К построению теории упругости

К настоящему времени издано несколько тысяч работ по теории слоистых элементов конструкций. Осветить их в кратком обзоре не представляется возможным. Проблемы использования кинематических гипотез для пакета в целом и для отдельных слоев, влияние граничных условий и геометрических параметров при построении теорий упругих слоистых конструкций рассмотрены, например, в обзорах и монографиях [7, 89, ПО, 211, 226], содержащих подробные библиографические сведения. Поэтому здесь эти вопросы оставлены без внимания и даны сведения о наиболее интересных задачах, посвященных изучению слоистых неупругих элементов конструкций при квазистатических и динамических нагрузках различного вида. [c.8]

Первая глава носит вводный характер. Здесь приведены основные понятия классической теории упругости, термоупругости и моментной теории упругости. Рассуждения, поясняющие физические основы этих теорий, приведенные в основном в 1—10, не имеют своей целью обосновать с позиции физики основы теории упругости. Они не полны и не претендуют на современность изложения. Цель этих рассуждений — перекинуть мост между теорией упругости как разделом механики и математической теорией упругости и этим облегчить чтение книги механикам, которые еще не привыкли к аксиоматическому построению теории упругости, а также помочь математикам, изучавшим математическую теорию упругости, придать некоторым терминам (напряжения, смещения, изотропия и т, д.), формально выступающим в аксиоматической теории, определенный физический смысл. Читатели, не нуждающиеся в этих пояснениях, могут пропустить 1—10, а интересующиеся физическими основами могут ознакомиться с литературой, указанной в 15. [c.11]

Введя компоненты деформации, дав их интерпретацию и выражение для объемного расширения, мы закончили, в основном, общую теорию деформации, получающейся при малых смещениях. Дальнейшие параграфы настоящей главы содержат изложение тех теорем и методов, относящихся к малый деформациям, которые будут полезны при построении теории упругости. [c.52]

Настоящая глава содержит все основные результаты, относящиеся к системе теории упругости, которые используются в последующих двух главах. Вводятся функциональные пространства, которым принадлежат решения основных краевых задач теории упругости, а также ряда специальных краевых задач, которые необходимы в гл. П для построения теории усреднения и в гл. III для изучения спектральных свойств операторов теории упругости в сильно неоднородных средах. [c.8]

Выше была дана постановка различных гранично-начальных задач теории упругости, высказаны соображения о разрешимости и получены теоремы единственности. Остается открытым лишь вопрос о корректности поставленных задач. Дело в том, что вся вводимая в постановку за чачи информация — форма граничной поверхности, конкретные значения краевых и начальных условий — есть величины, определяемые, в конечном счете, из эксперимента. Поэтому построение решения имеет смысл осуществлять только в том случае, если малое (в определенном смысле) изменение исходных данных приведет к малому изменению решения. [c.253]

Как было показано, решение задач теории упругости сводится к некоторым типовым краевым задачам для систем уравнений с частными производными. Фактическое построение решений этих уравнений с заданными начальными и граничными условиями даже при современном уровне развития математических методов и вычислительной техники не всегда оказывается осуществимым. Поэтому представляется целесообразным рассмотреть вопрос о возможности такого изменения краевых условий, чтобы модифицированная задача оказалась более доступной для решения, чем исходная, а различие в результатах было пренебрежимо малым (по крайней мере в значительной части [c.257]

Представляется естественным к точкам, в которых нарушается регулярность решения, относить и те точки, в которых происходит изменение характера краевых условий (даже, если сама граница гладкая). Указанные особенности нельзя выявить заранее, однако весьма важные сведения могут быть все же получены. В работе [122], относящейся к поведению решения общих эллиптических краевых задач (и, следовательно, задач теории упругости) в окрестности нерегулярных точек границы, установлены следующие результаты. Показано, что решение в окрестности этих точек представляется в виде асимптотического ряда и бесконечного дифференцируемой функции. Слагаемые этого ряда содержат специальные решения однородных краевых задач для модельных областей (для конуса, если на поверхности коническая точка, для клина, если угловая линия). Эти решения зависят только от локальных характеристик (величины телесного или плоского угла и типа краевых условий). В ряде случаев (они далее будут подробно рассмотрены) построение этих решений сводится к трансцендентным уравнениям. Величины же коэффициентов при них зависят от задачи в целом. [c.306]

Аппарат теории функций комплексного переменного может быть применен к построению специального класса решений задач динамической теории упругости. Этот класс решений может быть получен с помощью так называемых функционально-инвариантных решений волнового уравнения. [c.430]

