Отображения, неустойчивые неподвижной точке

Орбитно устойчивому или орбитно неустойчивому периодическому движению отвечает соответственно устойчивая или неустойчивая неподвижная точка. Для того чтобы убедиться в справедливости всех этих утверждений, а также выяснить другие свойства точечного отображения, вновь рассмотрим случай двумерного фазового пространства, т. е. рассмотрим автономную динамическую систему второго порядка, поведение которой описывается дифференциальными уравнениями [c.71]

Точки 0" , . .., — седловые неподвижные точки. Точка O " — неустойчивая неподвижная точка. Поведение фазовых точек в их окрестностях совершенно такое же, как и в соответствующих случаях особых точек дифференциальных уравнений. Полная аналогия качественных видов малых окрестностей простых особых точек дифференциальных уравнений и простых неподвижных точек точечного отображения может быть объяснена возможностью аппроксимации в этой окрестности точечного отображения Г-отображением сдвига некоторого дифференциального уравнения [41]. При этой аппроксимации в линейном приближении точечные отображения Т иТ. в окрестности их общей неподвижной точки совпадают и между корнями X/ и 2/ характеристических уравнений особой и неподвижной точек при соответствующей их нумерации имеют место соотношения [c.249]

Как известно, устойчивым (неустойчивым) неподвижным точкам отображения, простым и кратным, соответствуют устойчивые (неустойчивые) периодические установившиеся движения соответствуюш,ей динамической системы. Поэтому изучение точечного отображения предполагает, в пер- [c.284]

На рис. 7.31 представлен график взаимно однозначного точечного отображения, заключенный между горизонтальными асимптотами х = / (—оо) и je = / (+оо). При этом любая точка х прямой преобразуется внутрь отрезка (/ (—оо), / (+оо)), на котором имеется три неподвижные точки X, х1 и xt. Неподвижные точки х и х% устойчивые, а неподвижная точка х% — неустойчивая. Всякая точка полупрямой (—оо, xf) при последовательных применениях отображения асимптотически приближается к точке х, а всякая точка полупрямой (х , -foo) — к точке х,. Таким образом, вся прямая разбивается неустойчивой неподвижной точкой на две области притяжения Я (х ) и П (Ха) устойчивых неподвижных точек л и [c.285]

Отображение Ад имеет три неустойчивых неподвижных точки на расстоянии порядка е от начала координат, близкие к вершинам правильного треугольника. При достаточно малых отклонениях от резонанса (т. е. при достаточно малых е) отображение А также имеет три неустойчивые неподвижные точки вблизи вершин равностороннего треугольника. Это вытекает из теоремы о неявной функции. [c.362]

Условия устойчивости и неустойчивости неподвижной точки точечного отображения. I. Неподвижная точка s точечного отображения s =/(s) устойчива, если [c.97]

Как мы уже видели в задаче об ускорении Ферми ( 3.4), граница стохастичности ) отделяет сплошную стохастическую компоненту при малых скоростях частицы от области со стохастическими слоями вблизи сепаратрис резонансов при больших скоростях (см. рис. 4.1, 1.14, и 3.15). Эта граница отличается от границы устойчивости 5, ниже которой все неподвижные точки соответствующего отображения неустойчивы. Оказывается, что откуда следует, что неустойчивость неподвижных точек достаточна, но не необходима для глобальной стохастичности, т. е. это условие является слишком сильным. Мы же ищем более эффективный критерий, которой был бы и необходимым, и достаточным. К сожалению, чисто аналитического метода получения такого критерия не существует. Поэтому приходится прибегать к различным правдоподобным рассуждениям, подкрепленным численными экспериментами. В этой главе мы рассмотрим пять методов, описанных качественно в п. 4.1а, каждый из которых дает свой вклад в понимание рассматриваемой проблемы. В качестве модели для иллюстрации этих методов мы используем стандартное отображение, свойства которого обсуждаются в п. 4.16. [c.246]

