Число вращения иррациональное

В этой главе исследуются качественные свойства типичных вращений тяжелого твердого тела в случае Горячева-Чаплыгина, когда первые интегралы уравнений движения независимы. Найдены числа вращения касательных векторных полей на двумерных инвариантных торах. Показано, что нутация твердого тела — квазипериодическое движение, а собственное вращение и прецессия обладают главным движением. Если число вращения иррационально, то в случае быстрых вращений твердого тела главное движение линии узлов равно нулю. [c.148]

Теперь обратим наши рассуждения в том смысле, что будем аппроксимировать рациональные числа вращения иррациональными и, рассматривая [c.431]

Если го дА не принадлежало бы замыканию какой-нибудь критической орбиты, то можно было бы построить маленький диск V вокруг го так, чтобы орбиты всех критических точек не попадали бы в V. Это означало бы, что каждая ветвь п-кратной итерации обратной функции могла быть определена как однозначная голоморфная функция У — С. Выберем ту из ветвей, которая переводит пересечение Д П У в Д ясно, что это отображение является вращением диска Д. Поскольку число вращения иррационально, можно выбрать некоторую подпоследовательность итераций обратных отображений, сходящуюся на Д П У к тождественному отображению. Поскольку семейство этих отображений не принимает значений в центральной части Д, оно должно быть нормальным. Значит, существует подпоследовательность сходящаяся локально равномерно на всем У ясно, что предельное отображение обязано быть тождественным. Отсюда легко следует, что соответствующая последовательность итераций /° ( ) также сходится к тождественному отображению на V. Но это противоречит 14.2. [c.186]

Для векторного поля класса С, г 2, непрерывно зависящего от , интервалы постоянства числа вращения могут соответствовать как рациональным, так и иррациональным значениям (о кроме того, некоторым рациональным значениям могут не-соответствовать интервалы постоянства . [c.104]

Если для некоторой системы на есть глобальная секущая, — компактная трансверсаль ко всем траекториям системы,— то можно ввести число вращения Пуанкаре, иррациональному значению которого соответствует наличие незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории. По теореме Биркгофа (см., например, [91]) в замыкании незамкнутой устойчивой по Пуассону траектории содержится континуальное множество незамкнутых устойчивых по Пуассону траекторий, каждая из которых всюду плотна в нем. Таким образом, если система имеет иррациональное число вращения, то ее неблуждающее множество содержит бесконечное множество траекторий. [c.149]

Для любого однопараметрического семейства -гладких, r l, векторных полей на Т , непрерывно зависящих от параметра и обладающих при каждом его значении глобальной секущей, число вращения непрерывно зависит от параметра. Если оно изменяется, то неминуемо принимает иррациональные значения. Следовательно, системы с бесконечным неблуждающим множеством встречаются неустранимым образом в однопараметрических семействах векторных полей, обладающих разными числами вращения хотя бы для двух значений параметра. [c.149]

Для общего двухпараметрического семейства векторных полей, в котором происходит рождение двумерного тора из цикла с мультипликатором е , ф О, я, 2я/3, л/2, можно показать, что бифуркационная кривая, отвечающая в этом семействе векторным полям с некоторым фиксированным иррациональным числом вращения, будет гомеоморфным и, как вытекает из [18] для почти всех чисел вращения, диффеоморфным образом отрезка. Может ли теряться гладкость этой кривой для некоторых (иррациональных) чисел вращения, неизвестно. [c.150]

Перейдем к изучению того случая, когда уравнение (10.1) имеет иррациональное число вращения. Как следует из теоремы 10,2, все интегральные кривые на торе незамкнуты. [c.160]

Теорема 10.9. Пусть число вращения 1 . иррационально, а множество Р совпадает со всем нулевым меридианом, тогда существует гомеоморфное преобразование 8 тора на себя, такое, что интегральные кривые уравнения [c.170]

Лемма II./. Если число вращения уравнения (11.1) иррационально, то оно неустойчиво. [c.176]

Доказательство. Доказательство леммы мы будем проводить от противного. Предположим сначала, что число вращения 1 уравнения (11.1) иррационально. Возьмем произвольное е > 0. Сделаем относительно решения 6 = (ср, 0) уравнения (11.1) такие же предположения, как и при доказательстве леммы 11.1. Как было показано, тогда число вращения (Х уравнения (11.9) больше числа вращения (х уравнения (11.1). В силу теоремы 11.1 число вращения (15(е) уравнения (11.9) зависит от е непрерывно, и потому существует такое бо < е, что число вращения х (ед) рационально. Но ясно, что тогда не существует топологического преобразования тора R на себя, переводящего интегральные кривые уравнения (11.1) в интегральные кривые уравнения (11.9), в котором е = 5о ибо в противном случае при таком преобразовании незамкнутая кривая переходила бы в замкнутый цикл, что невозможно. Но тогда из определения 11.2 следует, что уравнение (11.1) не является грубым. Мы получили [c.180]

