 7.26,а, б, в. Обозначим границы этих окрестностей для устойчивых и неустойчивых состояний равновесия и периодических движений соответственно через Oi,. ..,а и а,,. .., От. У седлового состояния равновесия [c.274]

В рассматриваемой динамической системе без зоны нечувствительности единственным устойчивым элементом является точка (О, 0), Областью устойчивости в большом состояния равновесия будет при Л Гз О, S > О, Л + S — 1 > О все фазовое пространство. Если Л + S — 1 О, Л Г- О, S > О и выполняется условие (29), то в фазовом пространстве существует неустойчивое периодическое движение, состоящее из двух симметричных кусков траекторий, расположенных соответственно в полупространствах "ф > О и -ф < О (неустойчивый предельный цикл). [c.183]

При исследовании устойчивости механических систем, описываемых каноническими уравнениями движения (в частности с гамильтонианом, периоди-134 чески зависящим от времени), существенную роль играет орбитальная устойчивость Применение предложенного А. Н. Колмогоровым метода теории возмущений позволило получить ряд результатов относительно устойчивости и неустойчивости консервативных систем, близких к интегрируемым для бесконечного промежутка времени. При этом выяснилось существенное отличие систем с числом степеней свободы ге 3 от систем с одной или двумя степенями свободы. Так называемые условно-периодические движения, соответствующие интегрируемым системам с п степенями свободы, образуют п-мерные инвариантные многообразия типа тора. Методом Колмогорова доказывается грубость таких торов — они мало видоизменяются, т. е. устойчивы при достаточно малых возмущениях. При и = 1 или п = 2 в фазовом пространстве 2п измерений устойчивые торы лежат в многообразиях 2п — 1 измерений, которые выделяются требованием постоянства энергии, как соосные торы (и = 2) или концентрические кривые п = 1). Поэтому не только траектории, первоначально лежащие на инвариантных торах, но и траектории, находящиеся между ними, остаются между этими торами. В этом случае существование торов гарантирует устойчивость системы. При га >> 3 гг-мерные торы вложены в пространство 2п — 1 измерений, которое они делить уже не могут, т. е. щели между торами сообщаются друг с другом. Поэтому траектория, начинающаяся между торами, несмотря на их устойчивость по отношению к возмущениям, может, извиваясь между торами, уйти на любое расстояние от них, т,. е. оказаться неустойчивой. Примеры, иллюстрирующие эти общие положения, приведены в докладе [c.134]

Тенденции к порядку и хаосу обусловлены устойчивостью и неустойчивостью. Еще совсем недавно устойчивость рассматривалась как неотъемлемое требование физической реализуемости. Казалось, что неустойчивые состояния равновесия и периодические движения физически нереализуемы на протяжении продолжительных интервалов времени и имеют значение лишь в математических исследованиях, поскольку играют важную роль в формировании границ областей притяжения устойчивых состояний равновесия и периодических движений. [c.43]

Таким образом показано, что в рассматриваемом случае самовозбуждение отсутствует, а в системе имеются неустойчивые периодические движения меньшей амплитуды и устойчивые — большей. Следовательно, система имеет жесткий режим возбуждения. [c.169]

Таким образом, мы видим, насколько различаются между собой классы периодических движений устойчивого и неустойчивого типа. [c.216]

Между неспециализированной динамической проблемой и в высшей степени исключительным случаем интегрируемой проблемы существует большое количество различных промежуточных случаев. Для того, чтобы обладать аналитическим орудием, применимым ко всем без исключения случаям, без сомнения, необходимо было бы рассмотреть вопрос об устойчивости и неустойчивости аналитических семейств периодических движений, подобно вышерассмотренному периодическому движению. Хотя индивидуальные периодические движения, принадлежащие к такому семейству, должны считаться неустойчивыми, но это обстоятельство само по себе ничего не дает для решения вопроса о том, как будут себя вести близкие движения по отношению ко всему семейству движений, рассматриваемому в целом. [c.218]

Проблема устойчивости. Чрезвычайно важным в динамике является вопрос следует ли из полной формальной устойчивости периодического движения устойчивого типа, определенной выше, устойчивость в качественном смысле. Аналитические критерии, различающие устойчивый и неустойчивый случаи, чрезвычайно тонки. Здесь имеются две группы вопросов, которые, естественно, возникают в этом случае. Следует ли из формальной устойчивости такая фактическая устойчивость Если нет, следует ли фактическая устойчивость из формальной в важных частных случаях, например, в ограниченной задаче трех тел [c.230]