Последнее замечание будет относиться к области применения механики деформируемого твердого тела. Хотя подавляющее большинство исследований в этой области так или иначе связано с проблемой прочности, методы нашей науки используются, например, в геофизике при изучении распространения сейсмических волн, построении моделей формирования земной коры и рассмотрении других задач. В современной физике твердого тела большую роль играет изучение дефектов кристаллической решетки. Строение этих дефектов часто оказывается возможным описать в терминах механики и наиболее пожалуй интересные результаты последних лет в области теории упругости относятся именно к физике кристаллов, [c.18]

Пе всегда удается получить точное решение задачи теории упругости, даже если это возможно — не всегда имеет смысл им пользоваться. Часто оказывается, что та точность, с которой известны граничные условия задачи, делает практически бессмысленным стремление к большой точности самого решения. Поэтому наряду с точными методами математической теории упругости развиваются упрощенные приближенные теории, подобные, например, технической теории изгиба, рассмотренной нами ранее. Вариационные принципы теории упругости позволяют указать путь для построения таких приближенных теорий рациональным образом. [c.266]

При построении теории кристаллических дислокаций чрезвычайно плодотворной оказалась идея замены дискретной кристаллической решетки сплошной упругой средой. Дело в том, что всякий дефект кристаллической решетки нарушает равновесие между атомами, в результате чего расстояния между ними меняются. Смещения атомов по отношению к тем положениям, [c.453]

Значительные математические трудности, связанные с решением общих уравнений теории упругости, привели к необходимости построения решений для более или менее широких классов частных случаев. Таковым, например, является класс плоских задач теории упругости , включающий в себя два практически важных случая а) деформация длинного цилиндра одинаковыми во всех плоскостях усилиями, приложенными к его боковой поверхности и лежащими в плоскостях, перпендикулярных образующим цилиндра, и б) деформация пластины усилиями, лежащими в ее плоскости и приложенными к ее периметру. [c.20]

Данная глава включает шесть разделов, два приложения и список литературы. Основные сведения о распространении механических возмущений приведены в приложении А. Некоторые результаты, относящиеся к динамике линейно упругих тел, обсуждаются в приложении Б. В разд. II дается обзор теории эффективных модулей для слоистых сред и сред, армированных волокнами. Несколько более подробно рассматривается слоистая среда, состоящая из чередующихся слоев двух изотропных однородных материалов здесь находятся выражения для эффективных модулей через упругие постоянные материала и толщины слоев. Построенная теория используется для нахождения постоянных фазовых скоростей продольных и поперечных волн в направлении, параллельном слоям. После этого исследуются пределы применимости теории эффективных модулей для изучения волн в слоистой среде. Соответствующие ограничения устанавливаются сравнением частот и фазовых скоростей с точными значениями, найденными в разд. III. [c.358]

В главе XII, кроме оценки результатов теории чистого изгиба призм, получе ных средствами элементарной теории, рассматриваются такие задачи (изгиб консоли сосредоточенной силой, приложенной к торцу, изгиб балки на двух опорах равномерно распределенной нагрузкой— обе на уровне плоской задачи теории упругости), которые позволили подтвердить правомочность применения формулы для нормального напряжения в поперечном сечении балки, выведенной для чистого ее изгиба, при построении теории поперечного изгиба. [c.7]

В силу наличия отмеченной концентрации напряжений в прокатных профилях вблизи перехода от стенки к полке делают закругления и тем самым существенно уменьшают концентрацию напряжений. На рис. 12.26, д показаны эпюры в реальном профиле с закруглениями, построенные на основании решения теории упругости. Заметим, что в этом случае результат мало отличается от полученного и по элементарной теории (формула (12.40)) и от наблюдаемого при экспериментальном анализе напряженного состояния. Напряжение в пределах полки намного меньше, чем в пределах стенки. [c.136]

Так как нагрузки осесимметричны, для определения деформаций уплотняющих элементов могут быть применены методы теории упругости. Задача сводится к разделению сечения кольца на элементы, нахождению основного уравнения, построению системы уравнений для узловой сетки, построению моделирующей схемы и решению задачи на вычислительных машинах. Конструктору при проектировании торцового уплотнения необходимо производить расчеты, определяя хотя бы порядок величин деформаций. С этой целью можно воспользоваться положениями теории осесимметричных деформаций [51]. При осевой симметрии уплотняющего кольца простой формы (рис. 85, а) на него в радиальных сечениях действуют моменты Мс, скручивающие сечение кольца относительно его центра тяжести. Если при этом отношение на- [c.167]

