Ляпуновская величина

Если 1 = 1, то первый не равный нулю коэффициент ai (в силу сформулированной теоремы он всегда нечетный) называется ляпуновской величиной. Если аз Ф О, то часто коэффициент аз обозначается через Ь и называется первой ляпуновской величиной. [c.74]

Если аз = 0, аъФ О, то аъ = 2 называется второй ляпуновской величиной и т. д. [c.74]

Кроме того, Дт является ляпуновской величиной, соответствующей одному, равному нулю характеристическому корню (см. гл. 6). [c.87]

Коэффициент аз (в других принятых обозначениях 1) и есть первая ляпуновская величина. В зависимости от знаков величин Ь = О и 1 = О сложный фокус может быть разной устойчивости и по-разному закручиваться (см. рис. 48, 49). При достаточно малых изменениях правых частей, при которых система делается грубой (т. е. действительные части характеристических корней делаются не равными нулю) [c.165]

Непосредственным вычислением устанавливается, что первая ляпуновская величина сложного фокуса имеет вид [c.177]

И первой ляпуновской величиной, отличной от нуля (см. 5 гл. 3) [c.186]

Поведение динамических систем вблизи таких значений параметров, при которых первая ляпуновская величина L[ обращается в нуль, существенно зависит от знака второй ляпуновской величины [c.198]

I. При Я = Яо система имеет сложный фокус первого порядка, т. е. состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями, у которого первая ляпуновская величина Ьх = = аз( ) отлична от нуля. Вводя обозначения [c.227]

Рассмотрим еще дополнительно поведение динамических систем вблизи тех точек границы, в которых А > О и R = О, где безопасная граница переходит в опасную, т. е. где первая ляпуновская величина L обращается в нуль. В этом случае поведение системы может быть определено знаком второй ляпуновской величины 2 = 5 =5 О (см. гл. 11, 5). [c.231]

В рассмотренном случае знак второй ляпуновской величины 2 играет роль, подобную знаку Ь, увеличивая или уменьшая [c.233]

Первая ляпуновская величина для системы (10) имеет вид [c.294]

Сложный фокус устойчив (аз < 0) при X > Хз и неустойчив (кз > 0) при X < Хз. При X = Хз ( 3 = 0) устойчивость сложного фокуса определяется знаком второй ляпуновской величины as. [c.294]

Мы покажем, что в некоторых случаях у системы может существовать два предельных цикла. Рассмотрим выражение для первой ляпуновской величины (полученное в приложении II) [c.309]

Приложение II. Для вычисления ляпуновской величины в случае, когда ( 2 — сложный фокус, приведем систему (1) в окрестности Ог к стандартной форме. Пусть тч, Иг — координаты состояния равновесия Ог. Полагая т— т2 = и я п — П2 = V, запишем систему (1) в новых переменных [c.313]

Подставляя значения коэффициентов в формулу для первой ляпуновской величины Ь, воспользуемся очевидными соотношениями [c.313]

Предельные циклы и петли сепаратрисы. Значениям Хо, Уо, лежащим на сплошной части линии а (см. рис. 171), соответствует наличие сложного фокуса. При изменении хо, уо, при которых точка пересекает сплошную часть линии а, фокус меняет устойчивость, при этом могут рождаться (или стягиваться) предельные циклы. Решение вопроса о числе и характере этих предельных циклов требует вычисления ляпуновской величины, что в рассматриваемой задаче весьма затруднительно. [c.331]

При переходе через поверхность oi= О в направлении возрастающих Ol фокус из устойчивого становится неустойчивым и из него появляется единственный устойчивый предельный цикл (первая ляпуновская величина для точек иоверхности Oi = О имеет значение аз = — [яЯ(1 — у ) ]/8 < 0). [c.346]

При переходе через кривую Оз = О в направлении возрастающих Ц, фокус из неустойчивого становится устойчивым и из него появляется неустойчивый предельный цикл (первая ляпуновская величина для точек кривой Оз = О имеет значение [c.438]

Естественно рассмотреть в первую очередь бифуркации простейших негрубых элементов и, прежде всего, простейших негрубых состояний равновесия. В трехмерных системах, так же как и в двумерных, простейшими негрубыми являются состояния равновесия с двумя чисто мнимыми характеристическими корнями. Для них Ляпуновым аналогично двумерным системам введены ляпуновские величины . В простейших из этих состояний равновесия первая ляпуновская величина отлична от нуля. В этом простейшем случае в трехмерных системах состояния равновесия могут быть двух типов сложным фокусом (устойчивым или неустойчивым) и сложным седло-фокусом °). Далее, простейшими негрубыми состояниями равновесия в трехмерных системах могут быть двукратные состояния равновесия, возникшие в результате слияния двух простых. На рис. 253 показано образование двукратного состояния равновесия седло-фокус — фокус в результате слияния двух простых — седло-фокуса и устойчивого фокуса. При надлежащих изменениях правых частей системы двукратные состояния равновесия либо опять разделяются на простые, либо исчезают (см. [38 ]). На рис. 254 [c.471]