Отсюда следует, что если мы докажем, что все четыре дуги, исходящие из инвариантной точки, пересекают эти сетки, то, очевидно, мы сможем распространить заключения, сделанные нами выше относительно движений, асимптотических к периодическим движениям устойчивого типа, на периодические движения неустойчивого типа. Мы докажем сейчас, что это действительно имеет место при условии, что, во-первых, асимптотическая аналитическая дуга, исходящая из одной инвариантной точки неустойчивого типа, не будет тождественна дуге, исходящей из другой такой точки, и, во-вторых, что в нашей системе пе существует периодического движения общего устойчивого типа с неизменными периодами в формальных рядах. Случай, когда одно из этих условий не удовлетворяется, нужно считать совершенно исключительным. Мы будем проводить рассуждения только для того случая, когда в нашей системе не имеется кратных периодических движений, хотя заключение остается справедливым при гораздо более общих условиях. [c.236]

Устойчивые и неустойчивые одномерные, а также асимптотические инвариантные поверхности приведенной системы задают в абсолютном пространстве, вообще говоря, двухчастотные движения. Это наглядно иллюстрируется на случаях Ковалевской и Горячева-Чаплыгина. В последнем случае, для особого решения Горячева, для малых энергий происходит еще большее вырождение и движение в абсолютном пространстве становится периодическим (см. 5), тело совершает в пространстве любопытные маятниковые движения. Отметим также, что для волчка Ковалевской в приведенном фазовом пространстве имеется набор из трех переменных 21,22,23, в пространстве которых совершается периодическое движение по некоторому эллипсу (см. 4). Эти переменные очень неочевидны и образуются как из компонент момента М, так и орта 7. [c.94]

V 8)/2 в результате тангенциальной бифуркации рождаются устойчивая и неустойчивая траектории периода 3. Они сохраняются в небольшом интервале значений С-<С0 При С = они сливаются и исчезают, рождая так называемое хаотическое движение с перемежаемостью. Под этим понимается следующее можно показать, что хотя движение является хаотическим, однако при малой разности С—Со — е типичная траектория будет находиться в окрестности периодической траектории в течение — итераций. При этом периодическая траектория [c.484]

Другой пример бифуркации — появление в физических системах предельных циклов. В этом случае по мере изменения некоторого управляющего параметра пара комплексно-сопряженных собственных значений 5,, 2 = + 7 переходит из левой части плоскости (7 < О, устойчивая спираль) в правую часть (7 > О, неустойчивая спираль) и возникает периодическое движение, называемое предельным циклом. Такой тип качественного изменения динамики системы, показанный на рис. 1.16, называется бифуркацией Хопфа. [c.30]

Поясним последнее обстоятельство подробнее. Сепаратрисы на секущей состоят из точек, которые получаются в результате последовательного применения отображения. Если точка принадлежит сразу двум сепаратрисам (устойчивой и неустойчивой), то и все ее образы (при и —> оо) и прообразы (при п —> —оо) также должны принадлежать двум сепаратрисам сразу. Следовательно, устойчивая и неустойчивая сепаратрисы должны иметь счетное множество общих точек, т. е. точек пересечения. Ясно, что вблизи неподвижной точки, где движение экспоненциально замедляется, точки пересечения инвариантных многообразий должны сгущаться. В результате на секущей поверхности получается картина, подобная той, что на рис. 15.16. Точки пересечения сепаратрис на секущей принадлежат двоякоасимптотической траектории, которую Пуанкаре назвал гомоклинической. При I оо эта траектория сматывается и наматывается на исходное периодическое движение. Окрестность гомоклинической траектории в фазовом пространстве называют гомоклинической структурой. В такой структуре имеется бесконечное разнообразие траекторий, среди которых наряду с периодическими есть и случайные. Полное описание траекторий, принадлежащих гомоклинической структуре, было дано сравнительно недавно на языке символической динамики [14]. [c.326]