Для построения модели деформирования трехслойной оболочки (рис. 5.1) воспользуемся кинематическим подходом, в основе которого лежат гипотезы о распределении перемещений по толщинам слоев оболочки. Это позволит достаточно простым способом приближенно свести трехмерную задачу теории упругости к двумерной. Для оболочек, согласно определению, величина измерения по координате г гораздо меньше двух других измерений. Используя это обстоятельство, перемещения fj, Uj, Уз. направленные вдоль координатных линий aj, а , z (рис. 5.2), можно искать в виде степенных рядов от- [c.191]

Конечно, против второго предположения можно было бы возразить, что его нельзя выразить в форме диференциального уравнения, т. е. так, чтобы физические явления в определенном элементе объема зависели исключительно от предварительных условий, существовавших ранее в этом же элементе объема или на его поверхности и нам данных. В этом можно было бы действительно видеть весьма серьезный недостаток, если бы речь шла о сравнении второго предположения с каким-либо третьим, которое было бы свободно от этого дефгкта и притом давало бы одинаковые виды на возможность построения теории упругих остаточных деформаций и соответствующих им собственных напряжений, находящейся в согласии с уже имеющимися опытными фактами. Но поскольку третьего предположения нет, то надежность второго предположения не приходится оспаривать даже с чисто теоретической точки зрения и тем более с практической точки зрения техника, которому важно лишь получить отчетливое представление об этих явлениях, позволяющих делать сравнение с результатами наблюдений, и приспособиться к HitM. [c.286]

В свою очередь полученные решения многих важных задач теории упругости, непрерывно выдвигаемых практикой, внесли существенный вклад в развитие математики в целом. Если раньше исследования по теории упругости сводились в основном к построению частных (подчас весьма важных для приложений) решений, то с развитием ЭВМ на повестку дня был поставлен вопрос о разработке общих, достаточно универсальных методов решения задач этой теории (граничных и начальнограничных задач для систем дифференциальных уравнений с частными производными определенной структуры). При этом, естественно, возникли принципиальные вопросы математического обоснования и устойчивости этих методов, которые не могли не привлечь внимание специалистов. [c.6]

Сделаем еще одно замечание, касающееся содержания книги. При выборе материала авторы ограничились лишь задачами линейной теории упругости в условиях изотропии и симметричности тензора напряжений. Такой подход диктуется как невозможностью существенного увеличения объема курса, так и тем обстоятельством, что учет таких факторов, как анизотропия, несимметричность тензора напряжений и некоторых других не привел к появлению на сегодняший день каких-либо принципиально новых математических методов и зачастую связан лишь со значительно более громоздкими выкладками (например, учет анизотропии при решении задач методом потенциалов сказывается лишь на структуре фундаментального решения, построение которого приведено в дополнении I). Следует заметить, что методы линейной теории упругости весьма часто в той или иной форме (как промежуточный этап) используются также и при решении задач для меупругих сред, в связи с чем авторы сочли целесообразным привести в дополнениях соответствующие примеры. [c.9]

Часто применяемые на практике балки таврового, двутаврового, зетового, коробчатого и других тонкостенных сечений могут рассматриваться как состоящие из длинных прямоугольных полос, соединенных между собой вдоль краев. Элементарная теория изгиба применительно к таким профилям может быть неточной более правильные расчеты получаются, если строить для каждой из полос решение плоской задачи теории упругости и эти решения сопрягать между собою. Таким образом, возникает естественная необходимость построения решения плоской задачи для длинного, вытянутого прямоугольника. Оговорка о том, что прямоугольник должен быть вытянут, существенна. Дело в том, что метод разделения переменных, который будет применен в этой задаче, не позволяет удовлетворить двум граничным условиям на каждой стороне. Поэтому при решении добиваются точного удовлетворения граничных условий на длинных сторонах, тогда как на коротких сторонах граничные условия выполняются лишь интегрально. Вспомним, что такая же ситуация встречается в теории кручения и изгиба. Пусть ширина балки есть 2Ь, длина I, оси координат выбраны так, что границами слун ат линии х, = 0, х, = I, Х2 = Ь. [c.355]