На рис. 7.6, а показан странный аттрактор для а = 1,4, полученный за 10 итераций отображения с начальными условиями вблизи неустойчивой неподвижной точки. Более детальная структура аттрактора видна на рис. 7.4, б—г, представляющих собой последовательно увеличенные участки фазовой плоскости. Видно, что структура аттрактора при изменении масштаба повторяется, т. е. имеет место масштабная инвариант- [c.420]

При любом Ь у этого отображения имеется неподвижная точка Хк+1 = Хк = X = О, а при Ь > 1 — еще одна х = 1 — 1/Ь. Эта точка устойчива вплоть до Ь = 3. При Ь > 3 нетривиальная неподвижная точка становится неустойчивой мультипликатор (1хи+1/(1хи в этой точке переходит через значение —1 и возникает устойчивое периодическое движение периода 2. Этому соответствует появление двух действительных корней в уравнении хи+2 = хи- Однократная неподвижная точка не исчезает, но она становится неустойчивой. Двукратный цикл устойчив в интервале изменения параметра 3 < Ь < 3,45. Когда Ь и 3,45 двукратный цикл теряет устойчивость и рождается устойчивый четырехкратный цикл. Дальнейшее увеличение Ь приводит к тому, что он теряет устойчивость и возникает устойчивый цикл периода 2 , затем периода 2 ,. .., 2", 2"+1 и т. д. Наконец, при 3,57 устойчивых периодических движений не остается и происходит переход к стохастичности. В трехмерном фазовом пространстве этому соответствует появление странного аттрактора (рис. 22.16). Обратим внимание на то, что и при Ь > 3, 57 это отображение может иметь устойчивые периодические точки например, при Ь = 3,83 существует устойчивый трехкратный цикл [14]. [c.478]

В главе 6 также рассмотрены резонансные случаи и для резонансов третьего и четвертого порядков доказаны утверждения о неустойчивости неподвижных точек точечных отображений, задаваемых периодическими по времени гамильтоновыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказательства основаны на перенесенной здесь на точечные отображения теореме Четаева о неустойчивости. [c.13]

Характер неподвижной точки отображения Т секущей S определяет поведение фазовых траекторий в окрестности периодического движения Г. Именно, точке O соответствует устойчивое периодическое движение Г" точке О " — неустойчивое периодическое движение Г ", точке ОР ч (р, q Ф 0) — седловое Через седловое [c.249]

Отображение (7.44) преобразует отрезок [О, 1] на себя, имеет бесконечное число различных кратных неподвижных точек, однако, как можно обнаружить, все эти неподвижные точки неустойчивые. Действительно, согласно [c.290]

Неподвижные точки отображений (32,8) отвечают 2" -циклам ). Поскольку все эти отображения имеют тот же вид, что и (32,5), то можно сразу заключить, что 2" -циклы (т = 1, 2, 3,. ..) становятся неустойчивыми при Xm = Ai=3/4. Соответствующие же критические значения Лт исходного параметра X получаются путем решения цепочки уравнений [c.174]

Рассмотрим теперь, как меняются фазовые портреты точечного отображения в окрестности замкнутой кривой Г при бифуркациях типов N 1, N-1 и Сначала пренебрежем малым различием корней характеристических уравнений неподвижных точек, принадлежащих разным циклам, а затем учтем его и оценим вносимые изменения. При бифуркациях типа N+1 происходит слияние неподвижных точек на Г с неподвижными точками, лежащими вне Г, и их исчезновение. Это соответствует слиянию устойчивого тора с неустойчивым и их исчезновению. При бифуркации типа Л - по теореме 5.7 возможно либо отделение от каждой из неподвижных точек новых неподвижных точек удвоенной кратности либо слияние с ними неподвижных точек удвоенной кратности. Один из таких случаев представлен на рис. 5.19. Необходимо только иметь в виду, что эти случаи возможны только при размерности исходного фазового пространства не меньше четырех и соответственно размерности секущей 2 пе меньше [c.121]