При наличии затухания возможны также установившиеся периодические движения, получающиеся на границах областей устойчивости и неустойчивости. Применим метод Рэлея для отыскания этих движений [2 ]. Этот же метод может быть применим и к случаю отсутствия затухания при этом он позволяет найти граничные кривые с любой степенью точности. Итак, возвращаемся к уравнению (3.149) [c.193]

Аналогичные рассуждения применимы и к трехмерному интегральному тору и приводят к его бифуркациям как целого типов Л +1 и ]У 1. Однако теперь уже с ростом размерности все большую роль могут приобрести изменения на самом торе. Эти изменения уже сами по себе могут вызывать хаотизацию и стохастизацию движений при сохранении тора как устойчивого многообразия. В случае двумерного тора они не могут хаотизи-ровать движения на торе, но могут привести к его разрушению. К таким бифуркациям следует отнести слияние и последующее исчезновение устойчивого и неустойчивого периодических движений на торе (Л +1). Эта бифуркация будет рассмотрена в следующей гл. 6. Следует иметь в виду, что она не всегда ведет к разрушению тора все может ограничиться изменением числа вращения Пуанкаре фазовых траекторий на торе. Разрушение тора могут быть следствием бифуркации отдельных периодических движений на нем типов N-1 и Это Относится прежде всего к случаям, когда испытывающее бифуркацию периодическое движение не покрывает тор достаточно густо. Бифуркация типа может привести к последующему образованию гомоклинической структуры через касание интегральных многообразий 5 и 8 седловых движений, ранее лежавших на торе. [c.123]

Полученные здесь результаты используются в восьмой главе, посвященной исследованию предельных режимов движения машинных агрегатов с вариаторами. При квадратичной зависимости движущего момента от угловой скорости ведущего вала вариатора рассмотрены обобщенные характеристики и момент инерции масс всех звеньев, приведенные к ведущему валу с учетом их зависимости от закона нагружения рабочей машины, величины и скорости изменения передаточного отношения и угловой скорости ведуш,его вала. Рассмотрены условия возникновения устойчивых и неусто11чивых предельных режимов угловой скорости двингения ведущего вала вариатора и поведение но отношению к ним угловых скоростей других возможных движений. Найдены области допустимых начальных условий, при которых возникают устойчивые и неустойчивые реншмы движения исследовано влияние вариатора на поведение экстремали приведенного момента всех действующих сил и ветвей инерциальной кривой. Осуществлен качественный динамический синтез машинных агрегатов с периодическими, почти периодическими, стационарными и квазистационар-ными предельными режимами угловой скорости ведущего вала вариатора. [c.11]

Сценарий Помо и Манне-БИЛЯ (1980) возникновение перемежаемости во времени периодического и стохастического движения после обратной тангенциальной бифуркации (слияния и исчезновения устойчивой и неустойчивой неподвижных точек отображения Пуанкаре, т. е. устойчивой и неустойчивой периодических фазовых траекторий), причем промежутки времени со стохастическим движением случайны,, а с периодическим — пропорциональны ц — Примером мо- [c.138]

Устойчивые и неустойчивые периодические решения уравнений Эйлера-Пуассона для случая Горячева-Чаплыгина располагаются на бифуркационной диаграмме на ветвях III и II соответственно (см. рис. 46, 53-56). Численные исследования показывают, что движения полной системы в абсолютном пространстве, соответствующие этим решениями, также периодические при любых значениях энергии (см. рис. 55, 56). Этот факт ранее, по-видимому, не отмечался в литературе и отражает специфику динамики твердого тела на нулевой постоянной площадей (М, 7) = О (ср. с решениями Делоне для случая Ковалевской, 4 п. 3). Вместо формального доказательства мы приводим серию рисунков, наглядно подтверждающих это утверждение. На них представлены траектории системы как на сфере Пуассона, так и траекторий апексов в абсолютном пространстве, большинство из них достаточно сложны. [c.141]

В 3,2 обсуждаются строгие математические результаты, касающиеся важных особенностей поведения системы, включая теорему KAM, которая устанавливает устойчивость квазипериодиче-ских колебаний под действием достаточно малого возмущения. Проанализированы условия умеренной нелинейности, которая необходима для теоретического анализа регулярного движения. На основании теоремы Пуанкаре—Биркгофа о неподвижной точке рассматривается структура фазового пространства вблизи устойчивых и неустойчивых периодических траекторий, в том числе и стохастические слои. Излагая математические результаты, мы не стремимся к строгости. Читателям, интересующимся математическими аспектами теории, следует обратиться к обзорам Арнольда и Авеза [14] и Мозера [310 J, в которых приведены многие математические доказательства, [c.176]