Теория упругих дислокаций, т. е. построение и изучение решений уравнений теории упругости, соответствующих некоторому распределению особенностей на заданных линиях, создана достаточно давно. Основные результаты здесь принадлежат Воль-терра. Эта теория носила довольно формальный характер и не имела сколько-нибудь серьезных приложений до тех пор, пока к дислокационным представлениям не прибегла физика кристаллов. С тех пор появилось очень большое количество исследований, направленных на развитие формальной теории дислокаций, и к настоящему времени она приобрела достаточно законченный характер. Здесь будут излагаться лишь элементы формальной теории упругих дислокаций, непосредственные же приложения к физике кристаллов носят чисто иллюстративный характер. [c.454]

Величина с — это радиус ядра дислокации, имеющий порядок Ь. Желая вычислить энергию более точно, мы должны были бы прибавить ск1да энергию ядра, которая уже не может быть найдена методами теории упругости, для ее подсчета необходимо прибегать к атомным моделям. Величина R представляет собою размер тела, для тела бесконечных размеров и энергия дислокации становится бесконечно большой. В связи с этим можно сделать следующее замечание. При построении дислокации мы исходили из неограниченной среды, в предположении бесконечных размеров тела были вычислены напряжения. В теле конечных размеров, вообще говоря, возникает дополнительная система напряжений, которая находится из условия равенства нулю сил, действующих на свободную поверхность. Для винтовой дислокации как раз дело обстоит просто, поверхность кругового цилиндра, [c.464]

Решения теории упругости. Более строгая схема решения той же задачи состоит в том, что оборванное волокно рассматривается включенным в анизотропную упругую среду, упругие постоянные которой находятся в результате определения характеристик составляющих гетерогенной системы волокно — матрица. Мы не приводим здесь это довольно сложное решение, при построении которого волокно рассматривается как стержень и граничные условия на плоскости обрыва удовлетворяются интегрально. Оценки неэффективной длины оказываются близкими к тем, которые были получены выше, но распределение касательных 45 ю. н. Работноя [c.697]

В заключение отметим, что при обобщенном плоском напряженном состоянии справедливы следующие допущения 1) Озз = 0 2) fs Xi, х , к) = 0 3) перемещения симметричны. При этом построенная теория яляется точной, так как выполняются все уравнения теории упругости. [c.48]

Весь дальнейший анализ будет построен для линейно-упругих материалов или материалов с ломаной диаграммой деформирования. Такое предположение приемлемо для большинства однонаправленных материалов при кратковременном нагружении. Пластичность и вязкоупругость, свойственные некоторым связующим, благодаря превалирующей роли волокон в восприятии внешней нагрузки проявляются при нормальной температуре относительно слабо (см. рис. 5—8). Для анализа композиционных материалов можна использовать теории вязкоупругости и пластичности, однако для большинства инженерных приложений это приводит к применению численных методов. В то же время но теории упругости для большинства практических задач получают приемлемые результаты. [c.74]

Для тел более общей формы описанная здесь в общих чертах процедура решения приводит к зависимостям между разностью перемещений и на двух концах каждой нормальной линии и разностью перемещений v на двух концах каждого волокна. В рассмотренном выше простом примере необходимо было найти значения двух разностей, и это можно было сделать с помощью простых алгебраических действий. Некоторые нетривиальные задачи, в которых разности перемещений нельзя -определить чисто алгебраическим путем, решены Ингландом [7]. Существование решений для тел достаточно произвольной формы было доказано в работе Пипкина и Санчеса [25] при помощи метода, который одновременно может быть использован для построения приближенных решений. Это частично подтверждает высказанное выше предположение о том, что краевые условия корректно поставленной задачи теории упругости приводят также к корректно поставленным задачам теории идеальных композитов. [c.297]

Б последние годы число публикаций но этим вопросам снова стало возрастать. Они посвящены главным образом применению теории Тимошенко для расчета практических конструкций и частично ее обоснованию и улучшению. Среди последних отметим работы, в которых приближенные модели строятся на основе асимптотически точных решений трехмерных уравнений теории упругости [47, 144, 370]. Примечателен также повышенный интерес к построению более сложных моделей (трех- и четырехволновых), позволяющих существенно повысить точность расчетов и расширить частотный диапазон их применимости [144, 225, 308, 317, 343, 391]. Однако практическое их применение связано с громоздкими выкладками. Поэтому двухволновые уравнения, в частности уравнение Тимошенко, являются сейчас общепринятыми в инженерных расчетах конструкций на колебания и в исследовании распространения низкочастотных изгпбиых волн. [c.143]