Разнообразные модули дают существенную, хотя и не полную информацию о гладкой эквивалентности в окрестности вращения i . Число вращения (см. определение 11.1.2) является С -модулем, и для некоторых иррациональных а его значения определяют класс гладкой эквивалентности (см. теорему 12.3.1). [c.73]

Все окружности 5 х у инвариантны относительно интегрируемых закручивающих отображений, на которых они действуют, как поворот на монотонную функцию д. Поэтому для каждого рационального значения д получается инвариантная окружность с числом вращения д у), и, таким образом, имеется бесконечное множество семейств периодических орбит, разделенных окружностями с иррациональными числами вращения. Интервал закручивания в этом случае имеет вид (Нтд(у), lim д(у)). [c.356]

Если число вращения принимает иррациональное значение, то, как показывает следующее предложение, оно оказывается строго возрастающей величиной. [c.395]

Таким образом, в силу предложения 11.1.9 иррациональное значение числа вращения неустойчиво. Однако для рациональных значений числа вращения ситуация меняется. [c.395]

Доказательство. По предложению 11.1.8 и предложению 11.1.6 величина т монотонна и непрерывна. С учетом предложения 11.1.10 отсюда следует, что т (5 ) представляет собой непересекающееся объединение замкнутых отрезков положительной длины. Мы должны показать, что множество T (S ) плотно. Увеличивая, если нужно, множество S, мы можем предположить, что если т(/ ) = р/д eQ S, то отображение /j топологически сопряжено к Тогда из предложения 11.1.9 следует, что величина т строго монотонна в точках t е т ([0,1] S ) число вращения строго возрастает, в случае когда оно принимает иррациональные значения и в случае отображений окружности, сопряженных рациональным поворотам. Таким образом, для t е [О, 1) t" (S ) и е > О мы имеем r(i) ф r(i -t- е) и, следовательно, в силу плотности множества S, непрерывности т и теоремы [c.396]

Последнее утверждение напоминает полученный ранее результат о том, что в случае рационального значения числа вращения периодические орбиты упорядочиваются таким же образом, как для соответствующего поворота. Для рациональных чисел вращения мы установили, что непериодические орбиты асимптотически приближаются к периодическим. Этот факт служит основанием для того, чтобы изучать асимптотическое поведение орбит также и для гомеоморфизмов с иррациональным значением числа вращения [c.399]

Это ограничение отсутствует в случае иррационального числа вращения, и в этом случае существует тесная связь с иррациональными поворотами. [c.401]

Теорема 11.2.7 (теорема Пуанкаре о классификации). Пусть f 5 —>5 — сохраняющий ориентацию гомеоморфизм с иррациональным числом вращения. [c.401]

Так как поворот на иррациональный угол строго эргодичен (см. теорему Кронекера — Вейля о равномерном распределении 4.2.1) и так как строгая эргодичность, конечно же, инвариантна относительно топологического сопряжения, любой транзитивный гомеоморфизм 5 с иррациональным числом вращения строго эргодичен. [c.403]

Теорема 11.2.9. Гомеоморфизм окружности с иррациональным числом вращения строго эргодичен и, как сохраняющее меру преобразование, метрически изоморфен повороту на иррациональный угол. [c.404]

Если к условиям, рассмотренным в предыдущей главе, добавить некоторые условия дифференцируемости, то можно установить несколько новых фактов из теории отображений окружности. В конце п. 11.2.6 мы наметили топологическую классификацию гомеоморфизмов окружности с иррациональными числами вращения. Если сосредоточить внимание на достаточно гладких диффеоморфизмах (см. теорему 12.1.1), ситуация существенно изменится. Предложение 12.2.1 показывает, что условие на гладкость является почти точным. Число вращения тогда становится полным инвариантом топологического сопряжения. Это несколько напоминает случай гиперболических динамических систем (см., например, теоремы 2.6.1 и 2.6.3). С другой стороны, классификация диффеоморфизмов окружности с точностью до дифференцируемого сопряжения возможна только для чисел вращения, удовлетворяющих дополнительным арифметическим условиям. В 12.3 мы докажем локальный результат такого типа в аналитической ситуации, а в 12.5 и 12.6 покажем, что в отсутствии такого арифметического условия сопряжение может обладать разного рода патологиями. В заключение в 12.7 мы покажем, что определенный аспект поведения преобразования поворота на иррациональный угол, а именно егО эргодичность относительно меры Лебега, сохраняется для всех достаточно гладких диффеоморфизмов окружности. [c.405]