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ, Стационарные состояния дви жения нелинейных систем осуществляются обычно в виде или со стояний устойчивых периодических колебательных движений, ил1 устойчивых равновесных состояний, которые можно считать такз периодическими движениями с периодом, равным оо. Но наряду ( устойчивыми периодическими движениями в нелинейных систе мах возможны и неустойчивые периодические движения. Толью устойчивые состояния осуществляются в действительности, и толь ко такие состояния могут иметь практический интерес. Понятн поэтому, какое большое значение имеет установление признано устойчивости периодических движений нелинейных систем. Ив да самое нахождение периодических движений является решение некоторой задачи на устойчивость, как это имеет место, например в нелинейных системах Ляпунова Именно по этим соображе ниям учению о нелинейных колебаниях предпосылается кратко введение в теорию устойчивости движения. [c.380]

Выше было установлено, что в типовых гидравлических следящих приводах с нелинейностями вида T v ) и p h, q) граничное подведенное давление рпг является границей между областью устойчивости равновесия, для (которой уравнение движения привода не дает периодических решений, и областями автоколебаний и устойчивости в малом , для которых это уравнение дает два периодических решения — устойчивое и неустойчивое, причем при граничном подведенном давлении рт оба периодических решения совладают по величине. Таким образом, граничное подведенное давление рпг может быть найдено в результате определения граничных условий совпадения амплитуды Ау устойчивых и Ан неустойчивых периодических решений уравнения движения гидра1влического следящего привода. Отыскание граничного подведенного давления Рт может быть осуществлено графическим способом по методике, изложенной в работе [71]. Такой способ нахождения решения, однако, громоздок и неудобен. Попробуем найти математическое выражение для граничного подведенного давления Рт привода, построенного по схеме на рис. 3.1 и имеющего управляющий золотник с открытыми щелями в среднем положении, из системы уравнений (3.40), первое из которых является квадратным, а второе — кубическим уравнением относительно амплитуды А периодических перемещений привода. Непосредственное аналитическое определение граничного подведенного давления рт из уравнений (3.40) произвести невозможно в связи с тем, что при отыскании его мы имеем дело с тремя переменными А, Q, рп, а уравнений в системе (3.40) только два. 152 [c.152]

Ляпунов дал строгое решение вопроса о том, когда при исследовании задачи об устойчивости движения можно ограничиваться рассмотрением первого приближения. Он установил особые слу 1аи, при которых использование первого приближения не решает задачу об устойчивости. Большой заслугой его явилось подробное исследование уравнений, в которых коэффициентами являются периодические функции с одним и тем же периодом. Оп указал признаки устойчивости и неустойчивости для периодических двингений. Отметим еще, что он впервые доказал теорему, согласно которой положение равновесия при некоторых дополнительных условиях неустойчиво, если в положении равновесия потенциальная энергия не мини- [c.248]

Явление нелинейной резонансной вибрационной устойчивости и перемешивания многофазных сред в слабых и сильных гравитационных полях. В качестве модели рассмотрим многофазную среду жидкость—пузырьки—твердые частицы, помещенную в цилиндрический бак, при вертикальных вибрационных воздействиях. Исследование, проведенное с помощью нэтоженной выше методики, а также серия целенаправленных экспериментов [5, 10, 13] позволили выявить устойчивый режим дви- кения, при котором часть пузырьков локализуется в определенной области течения, образуя газовое скопление, а другие мелкодисперсные элементы совершают чрезвычайно интенсивное периодическое движение, способствующее быстрому перемешиванию среды. Механизм этого явления раскрыт в работах [5, 10, 13], в которых показано, что оно обусловлено возникновением в среде перемещающихся вследствие изменения динамических характеристик системы областей устойчивого и неустойчивого равновесия мелкодисперсных элементов среды. Это явление в земных условиях неразрывно связано с резонансными колебаниями вибрационно-стабилизированных внутри среды локальных газовых скоплений, а в условиях ослабленной гравитации оно может осуществляться с резонансными колебаниями и разрушением свободной поверхности объема, занятого многофазной средой [c.113]