Его график представлен на рис. 7.14. С уменьшением е парабола графика отображения спускается вниз. При е = е возникает критическая неподвижная точка, которая затем разбивается на две неподвижных точки У1 и Уг. Сначала одна из иих устойчива, а другая — неустойчива. Неустойчивая и при дальнейшем убывании параметра е остается неустойчивой, а устойчивая точка становится неустойчивой, претерпевая бифуркацию, соответствующую границе Л -,. При этой последней бифуркации рождается двукратная устойчивая точка, с которой происходит такая же бифуркация и т. д., пока устойчивая точка не исчезнет и не останутся в бесконечном числе одни неустойчивые точки. [c.181]

При = О имеем интегрируемую гамильтонову систему с одной степенью свободы. Предположим, что невозмущенная система имеет в области О три неустойчивых невырожденных положения равновесия 1, 2 и Zз, соединенных двоякоасимптотическими траекториями Г1 и Г2, как показано на рис. 27. Точки Zl и zз могут совпадать, однако мы требуем, чтобы Zl ф Z2. Точки Zl, Z2 к. zз — неподвижные точки отображения 50 за период I = 2тг невозмущенной системы, а Г1 и Г2 — инвариантные кривые этого отображения, заполненные точками, которые при положительных (отрицательных) итерациях отображения 50 стремятся к точке Z2 zl) для кривой Г1 и к точке zз ( 2) для кривой Г2. При малых значениях [c.288]

Если хотя бы одно из отображений А, А2 имеет собственное значение, большее единицы, причем соответствуюш ий собственный вектор не лежит в касательной плоскости к поверхности ф х) = О, построенной в неподвижной точке, то последняя неустойчива. [c.250]

В случае N = 3 секущей 2 может служить некоторая плоскость. Периодической траектории на 2 соответствует неподвижная точка отображения П, а устойчивому и неустойчивому многообразиям — устойчивая и неустойчивая сепаратрисы (см. рис. 2.23, на котором для наглядности последовательные точки пересечения 2 фазовой траекторией соединены плавными линиями). Если у сепаратрис есть общая точка, то и все ее образы при п- оо и прообразы прн [c.126]

Сценарий Помо и Манне-БИЛЯ (1980) возникновение перемежаемости во времени периодического и стохастического движения после обратной тангенциальной бифуркации (слияния и исчезновения устойчивой и неустойчивой неподвижных точек отображения Пуанкаре, т. е. устойчивой и неустойчивой периодических фазовых траекторий), причем промежутки времени со стохастическим движением случайны,, а с периодическим — пропорциональны ц — Примером мо- [c.138]

Каждая из трех неустойчивых неподвижных точек отображения А также имеет сепаратрисы, близкие к сторонам треугольника (рис. 240). А именно, те точки плоскости, которые стремятся к неподвижной точке М при применении к ним отображений Л", п 4- оо, образуют гладкую кривую Г , инвариантную относительно А, проходящую через точку М и вблизи точки М Рис. 240. Расщепление близкую К стороне MgNg треугольника сепаратрис сеператрис преобразования Ад. Те же точ- [c.362]

Введение функции последования позволяет для формулировки вопросов устойчивости и неустойчивости замкнутой траектории использовать вопросы устойчивости и неустойчивости неподвижной точки точечного отображения = / (я). [c.96]

Для одномерного отображения устойчивость неподвижной точки удобно иллюстрировать с помощью диаграммы (диаграмма Ламерея), изображающей последовательность (15.6). Для этого построим на плоскости хихи-1 кривую зависимости хи = 8 хи-1), тогда неподвижная точка определяется пересечением этой кривой с прямой хи = хи-1 (рис. 15.9). Лесенка Ламерея позволяет определить устойчивость неподвижной точки рис. 15.9 а — лесенка ведет к устойчивой неподвижной точке, при этом (1хи/(1хи-1 < 1 рис. 15.9 6 — лесенка уводит от неподвижной точки, (1хи/(1хи-1 >1 — неустойчивость. [c.317]