Замечание. Согласно предыдущему замечанию эта теорема, в частности, верна для любого С -диффеоморфизма с иррациональным числом вращения. [c.405]

Лемма 12.1.2. Если / 5 —> 5 — гомеоморфизм с иррациональным числом вращения, то для любой точки х е 3 существует бесконечно много таких п eN, что интервалы / "( ))) пересекаются [c.406]

Пусть д(1 5 — 5. 4 6 [а, 6]. — такое семейство диффеоморфизмов, что набор их поднятий иа К представляет собой семейство целых функций, зависящее от г непрерывно. Предположим, что диффеоморфизм не является поворотом для любого 4 и что числа вращения т д ) не постоянны. Докажите, что существует несчетное множество таких чисел t, что диффеоморфизмы д топологически сопряжены с поворотом на иррациональный угол и их инвариантные меры сингулярны. [c.419]

Теорема 12.7.2. Пусть / 5 -> такой сохраняюи ий ориентацию диффеоморфизм, производная которого является функцией ограниченной вариации, что его число вращения иррационально. Тогда / —эргодическое относительно меры Лебега преобразование. [c.424]

O, Ф(то(1(12я) —координаты на торе [7]. Если число вращения иррационально, то движение условно-периодично и каждая траектория обматывает тор всюду плотно. Если число вращения рационально, то на торе существуют циклы если циклы невырождены, то их четное число (половина — устойчивые, половина—неустойчивые), и остальные траектории притягиваются к ним при /- - сж. Число вращения ц(е) в системе общего положения представляет собой непрерывную кусочно-постоянную на открытом всюду плотном множестве функцию от е (вроде кан-торовой лестницы, но только суммарная относительная мера интервалов постоянства на отрезке [О, ео] стремится к нулю прн со- О). Существование интервалов постоянства связано с наличием на торе невырожденных циклов при малом изменении е такие циклы не исчезают и, следовательно, число вращения не изменяется. При е- 0 в системе общего положения на торе происходит бесконечная последовательность бифуркаций рождения и исчезновения циклов. Все эти явления не улавливаются формальной процедурой теории возмущений. [c.164]

Тогда 1) число вращения со(е) диффеоморфизма /е—канторов-ская функция, не убывающая при dhldeyO и не возрастающая при дЬ1де<0 2) каждое свое рациональное значение функция со принимает на некотором интервале 3) функция ш строго возрастает при dhldsyO (строго убьшает при й/< е<0) на множестве тех значений г, которым соответствуют иррациональные значения (о. [c.105]

Бифуркации на двумерном торе могут быть вызваны изменением числа вращения Пуанкаре его обмотки. При рациональном числе вращения обмотка тора периодическая, точнее, на торе есть устойчивые периодические движепия, а остальные фазовые траектории к ним приближаются, за исключением такого же числа неустойчивых периодических движений, которые играют роль разделяющих границ локальных областей притяжения устойчивых периодических движений. При иррациональном числе вращения обмотка двумерного тора квазипериодическая. Число вращения Пуанкаре как функция параметра в общем случае ку-сочпо-постоянная, при всяком ее изменении происходят бифуркации обмотки тора — фазового портрета иа торе. Бифуркации отдельных периодических движений на торе ничем не отличаются от описанных уже бифуркаций периодических движений. [c.167]

В дальнейшем будем пользоваться следующей терминологией. Проведем через точку Од нулевого меридиана решение в = Г(< /, бц). После каждого оборота эта интегральная кривая будет пересекать нулевой меридиан в точках/ (2/гк, бц). Пусть бд — приведенная координата точки Р 2тс, бц), т. е. такая координата точки Р (2/гл, бц). которая лежит в полусегменте [О, 2л). Будем называть точки 6 . 62,. .. последующими точками для бд. Так как в силу предположения об иррациональности числа вращения х интегральная кривая б = ( р, %) незамкнута, то все точки б различны. [c.160]

Если число вращения х преобразования Т иррационально, то семейство кривых б = / (9, бц) не имеет на торе замк-иут 1Х кривых, а это в свою очередь означает, что преоб-рн оппние Т на окружности С не имеет неподвижных точек ин ири каком д. С другой стороны, если преобразование 7 имеет неподвижную точку М, Т М = М и Т М Ф М при [c.173]