В работах [179, 183, 184] получены формулы для коэффициентов нормальных форм неавтономных гамильтоновых систем и выведены соответствующие условия устойчивости и неустойчивости положения равновесия, выраженные через эти коэффициенты. В этих работах показано, что решение проблемы нормализации в окрестности положения равновесия одновременно позволяет решить проблему существования, построения и исследования устойчивости малых периодических и условно-периодических движений в окрестности этого положения равновесия. В заключение отметим, что многочисленные приложения этих результатов к задачам небесной механики и космодинамики можно найти в моно- [c.239]

Бифуркации на двумерном торе могут быть вызваны изменением числа вращения Пуанкаре его обмотки. При рациональном числе вращения обмотка тора периодическая, точнее, на торе есть устойчивые периодические движепия, а остальные фазовые траектории к ним приближаются, за исключением такого же числа неустойчивых периодических движений, которые играют роль разделяющих границ локальных областей притяжения устойчивых периодических движений. При иррациональном числе вращения обмотка двумерного тора квазипериодическая. Число вращения Пуанкаре как функция параметра в общем случае ку-сочпо-постоянная, при всяком ее изменении происходят бифуркации обмотки тора — фазового портрета иа торе. Бифуркации отдельных периодических движений на торе ничем не отличаются от описанных уже бифуркаций периодических движений. [c.167]

Смена устойчивости состояний равновесия О, и Ог происходит при переходе через границу Л и и поэтому сопровождается либо влипанием в них неустойчивых седловых периодических движений, либо рождением устойчивых периодических движений. Что именно произойдет, зависит от знака ляпуновской величины. Ее подсчет дает, что имеет место влипание неустойчивого периодического движения. При Ъ = 8/3 и о = 10 потеря устойчивости состояниями равповесия и одновременное влипание в них неустойчивых седловых периодических движений и согласно (3.6) происходит при г = 24,74. [c.186]

С помощью преобразования прямой в прямую (3.11) пове,до-ние фазовых траекторий уравнения Лоренца можно отобразить в виде серии точечных отображений прямой в прямую, показанных па рис. 7.28. Первый рис. 7.28, а отвечает устойчивости состояния равновесия О (0<г<1), второй рис. 7.28,6 — появлению двух устойчивых состояний равновесия О, и О2, третий рис. 7.28, в — рождению неустойчивых периодических движений Г1 и Гг и появлению разрыва непрерывности, четвертый рис. 7.28, г — возникновению стохастического аттрактора, пятый рис. 7.28, д — влинанию периодических движений Г1 и Гг в состояпия равновесия О1 и Ог и последний 7.28, е — появлению у графика точечного отображения горизонтальных касательных и в связи с этим устойчивых неподвижных многократных точек. Мы видим, что в этой интерпретации возникновение стохастичности и системе Лоренца похоже на то, как возникает стохастичность в неустойчивом осцилляторе с отрицательным трением и ударами, рассмотренном в гл. 3. [c.194]

При больгиих значениях h фазовый портрет фактически весь состоит из регулярных траекторий и его вид определяется двумя — устойчивым и неустойчивым — двухзвенными периодическими движениями (рис. 18, h = 25). При h оо вся картина стремится к множеству горизонтальных прямых линий, что (как и в случае биллиарда в однородном поле) отвечает классическому кинематическому круговому биллиарду Биркгофа. [c.220]

При [X > 1Ыоо при некоторых х рождаются (парами — устойчивая и неустойчивая) траектории периодического движения (последовательно с периодами 1, 6, 5, 3,. .. (см. рис. 2.26), каждая из которых затем испытывает последовательность бифуркаций удвоения периода со своей точкой сгущения. Кроме того, здесь на отрезке О х 1 существуют полосы стохастического движения, причем при значениях 1Лоо <. .. < л < <. .. < 1 они испытывают обратные бифуркации удвоения пе2иода, при которых число полос уменьшается вдвое, а сами они расширяются (и сливаются), следуя закону подобия с теми же константами б и а, что и выше. Так, после (п+1)-й бифуркации средняя квадратичная ширина полосы равна oг 2Л-oг 2У Wn, откуда Wn = [c.135]