Возможные бифуркации простейшего сложного фокуса с отличной от нуля первой ляпуновской величиной либо фокус становится грубым той же устойчивости, что и сложный фокус, либо из сложного фокуса рождается предельный цикл, а сложный фокус превращается в седло-фокус (см. [37 ]). [c.472]

Ляпуновские величины системы (3.1) в точке не вычислялись. Заметим, однако, следующее. При и = 4 решения системы [c.251]

Обсудим вопрос о единственности предельного цикла. Рассмотрим границу Ь = между областями II и III. В этой точке корни характеристического уравнения (5.15) чисто мнимые. По формуле из Приложения 1 вычислим первую ляпуновскую величину для системы (5.18) при Ь=Ь (при этом, очевидно, q = 0). Получим [c.141]

Смена устойчивости состояний равновесия О, и Ог происходит при переходе через границу Л и и поэтому сопровождается либо влипанием в них неустойчивых седловых периодических движений, либо рождением устойчивых периодических движений. Что именно произойдет, зависит от знака ляпуновской величины. Ее подсчет дает, что имеет место влипание неустойчивого периодического движения. При Ъ = 8/3 и о = 10 потеря устойчивости состояниями равповесия и одновременное влипание в них неустойчивых седловых периодических движений и согласно (3.6) происходит при г = 24,74. [c.186]

Нормальные формы. В последнее, время широкое распространение получило рассмотрение так называемых нормальных форм дифференциального уравнения в окрестности особой точки (состояния равновесия). Нормальная форма —это максимально простой вид дифференциального уравнения в окрестности особой точки после надлежащим образом подобранной замены церемен-ных, в котором во-первых, важные для характеристики особой точки величины оказываются выписанными в явном виде (например, ляпуновские величины) и, во-вторых, в некоторых случаях уравнение в окрестности особой точки приводится к интегрируемому виду. Если существует преобразование переменных, при котором система делается линейной, то ее нормальная форма — линейная. Дюлаком были рассмотрены те нормальные формы, к которым могут быть приведены дифференциальные уравнения (с аналитическими правыми частями) в окрестности седла. [c.94]

Аналитические выражения для коэффициентов функции последования. Характеристический показатель замкнутой траектории. Аналитические выражения для коэффициентов а,- могут быть найдены методом, полностью аналогичным тому, которым находятся ляпуновские величины (см. гл. 3). [c.103]

II. Бифуркации сложного фокуса первого порядка, т. е. состояния равновесия О с чисто мнимыми характеристическими корнями ( -1 = гЬ, к.2 = — 6) и с не равной нулю первой ляпуновской величиной ( 3 = 1= =0). Как было указано (см. 5 гл. 3), в случае состояния равновесия с чисто мнимыми корнями все полупрямые с концом в точке О не имеют контактов с траекториями в достаточно малой окрестности О, и на достаточно близкой к О части (с концом в О) любой из таких полупрямых может быть построена функция последования, которая в рассматриваемом случае имеет вид [c.165]

Рождение предельных циклов из особых траекторий степени негрубости вьппе первой. I. В 2 было рассмотрено рождение предельного цикла из сложного фокуса первого порядка, т. е. пз СОСТОЯНИЯ равновесия с чисто мнимыми харакге-рпстическпми корнями, для которого первая ляпуновская величина [c.178]

В математической литературе в настоящее время при рассмотрении функциональных пространств, а также введенного в гл. 8 пространства динамических систем, используется понятие коразмерность . Не давая точного определения, поясним смысл этого понятия. В элементарном случае евклидова трехмерного пространства коразмерность 1 —множество точек (гладкая поверхность), задаваемое функцией Ф(ж, г/, г) = 0 с градиентом, не равным нулю коразмерность 2 соответствует трансвер-сальным (без касания) пересечениям двух гладких поверхностей коразмерность 3 соответствует точке. В ге-мерном пространстве коразмерность 1 задается одним условием—Ф( ь Ж2,. .., ж ) = 0—это гладкая гиперповерхность с числом измерений и—1 коразмерность 2 — гладкая гиперповерхность с числом измерений п — 2 и т. д. Таким образом, в евклидовом пространстве понятие коразмерности не вносит ничего нового по сравнению с числом измерений. Когда рассматривается функциональное пространство, точками которого являются, например, динамические системы, о числе измерений, как правило, говорить уже невозможно. Однако можно (по аналогии с конечномерными) ввести понятия гладкое функциональное соотношение , гладкая гиперповерхность , удовлетворяющая одному функциональному соотношению между элементами этого пространства, а также понятие трансверсальное пересечение. Тогда множество элементов этого пространства, удовлетворяющее одному функциональному соотношению,— это множество коразмерности 1. Множество элементов, удовлетворяющих п функциональным соотношениям, определяющим п гладких гиперповерхностей, пересекающихся трансверсально,— множество коразмерности п. Пусть у динамической системы х — Р, у = Q есть единственный негрубый элемент — простое состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями и не равной нулю первой ляпуновской величиной. Если рассматривать всевозможные системы х = Р, у = Q, близкие к данной, на которые накладывается единственное требование сохранения чисто мнимых корней для близкого состояния равновесия (т. е. требование Р + = 0)> то динамические системы, удовлетворяющие этому условию, лежат на гиперповерхности коразмерности 1 в пространстве динамических систем ( гладкость этой поверхности устанавливается с использованием понятия обобщенный градиент ). На гиперповерхности коразмерности 2 лежат, напри- [c.182]