При значении параметра Ь = 4 точка максимума х = 1/2 является прообразом неустойчивой неподвижной точки х = О (точка ж = О является последующей для ж = 1/2). Если сделать замену переменной у = (р х) = = (2/тг) ar sin[6], то отображение (рис. 22.66) при Ь = 4 превратится в кусочно-линейное отображение (рис. 22.6а) [c.469]

Ввиду того, что в основной своей части отображение является растягивающим, переходные процессы в такой системе могут быть достаточно сложными. Однако при оо все траектории стремятся к единственному аттрактору — устойчивой неподвижной точке, которая соответствует устойчивому периодическому движению. Пусть теперь при изменении параметра участок 3 поднимается над биссектрисой. При этом устойчивая и неустойчивая неподвижные точки будут сближаться, затем сольются и исчезнут — устойчивое периодическое движение исчезает (рис. 22.21в). Если деформированное таким образом отображение оказывается в среднем растягивающим, то новые (более высокой кратности) устойчивые периодические точки не возникнут, и система будет двигаться стохастически. [c.488]

В этом параграфе рассмотрим задачу об устойчивости неподвижных точек точечного отображения, задаваемого гамильтоновыми дифференциальными уравнениями. Будут рассмотрены случаи, когда величины Лг связаны резонансными соотношениями третьего и четвертого порядков. Будут доказаны два утверждения о неустойчивости. Их доказательство основано на приведении точечного отображения в окрестности неподвижной точки (которую считаем совпадающей с началом координат) к нормальной форме с последующим применением теоремы 2 о неустойчивости неподвижной точки отображения. По аналогичной схеме исследована устойчивость положений равновесия гамильтоновой системы с одной и двумя степенями свободы в работах автора [53, 55, 60] и автономной гамильтоновой системы с произвольным числом степеней свободы в работе Хазина [92]. Теоремы о неустойчивости, полу- [c.117]

На рис. 7.42 приведена диаграмма отображения Т в случае, когда а == /.<,. Здесь имеется два цикла, каждьи 1 ип которых состоит из трех трехкратных неподвижных точек. Один цикл нз устойчивых неподвижных точек и другой —неустойчивых. [c.297]

Для неподвижных точек достаточно гладкого в их окрестности точечного отображения справедливы следующие утверждения. В окрестности неустойчивой (устойчивой) узловой неподвижной точки существует заполняющее ее множество несамопересекающихся гладких выходящих [c.359]

Пусть х —однокомпонентная величина (it= 1) и х—неподвижная точка отображения (10), л=/(х). Точка х асимптотически устойчива, если в ней (df/dx)x=x < U и неустойчива, если знак неравенства противоположный. Тем самым асиптотическая У. неподвижной точки л эквивалентна сходимости итерационного процесса (10) решения ур-ния х-/ х)=0. [c.256]

Па первый взгляд, наличие квадратного корня из возмущения предопределяет неустойчивость отображения (15). Однако, Nordmark обнаружил (не приводя строгого математического доказательства) один случай устойчивости Л1 2 (0 1) (в других случаях имеет место неустойчивость). При этом оказывается, что любая траектория в окрестности неподвижной точки не более двух раз испытывает удар (т. е. попадает на сечении в область % < 0), а затем она лежит в области притяжения с безударной стороны % > 0. [c.247]

При учете неабсолютной жесткости связи можно разложить бифуркацию касания на последовательность стандартных бифуркаций неподвижных точек гладких отображений. Так, вышеупомянутая потеря устойчивости сопровождается бифуркацией удвоения периода. Рождаюгциеся в результате устойчивые решения двойного периода в свою очередь либо сливаются с неустойчивыми решениями того же периода и исчезают, либо проходят через удвоение периода и т. д. В случае, когда имеется бесконено много удвоений периода, движение принимает хаотический характер. [c.248]

Смотреть страницы где упоминается термин Отображения, неустойчивые неподвижной точке : [c.351] [c.120] [c.121] [c.169] [c.454] [c.317] [c.286] [c.351] [c.361] [c.170] [c.182] [c.85] [c.162] [c.94] [c.26] [c.68] [c.248] [c.254] [c.288] [c.133]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...