Анализируя рассмотренные выше построения, следует указать, что метод весовой линии имеет несомненные преимущества по сравнению с другими графическими методами. В первую очередь это простота и точность, так как отпадает двойственность построения, присущая другим методам. Операции с параллельными и пересекающимися векторами (силами) следует простому закону сложения краевых и параллельных составляющих. Вычисление центров масс стержневых систем и механизмов, по методу весовой линии значительно проще, чем по существующим способам. Упрощается также исследование давлений в кинематических парах механизмов и определение реакций опор в стержневых системах. Методом весовой линии весьма просто производится бесполюсное интегрирование и дифференцирование, так как закон распределения сил соответствует закону изменения функции q = f (х). При этом первообразная функция (вес фигуры, заключенной между кривой q = f [х) и координатными осями) представляет собою интеграл. В дискретном анализе понятие бесконечно малая величина" заменяется понятием конечно малая величина со всеми вытекающими отсюда представлениями о производной в конечных разностях и численным интегрированием (вычислением квадратур). Полигоны равновесия узлов в стержневых системах, построенные по методу весовой линии, проще диаграмм Л. Кремоны, так как позволяют вычислять усилие в заданном стержне не прибегая к определению усилий в других стержнях, необходимых для построения диаграмм Кремоны. Графическое решение многочленных линейных уравнений (многоопорные валы и балки, звенья, имеющие форму пластин, и т. д.) производится по опорным весам или коэффициентам при неизвестных. Такой путь наиболее прост и надежен для проверки правильности решения. Впервые в технической литературе. дано графическое решение дифференциальных уравнений для балки переменного сечения на упругом основании и для круглых пластин с отверстиями, аналитическое решение которых требует сложного математического аппарата. В заключение отметим предельно простое решение дифференциальных уравнений теории упругости (в частных производных) указанным методом. [c.150]

Приемы спектрально-импульсной струк-турометрии могут быть положены в основу построения неразрущающего метода определения компонент функции поврежденности [24]. При построении этого метода проблема спектрально-импульсной структурометрии распадается на две основные задачи. Первая заключается в том, чтобы записать выражение для передаточной функции материала в виде выражения, содержащего интересующие компоненты. Вторая задача сводится к разработке метода воостаноняения вида передаточной функции на основе параметров зондирующих импульсов. Обе эти задачи могут быть решены в рамках динамической теории упругости микронеоднородных сред. [c.404]

Задача о жестком штампе. Краевое условие. В контактных задачах теории упругости рассматривается напряженное состояние, возникающее в прижатых друг к другу упругих телах. Одно из тел, в частности, может быть абсолютно твердым (жесткий штамп), а упругое тело представлено упругим полупространством. Решение этой простейшей задачи оказывается при некоторых добавочных предположечиях достаточным для построения решения более общей задачи Герца о контакте двух упругих тел. [c.306]

Методы прогнозирования эффективных упругих свойств современных композитов достаточно хорошо разработаны. Достигнутые в линейной теории упругости результаты по прогнозированию эффективных свойств и сопутствующие им результаты по определению полей микронапряжений и микродеформаций являются хорошей ба ЗОЙ для исследования упругопластических и прочностных свойств ми-кронеоднородных материалов. Стремление к более полному использованию несущей способности ответственных конструкций неизбежно приводит к необходимости всесторонних исследований, предшествующих построению комплексных моделей деформирования и разрушения реальных материалов при сложном напряженном состоянии и нелинейных свойствах элементов структуры. [c.16]

Рассматриваемая в данной главе стохастическая краевая задача теории упругости является основой статистической механики композитов со случайной структурой. Начало систематическому изучению этой задачи положено работой И.М. Лифшица и Л.Н. Розенцвейга [160] применительно к поликристаллам, в дальнейшем многочисленные результаты были обобщены в монографиях [62, 130, 162, 172, 247, 296, 320 и др.]. При единой практически для всех работ в этом направлении постановке задачи, связанной с представлением упругих модулей микронеоднородной среды как случайных статистически однородных функций координат и выбором граничных условий в виде, обеспечивающим однородность макроскопических деформаций, а также общности подхода к решению с использованием метода функции 1 ина уравнений теории упругости в перемещениях для неограниченной изотропной или анизотропной среды существуют различия в получаемых результатах для эффективных свойств композитов и, в большей мере, для оценки полей напряжений и деформаций в компонентах композитов. Это обусловлено статистической нелинейностью исследуемой задачи и построением приближенных решений, которые неодинаково адекватны физической модели композита, в частности, его структуре. [c.39]

Энциклопедия по машиностроению XXL

Оборудование, материаловедение, механика и ...