ТОГО факта, что фокус из устойчивого делается неустойчивым) недостаточно для однозначного заключения о происходяще смене качественных структур (так как при этом может быть либо случай а), либо случай б) ) для этого необходимы ен е дополнительно сведения об устойчивости или неустойчивости сложного фокуса при Я = Яо, т. е. о знаке ляпуновской величины [c.187]

Предположим, что на некоторой части а кривой о = О (кривая о = О соответствует сложному фокусу) вели гина 1 положительна, на части а" отрицательна и в точке М этой кривой, являюп ейся общим концом этих двух частей а и а", величина Ь = 0. Если удается показать, что в точке М вторая ляпуновская величина Ьг = аъ Х )Ф О, то на основании общей теории (см. гл. 10) отсюда можно заключить, что при значениях параметров, соответствующих точке М плоскости параметров, динамическая система имеет сложный фокус второго порядка, из которого при изменении параметров могут появиться два (и не более) предельных цикла (см. гл. 10). [c.193]

Особенности в поведении системы в окрестности тех значений, при которых Ь = 0, можно выяснить, устанавливая знак второй ляпуновской величины 2- Однако мы можем рассмотреть возможности, которые здесь могут иметь место и без вычисления 8Т0Й величины. [c.309]

Нри переходе через кривую 2 = О в направлении возрастающих сшитый фокус из неустойчивого становится усто1 1чивым, и из него появляется неустойчивый предельный цикл (величина 4 — аналог первой ляпуновской величины Ь — для точек бифуркационной прямой (1 + л) л — Я = О положительна). [c.440]

Рассмотрим бифуркации предельных циклов трехмерных динамических систем. Для таких предельных циклов Ляпуновым были введены величины, полностью аналогичные первому, неравному нулю коэффициенту в функции последования в окрестности замкнутой траектории на плоскости. Простейшими негрубыми предельными циклами являются циклы с первой ляпуновской величиной, не равной нулю. Таких предельных циклов в [c.473]

Л. Г. Хазин [19, 20] свел доказательство устойчивости в случае п < 6 к проверке положительности некоторой Ляпуновской величины D. Он написал, что некоторые громоздкие вычисления привели к неравенству D > [c.276]

Для ответа на вопрос об устойчивости рождающихся циклов нужно вычислить первую ляиз ювскую величину. Процедура эта довольно стандартная, хотя и громоздкая, а получающееся в результате выражение совершенно необозримо. Поэтому прошу мне поверить, что соответствующие выкладки мной сделаны и показано, что ляпуновская величина может принимать разные знаки. Отсюда сразу следует, что в системе (6.2) возможен как мягкий, так и жесткий режим возбуждения автоколебаний. [c.260]

При вычислении в 6 первой ляпуновской величины мы пользовались формулой (4А.2) на с. 114 книги Марсдена и Мак-Краке-на. [c.269]

Строго говоря, для справедливости всех трех утвержаений нужно сделать еще одн допущение, обычно выполняемое в прикладных задачах на границе области устойчивост первая ляпуновская величина должна быть отлична от нуля, т.е. на границе рассматриваютс простейшие из негрубых состояний [5]. [c.221]

Утверждение 11.5. Точка границы области устойчивости соответствующая паре чисто мнимых корней характеристического уравнения принадлежит безопасному участку, если первая ляпуновская величина этой точке отрицательна при этом согласно утверждению 11.4 переход пространстве параметров в область неустойчивости приводит к мягком режиму возникновения автоколебаний. Если же при а = оСр Z/, > О, то точк Ир принадлежит опасному участку границы. [c.223]

Ляпуновская величина для систем второго порядка выражается чере коэффициенты системы формулой из Приложения 1. Для систем третьег и четвертого порядков выражения даны H.H. Баутиным, но здесь он не приводятся из-за их громоздкости. В излагаемой ниже методике пред варительное знание выражения не требуется по существу, отыски вается в процессе построения периодического решения (см. 11.3). [c.223]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...