Мы уже встречались с гомеоморфизмами окружности в предыдущих главах. Повороты (см. 1.3) представляют собой достаточно простой пример, который можно систематически исследовать. Пуанкаре поставил вопрос о том, при каких условиях данный гомеоморфизм или диффеоморфизм сопряжен повороту. Оказывается, что по крайней мере для достаточно гладких отображений единственный модуль — число вращения — полностью описывает топологический класс, если он является иррациональным, и трудности, возникающие для рациональных значений, легко могут быть описаны. Даже в топологическом случае иррациональность числа вращения гарантирует полусопряженность с соответствующим поворотом. [c.391]

Последнее предложение показывает, что структура орбит отображения с иррациональным числом вращения принципиально отлична от структуры орбит отображения с рациональным числом вращения. В то время как в случае рационального числа вращения все орбиты либо периодические, либо асимптотически стремятся к периодическим, для отображений с иррациональным числом вращения имеются две возможности либо все орбиты плотны, либо любая орбита или плотна в канторовом множестве или [c.400]

Позже мы приведем явную конструкцию подобного примера. Полная топологическая классификация гомеоморфизмов окружности с данным ир рациональным числом вращения г дается конечной или счетной совокуп ностью орбит поворота по модулю их одновременного сдвига. Конечно эти орбиты — в точности те же самые, что получаются в результате разду вания под действием полусопряжения из теоремы 11.2.7. Так как орбиты иррационального поворота плотны, эти инварианты не являются модулями [c.402]

В заключение отметим, что теорема Пуанкаре о классификации 11.2.7 полностью отвечает на вопрос относительно инвариантных мер для гомеоморфизмов окружности. В случае рационального значения числа вращения каждая эргодическая инвариантная мера атомарна это равномерная <5-об-разная мера, сосредоточенная на периодической орбите. Для иррационального значения числа вращения мы должны рассматривать отдельно транзитивный и нетранзитивный случаи. [c.403]

Пусть теперь / 5" —> 5 —нетранзитивный гомеоморфизм с иррациональным числом вращения. Так как образы любого отрезка из дополнения к единственному минимальному множеству Е отображения / не пересекаются, такой отрезок должен иметь меру нуль относительно любой /-инвариантной вероятностной меры /х, т. е. /1 3 Е) = 0. Но полусопряжение / [c.403]

Покажите, что сужение нетранзитивного гомеоморфизма / 5 —> 5 с иррациональным числом вращения на минимальное множество топологически сопряжено с символической динамической системой (точнее говоря, с ограничением топологического бернуллиевского сдвига СГ2 (см. 1.9.3) на замкнутое инвариантное множество Л). [c.404]

Теорема 12.1.1 (теорема Данжуа) [ ]. Всякий С" -диффеоморфизм / 5 — 5 с иррациональным числом вращения т(/) eK Q, производная которого имеет ограниченную вариацию, транзитивен и, следовательно, топологически сопряжен с Rruy [c.405]

Измените конструкцию, приведенную в этом параграфе, так, чтобы для данного /3>0 получить нетранзитивный С -диффеоморфизм с данным иррациональным числом вращения, производная которого удовлетворяет следующему условию, являющемуся более сильным, чем а-гёльдеровость для любого а < 1 [c.409]

В теореме Зигеля 2.8.2 мы видели, что скорость, с которой рациональные числа приближают данное иррациональное число вращения, влияет на динамические свойства отображения. Эта теорема гласит, что комплексное отображение с линейной частью Л, аргумент которой является диофантовым, аналитически сопряжено своей линейной части. Свойства рациональных приближений числа вращения существенны и для решения вопроса [c.409]

В настоящей главе мы расширим оба аспекта этого анализа таким образом, чтобы включить в него орбиты с иррациональными числами вращения. При этом будет интенсивно использоваться структурная теория гомеоморфизмов окружности, разработанная в гл. 11. В 13.2 мы сконцентрируем внимание на изучении свойства сохранения порядка, а в 13.3-13.4 — на вариационном описании. Наиболее впечатляющий результат, который мы получим, состоит в том, что в то время как для гомеоморфизмов окружности орбиты типа Данжуа, замыкания которых — минимальные нигде ни плотные множества, появляются только для отображений низкой регулярности (теорема 12.1.1), для закручивающих отображений подобные орбиты, замыкания которых (множества Обри — Мазера) проектируются в нигде не плотные канторовы множества на окружности, для произвольно гладких систем являются скорее правилом, чем исключением. Обоснованием этого замечания служат, в частности, результаты 13.5. [c.426]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...