Выше было показано, что в любой окрестности периодического движения общего устойчивого типа, с переменными периодами в формальных рядах, существуют соседние псриодичсскис движения как устойчивого, так и неустойчивого типа. Естсствспно, возникает вопрос имеются ли подобно этому псриодичсскис движения, сколь угодно близкие к какому-нибудь периодическому движению неустойчивого типа Конечно, такое движение не может оставаться вблизи данного периодического движения в течение всего периода. На этот вопрос может быть дан утвердительный ответ. А именно, можно показать, что когда обе асимптотические аналитические ветви периодического движения неустойчивого типа пересекаются, то будет существовать бесконечное множество периодических движений, проходящих через сколь угодно малую окрестность соответствующих двояко-асимптотических движений и данного периодического движения неустойчивого типа . [c.239]

Другие периодические траектории. При уменьшении параметра С от Со до Соо происходит бесконечное число бифуркаций удвоения. При С сСоо также имеются области периодического движения. Периодические траектории рождаются здесь парами (устойчивая и неустойчивая) в результате тангенциальной бифуркации. В качестве примера 2) рождения траектории с периодом 3 на рис. 7.15 отложена зависимость [c.440]

Обсудим механизмы возникновения и некоторые свойства гомо-клинических структур. Вернемся к неавтономному осциллятору (15.9). При л ф О возникает седловое периодическое движение (рис. 15.15). В фазовом пространстве xxt, ему соответствует траектория, проходящая в моменты t = 2тгп (и = —1, О, 1, 2,. ..) через начало координат. Устойчивая и неустойчивая сепаратрисы теперь становятся поверхностями. Та поверхность, по которой траектории стремятся к периодическому движению, называется устойчивым многообразием (И а) та, по которой уходят от него (или стремятся к нему при t = —оо), — неустойчивым (Wu)- [c.325]

Ввиду того, что в основной своей части отображение является растягивающим, переходные процессы в такой системе могут быть достаточно сложными. Однако при оо все траектории стремятся к единственному аттрактору — устойчивой неподвижной точке, которая соответствует устойчивому периодическому движению. Пусть теперь при изменении параметра участок 3 поднимается над биссектрисой. При этом устойчивая и неустойчивая неподвижные точки будут сближаться, затем сольются и исчезнут — устойчивое периодическое движение исчезает (рис. 22.21в). Если деформированное таким образом отображение оказывается в среднем растягивающим, то новые (более высокой кратности) устойчивые периодические точки не возникнут, и система будет двигаться стохастически. [c.488]

В главе 3 изучается устойчивость гамильтоновой системы с одной степенью свободы и 2я-периодической по времени функцией Гамильтона. К такой системе может быть, например, приведена задача об устойчивости периодических движений круговой ограниченной задачи трех тел, отличных от точек либрации. Предполагается, что линеаризованная система устойчива, а ее мультипликаторы различны. Частные случаи этой задачи рассматривались в классических исследованиях Леви-Чивита и в недавних работах Зигеля, Мермана, Каменкова и Мустахишева. В главе 3 рассматриваются как нерезонансный, так я резонансный случаи (когда характеристические показатели + X таковы, что число кХ будет целым при произвольном целом к > 3). Исследование основано на приведении функции Гамильтона к нормальной форме и последующем применении теоремы Ляпунова о неустойчивости и теоремы Мозера об инвариантных кривых [72]. Получены условия устойчивости и неустойчивости. [c.11]

Из табл. 10, 11 и 14 видно, что для полного решения задачи (т. е. и при резонансных значениях параметров) об устойчивости периодических движений I и III типов достаточно учесть конечное число членов разложения гамильтониана (члены Я в задаче 1а), члены Я в задаче 16) ичленнЯ в задаче 3)). Как видно из табл. 12, 13, в задачах 2а), 26) число резонансов счетно (точкой накопления резонансов на оси 0 л является точка ц = 0). Это означает, что никакого конечного числа членов разложения функции Гамильтона недостаточно для окончательного решения задачи об устойчивости периодических движений II типа. Однако даже на основании анализа конечного числа членов разложения гамильтониана можно сделать достаточно полные выводы об устойчивости и неустойчивости в резонансных случаях (см. И). Мы ограничимся рассмотрением в функции Гамильтона (4.2) членов до Я включительно. [c.221]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...